【人教版】数学(理)一轮复习：选修4-4《坐标系与参数方程》(第1节)ppt课件

•第一节坐标系•[主干知识梳理]•一、极坐标系与极坐标•如图，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．极轴•设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的，记为.有序数对叫做点M的极坐标，记作．极径ρ极角θ(ρ，θ)M(ρ，θ)二、点的极坐标和直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，可以得出它们之间的关系：x＝，y＝.又可得到关系式：ρ2＝，tanθ＝yx(x≠0)．这就是极坐标与直角坐标的互化公式．ρcosθΡsinθx2＋y2曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ＜2π)圆心为(r,0)，半径为r的圆ρ＝2rcosθ－π2≤θ＜π2•三、常见曲线的极坐标方程圆心为r，π2，半径为r的圆ρ＝2rsinθ(0≤θ＜π)过极点，倾斜角为α的直线(1)θ＝α(ρ∈R)或(2)θ＝π＋α(ρ∈R)(2)θ＝α和θ＝π＋α过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcosθ＝a－π2＜θ＜π2过点a，π2，与极轴平行的直线ρsinθ＝a(0＜θ＜π)[基础自测自评]1．(2013·安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2B．θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝2C．θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝1D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1B[由ρ＝2cosθ，可得圆的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，所以垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，即所求垂直于极轴的两条切线方程分别为θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝2，故选B.]•2．(教材习题改编)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为______________．•解析∵ρ＝2sinθ＋4cosθ，∴ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ，•∴由互化公式知x2＋y2＝2y＋4x，•即x2＋y2－2y－4x＝0.•答案x2＋y2－4x－2y＝03．在极坐标系中，以a2，π2为圆心，a2为半径的圆的方程为________________．解析利用直角三角形的边、角关系可得圆的方程为ρ＝asinθ.答案ρ＝asinθ4．在极坐标系中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1(0≤θ2π)的交点的极坐标为________．解析由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，其普通方程为x2＋y2＝2y，ρcosθ＝－1的普通方程为x＝－1，联立x2＋y2＝2y，x＝－1，解得x＝－1，y＝1，故交点(－1,1)的极坐标为2，3π4.答案2，3π45．在极坐标系中，圆ρ＝4cosθ的圆心C到直线ρsinθ＋π4＝22的距离为________．解析注意到圆ρ＝4cosθ的直角坐标方程是x2＋y2＝4x，圆心C的坐标是(2,0)．直线ρsinθ＋π4＝22的直角坐标方程是x＋y－4＝0，因此圆心(2,0)到该直线的距离等于|2＋0－4|2＝2.答案2[关键要点点拨]1．平面直角坐标系中任意一点P(x，y)在伸缩变换x′＝λ·x，λ0y′＝u·y，u0的作用下对应到点P′(x′，y′)．2．极坐标系中，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．3．极坐标(ρ，θ)化为直角坐标时，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ；直角坐标(x，y)化为极坐标时，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝bx(x≠0)．[典题导入]求曲线y＝sin2x＋π4经伸缩变换x′＝2x，y′＝12y后的曲线方程．[听课记录]由x′＝2x，y′＝12y得x＝12x′，y＝2y′.①将①代入y＝sin2x＋π4，得2y′＝sin2·12x′＋π4，平面直角坐标系中的伸缩变换即y′＝12sinx′＋π4.故变换后的曲线方程为y＝12sinx＋π4.[互动探究]本例若变为“若曲线y＝sin2x＋π4经过伸缩变换后变为y＝2sin4x＋π4”试求此伸缩变换．解析设伸缩变换为x′＝λx，λ0，y′＝μy，μ0，代入y′＝2sin4x′＋π4，得μy＝2sin4λx＋π4.∴y＝2μsin4λx＋π4.与y＝sin2x＋π4对比知，2μ＝1.4λ＝2，∴μ＝2，λ＝12.所以所求伸缩变换为x′＝12x，y′＝2y.[规律方法]平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换x′＝λ·x，λ0，y′＝μ·y，μ0下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．[跟踪训练]1．通过平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换，可以把椭圆x＋129＋y－124＝1变为中心在原点的单位圆，求上述平移变换与伸缩变换，以及这两种变换合成的变换．