2017年高考数学文二轮复习课件:专题整合突破-专题8-系列4选讲-第1讲(选修4-4)坐标系与参数

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适考素能特训1.[2016·合肥质检]在直角坐标系xOy中,曲线C:x=2cosα+1,y=2sinα+1(α为参数),在以O为极点,x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线l:ρsinθ+ρcosθ=m.(1)若m=0时,判断直线l与曲线C的位置关系;(2)若曲线C上存在点P到直线l的距离为22,求实数m的取值范围.解(1)曲线C的普通方程为:(x-1)2+(y-1)2=2,是一个圆;当m=0时,直线l的直角坐标方程为:x+y=0,圆心C到直线l的距离为d=|1+1|12+12=2=r,r为圆C的半径,所以直线l与圆C相切.(2)由已知可得,圆心C到直线l的距离为d=|1+1-m|12+12≤322,解得-1≤m≤5.2.[2016·湖南四校联考]已知直线l的参数方程为x=-1-32t,y=3+12t(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ-π6.(1)求圆C的直角坐标方程;(2)若P(x,y)是直线l与圆面ρ≤4sinθ-π6的公共点,求3x+y的取值范围.解(1)因为圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ-π6,所以ρ2=4ρsinθ-π6=4ρ32sinθ-12cosθ又ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以x2+y2=23y-2x,所以圆C的普通方程为x2+y2+2x-23y=0.(2)设z=3x+y,由圆C的方程x2+y2+2x-23y=0⇒(x+1)2+(y-3)2=4,所以圆C的圆心是(-1,3),半径是2,将x=-1-32t,y=3+12t代入z=3x+y得z=-t.又直线l过C(-1,3),圆C的半径是2,所以-2≤t≤2,所以-2≤-t≤2,即3x+y的取值范围是[-2,2].3.[2016·山西质检]已知曲线C1:x+3y=3和C2:x=6cosφ,y=2sinφ(φ为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单位.(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程;(2)设C1与x,y轴交于M,N两点,且线段MN的中点为P.若射线OP与C1,C2交于P,Q两点,求P,Q两点间的距离.解(1)C1:ρsinθ+π6=32,C2:ρ2=61+2sin2θ.(2)∵M(3,0),N(0,1),∴P32,12,∴OP的极坐标方程为θ=π6,把θ=π6代入ρsinθ+π6=32得ρ1=1,P1,π6.把θ=π6代入ρ2=61+2sin2θ得ρ2=2,Q2,π6.∴|PQ|=|ρ2-ρ1|=1,即P,Q两点间的距离为1.4.[2016·长春质量监测]在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=2+tcosα,y=3+tsinα(t是参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=8cosθ-π3.(1)求曲线C2的直角坐标方程,并指出其表示何种曲线;(2)若曲线C1和曲线C2交于A,B两点,求|AB|的最大值和最小值.解(1)对于曲线C2有ρ=8cosθ-π3,即ρ2=4ρcosθ+43ρsinθ,因此曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-4x-43y=0,其表示一个圆.(2)联立曲线C1与曲线C2的方程可得:t2-23sinα·t-13=0,|AB|=|t1-t2|=t1+t22-4t1t2=23sinα2-4×-13=12sin2α+52,因此|AB|的最小值为213,最大值为8.5.[2016·河南六市一联]在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为x=1+t,y=t-3(t为参数),在以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθsin2θ.(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求△AOB的面积.解(1)由曲线C的极坐标方程ρ=2cosθsin2θ,得ρ2sin2θ=2ρcosθ,所以曲线C的直角坐标方程是y2=2x.由直线l的参数方程x=1+t,y=t-3,得t=3+y,代入x=1+t中,消去t得x-y-4=0,所以直线l的普通方程为x-y-4=0.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=2x,得t2-8t+7=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=8,t1t2=7,所以|AB|=2|t1-t2|=2×t1+t22-4t1t2=2×82-4×7=62,因为原点到直线x-y-4=0的距离d=|-4|1+1=22,所以△AOB的面积是12|AB|·d=12×62×22=12.6.[2016·贵阳监测]极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位,以原点为极点,以x轴正半轴为极轴,曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ(ρ≥0),曲线C2的参数方程为x=m+tcosα,y=tsinα(t为参数,0≤απ),射线θ=φ,θ=φ+π4,θ=φ-π4与曲线C1分别交于(不包括极点O)点A、B、C.(1)求证:|OB|+|OC|=2|OA|;(2)当φ=π12时,B、C两点在曲线C2上,求m与α的值.解(1)证明:依题意|OA|=4cosφ,|OB|=4cosφ+π4,|OC|=4cosφ-π4,则|OB|+|OC|=4cosφ+π4+4cosφ-π4=22(cosφ-sinφ)+22(cosφ+sinφ)=42cosφ=2|OA|.(2)当φ=π12时,B、C两点的极坐标分别为2,π3、23,-π6,化为直角坐标为B(1,3)、C(3,-3),所以经过点B、C的直线方程为y-3=-3(x-1),而C2是经过点(m,0)且倾斜角为α的直线,故m=2,α=2π3.7.[2016·重庆测试]在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=1+cosα,y=sinα(α为参数),在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρsinθ+π4=22.(1)求曲线C和直线l在该直角坐标系下的普通方程;(2)动点A在曲线C上,动点B在直线l上,定点P的坐标为(-2,2),求|PB|+|AB|的最小值.解(1)由曲线C的参数方程x=1+cosαy=sinα可得,(x-1)2+y2=cos2α+sin2α=1,所以曲线C的普通方程为(x-1)2+y2=1.由直线l的极坐标方程:ρsinθ+π4=22,可得ρ(sinθ+cosθ)=4,即x+y=4.(2)设点P关于直线l的对称点为Q(a,b),则-2+a2+2+b2=4,b-2a--2·-1=-1,解得a=2,b=6,由(1)知,曲线C为圆,圆心坐标为C(1,0),故|PB|+|AB|=|QB|+|AB|≥|QC|-1=37-1.当Q,B,A,C四点共线,且A在B,C之间时,等号成立,所以|PB|+|AB|的最小值为37-1.8.[2016·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=acost,y=1+asint(t为参数,a0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.解(1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsinθ+1-a2=0.(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组ρ2-2ρsinθ+1-a2=0,ρ=4cosθ.若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sinθcosθ+1-a2=0,由已知tanθ=2,可得16cos2θ-8sinθcosθ=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上.所以a=1.

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