万有引力定律的两个重要推论

万有引力定律的两个重要推论推论1在匀质球层的空腔内任意位置处，质点受到的万有引力的合力为零，即∑F＝０．证明如图所示，一个匀质球层可以等效为许多厚度可以不计的匀质薄球壳组成．任取一个薄球壳，设球壳内有一质量为m的质点，某时刻该质点在P(任意位置)处，以质点(m)所在位置P为顶点，作两个底面积足够小的对顶圆锥．这时，两圆锥底面不仅可以视为平面，还可以视为质元．设空腔内质点m到两圆锥底面中心的距离分别为ｒ1、ｒ2，两圆锥底面的半径为Ｒ1、Ｒ2，面密度为ρ．根据万有引力定律，两圆锥底面对质点的引力可以表示为ΔＦ1＝Ｇ（Δｍ1ｍ）／ｒ12＝Ｇ（πＲ12ρｍ）／ｒ12，ΔＦ2＝Ｇ（Δｍ2ｍ）／ｒ22＝Ｇ（πＲ22ρｍ）／ｒ22．根据相似三角形对应边成比例，有Ｒ1／ｒ1＝Ｒ2／ｒ2，则两个万有引力之比为ΔＦ1／ΔＦ2＝（Ｒ1／ｒ1）2／（Ｒ2／ｒ2）2＝１．因为两引力方向相反，所以引力的合力ΔＦ1＋ΔＦ2＝０；依次类推，球壳上其他任意两对应部分对质点的合引力为零，整个球壳对质点的合引力为零，故由球壳组成的球层对质点的合引力也为零，即∑Ｆ＝０．推论2在匀质球体内部距离球心ｒ处，质点受到的万有引力等于半径为ｒ的球体的引力，即Ｆ′＝Ｇ（Ｍ′ｍ）／ｒ2．证明如图3所示，设匀质球体的质量为M，半径为R；其内部半径为r的匀质球体的质量为M′．距球心O为r处的质点m受到的万有引力可以视为厚度为(R-r)的匀质球层和半径为r的匀质球体的引力的合力．根据匀质球层对质点的引力为零，所以质点受到的万有引力就等于半径为r匀质球体的引力．则F′＝Ｇ（Ｍ′ｍ）／ｒ2．①若已知匀质球体的总质量为M，则M′／Ｍ＝ｒ3／Ｒ3，Ｍ′＝（Ｍ／Ｒ3）ｒ3，则Ｆ′＝Ｇ（Ｍ′ｍ）／ｒ2＝Ｇ［（Ｍｍ）／Ｒ3］ｒ．当r=0时，有M′＝０，Ｆ′＝０．注意：这时不能根据万有引力公式得出下面典型的错误结论，即当r=0时，得Ｆ′＝Ｇ（Ｍ′ｍ）／ｒ2＝∞．因为当r≈0时，Ｍ′与m已不再是质点，万有引力公式已经不适用了.当r=R时，有Ｆ＝Ｇ（Ｍｍ）／Ｒ2．