解析先通过平移变换x′＝x＋1，y′＝y－1，把椭圆x＋129＋y－124＝1变为椭圆x′29＋y′24＝1.再通过伸缩变换x″＝x′3，y″＝y′2，把椭圆x′29＋y′24＝1变为单位圆x″2＋y″2＝1.由上述两种变换合成的变换为x″＝13x＋1，y″＝12y－1.[典题导入](2012·辽宁高考)在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．极坐标与直角坐标的互化[听课记录](1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，圆C2的极坐标方程ρ＝4cosθ.解ρ＝2，ρ＝4cosθ得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C1与圆C2交点的坐标为2，π3，2，－π3.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)解法一：由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C1与C2的公共弦的参数方程为x＝1，y＝t，－3≤t≤3.或参数方程写成x＝1，y＝y，－3≤y≤3解法二：将x＝1代入x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得ρcosθ＝1，从而ρ＝1cosθ.于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为x＝1，y＝tanθ，－π3≤θ≤π3.[规律方法]极坐标(ρ，θ)化为直角坐标时，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ；直角坐标(x，y)化为极坐标时，ρ＝x2＋y2唯一确定，但由tanθ＝yx(x≠0)确定角θ时不唯一，一般根据点(x，y)所在的象限取最小正角．[跟踪训练]2．(2013·新课标全国Ⅰ高考)已知曲线C1的参数方程为x＝4＋5cost，y＝5＋5sint，(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解析(1)将x＝4＋5cost，y＝5＋5sint消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由x2＋y2－8x－10y＋16＝0，x2＋y2－2y＝0解得x＝1，y＝1或x＝0，y＝2.所以C1与C2交点的极坐标分别为2，π4，2，π2.[典题导入](2012·新课标全国卷)已知曲线C1的参数方程是x＝2cosφ，y＝3sinφ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为2，π3.简单曲线的极坐标方程及应用(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．[听课记录](1)由已知可得A2cosπ3，2sinπ3，B2cosπ3＋π2，2sinπ3＋π2，C2cosπ3＋π，2sinπ3＋π，D2cosπ3＋3π2，2sinπ3＋3π2，即A(1，3)，B(－3，1)，C(－1，－3)，D(3，－1)．(2)设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2则S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32,52]．•[规律方法]•1．求曲线的极坐标方程其实质是在极坐标系中建立动点M(ρ，θ)的极坐标ρ与θ的关系，注意检验特殊点．•2．极坐标方程应用时，一般化为直角坐标方程，转化时注意方程的等价性．[跟踪训练]3．(2014·海口市调研)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcosθ－π4＝2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解析(1)ρ＝2⇒ρ2＝4，所以x2＋y2＝4.因为ρ2－22ρcosθ－π4＝2，所以ρ2－22ρcosθcosπ4＋sinθsinπ4＝2.所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsinθ＋π4＝22.【思想方法】转化与化归思想在坐标系中的应用(2012·安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝4sinθ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R)的距离是________．【思路导析】将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解．【解析】极坐标系中的圆ρ＝4sinθ转化为平面直角坐标系中一般方程为：x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，其圆心为(0,2)，直线θ＝π6转化为平面直角坐标系中的方程为y＝33x，即3x－3y＝0.∴圆心(0,2)到直线3x－3y＝0的距离为|0－3×2|3＋9＝3.【答案】3•【高手支招】本题考查了极坐标方程和平面直角坐标系中一般方程的转化，考查了转化与化归思想，题目难度不大，做本题时有可能因对极坐标和平面直角坐标的关系不熟而受挫．在进行坐标互化时要注意以下几点：•(1)互化的三个前提条件•①极点与原点重合；•②极轴与x轴正方向重合；•③取相同的单位长度．•(2)若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．[体验高考]1．(2013·北京高考)在极坐标系中，点2，π6到直线ρsinθ＝2的距离等于________．