函数的周期性与对称性总结

一:有关周期性的讨论在已知条件faxfbx或fxafxb中，(1)等式两端的两自变量部分相加得常数，如axbxab，说明fx()的图像具有对称性，其对称轴为2bax。(2)等式两端的两自变量部分相减得常数，如xaxbab，说明f（x）的图像具有周期性，其周期T=a+b。设a为非零常数,若对于)(xf定义域内的任意x恒有下列条件之一成立周期性规律对称性规律(1))()(axfaxfaT2(1))()(xafxafax(2))()(axfxfaT(2))()(xbfxaf2bax(3))()(xfaxfaT2(3))()(xbfxaf2bax(4))(1)(xfaxfaT2(4))()(xbfxaf中心点)0,2(ba(5))(1)(xfaxfaT2(5))()(xafxaf为对称中心点)0,(a(6)1)(1)()(xfxfaxfaT2(7)1()()1()fxfxafxaT2(8)1()()1()fxfxafxaT4(9))(1)(1)(xfxfaxfaT4(10))()()(axfaxfxf,0aaT6(11)若函数)(xf同时关于直线ax,bx对称则函数)(xf的周期abT2(12)若函数)(xf同时关于点)0,(a,)0,(b对称,则函数)(xf的周期abT2(13)若函数)(xf同时关于直线ax对称,又关于点)0,(b对称)0(b则函数)(xf的周期abT4(14)若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且T=2a(15)若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且T=4a(16)若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x∈R，T≠0),则f(2T)=0.⒈若)x2(fy的图象关于两类易混淆的函数问题：对称性与周期性例1.已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（5+x）=f（5－x），问：y=f（x）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？例2.已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+5）=f（x－5），问：y=f（x）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？定理1：如果函数y=f（x）（x∈R）满足)()(xafxaf，那么y=f（x）的图像关于直线xa对称。证明：设点Pxy00，是y=f（x）的图像上任一点，点P关于直线x=a的对称点为Q，易知，点Q的坐标为200axy，。因为点Pxy00，在y=f（x）的图像上，所以fxy()00于是000002yxfxaafxaafxaf所以点Qaxy200，也在y=f（x）的图像上。由P点的任意性知，y=f（x）的图像关于直线x=a对称。定理2：如果函数y=f（x）（x∈R）满足f（a+x）=f（b－x），那么y=f（x）的图像关于直线xab2的对称。定理3：如果函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+a）=f（x－a），那么y=f（x）是以2a为周期的周期函数。证明：令xax'，则xxaxaxa''，2代入已知条件fxafxa得：fxafx''2根据周期函数的定义知，y=f（x）是以2a为周期的周期函数。定理4：如果函数y=f（x）（x∈R）满足fxafxb，那么y=f（x）是以ab为周期的周期函数。