八年级数学三角形的证明

三角形的证明本章知识点归纳：1、线段垂直平分线性质定理及其逆定理：定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等.逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的直平分线上.2、角平分线的性质定理及其逆定理：定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等.逆定理：在一个角的内部(包括顶点)到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上3、等腰三角形的性质:等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。三线合一：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合推论：等腰三角形的两底角的平分线相等；两腰上的中线相等；两腰上的高相等。等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半4、等腰三角形的判定：等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形◆命题、公理、定理命题：判断性的语句,是陈述句几个重要的公理（不需证明）：（1）两点之间线段最短；（2）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）同位角相等，两直线平行；（5）两直线平行，同位角相等。1.1等腰三角形一、选择、填空题1.等腰三角形的底边为7cm，一边上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为（）Ａ．20cmＢ．10cmＣ．10cm或4cmＤ．4cm2.中，，，垂直平分，交AC、AB于点E、D，则的度数为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．3.如果△ABC的∠A，∠B的外角平分线分别平行于BC，AC，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形C.直角三角形D．等腰直角三角形4.已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部．P′与P关于OB对称，P″与P关于OA对称，则O，P′P″三点所构成的三角形是()A.直角三角形B．钝角三角形C.等腰三角形D．等边三角形5.如图，在下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是()A．(1)(2)(3)B．(1)(2)(4)C.(2)(3)(4)D．(1)(3)(4)ABC△ABAC30ADEACBCD80756545EDBACFECBA6.如图，把腰长为的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是_____．7.已知等腰三角形中，为边上一点，连接，若和都是等腰三角形，则的度数是．二、解答题8.△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AD＝AC，AD与BC相交于E，∠CAD＝30°，求∠BCD和∠DBC的度数。9.△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AE，BC=BF，求∠ECF的度数。10.如图，△ABC中，AB=AC,在AB上取一点D,在AC延长线上取一点E,连结DE交BC于点F，若F是DE中点，求证：BD=CE.11.如图，AB=AC，E、D分别在AB、AC上，BD与CE交于点F，且∠ABD=∠ACE，求证：BF=CF．12.如图，ABC中，ACAB，E在AC上，且AEAD，DE的延长线与BC相交于F。求证：BCDF13.如图，AB=AC，D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥BC交AC于点F，若∠EDF=70°，求∠AFD的度数。ABCABACD，BCADACD△ABD△C∠ABCDFE14.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD,求∠A的度数。15.如图，等边△ABC中，分别延长BA至点E，延长BC至点D，使AE=BD求证：EC=ED16.如图，△ABC中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC,求证：BD=ED。17.如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是BC边上的高，B到点E，使BE=BD求证：AF=FC1.2直角三角形一、选择题1.△ABC中，∠C=90°，AD为角平分线，BC=32，BD∶DC=9∶7,则点D到AB的距离为()A.18cmB.16cmC.14cmD.12cm2．在△ABC内部取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等，则点P应是△ABC的哪三条线交点．（）A.高B.角平分线C.中线D.边的垂直平分线3．如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，下列说法正确的有几个（）（1）AD平分∠EDF；（2）△EBD≌△FCD；（3）BD=CD；（4）AD⊥BC．A.1个B.2个C.3个D.4个4．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（）A．2cmB．4cmC．8cmD．16cm5．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准备的判断是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状FEADBCABDFEC21EDCABBACDABCD二、解答题6.如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC.你能说明BE与DF相等吗？7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠A=30°.求证:BD=1/4AB8.如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．（1）若BC在DE的同侧（如图①）且AD=CE，说明：BA⊥AC．（2）若BC在DE的两侧（如图②）其他条件不变，问AB与AC仍垂直吗？请证明9.如图，四边形ABCD中，∠ABC和∠ADC都是直角，M、N分别是AD、BC的中点，试判断MN和BD垂直吗？为什么？10.如图，在△ABC中，D是BC上一点，且满足AC=AD，证明：AB2=AC2+BC·BD11.如图，△ABC中，AB=AC,AD和BE两条高，交于点H，且AE=BE.求证：AH=2BDABCDEHAEBCDEDCABHFl2l1l312.如图，△DEF中，∠EDF=2∠E，FA⊥DE于点A，问：DF、AD、AE间有什么样的大小关系？13.如图，已知△ABC中，AB＝AC，F在AC上，在BA的延长线上取AE＝AF，求证EF⊥BC1.3线段垂直平分线与角平分线1、△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，两腰AB、AC的垂直平分线交于点P，则（）A、点P在△ABC内B、点P在△ABC底边上C、点P在△ABC外D、点P的位置与△ABC的边长有关2、如果三角形两边的垂直平分线的交点恰好落在第三边上，则这个三角形是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等边三角形3、已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且∠EAF=100°，∠EBF=70°,则∠AEB等于()A、95°B、15°C、95°或15°D、170°或30°4、如图1，在锐角△ABC中，AB=42,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是。5、如图2，四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD＋BC的长的大小关系是（）A、AB＞AD＋BCB、AB＝AD＋BCC、AB＜AD＋BCD、无法确定6、如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（）A．∠ACD=∠BB．CH=CE=EFC．CH=HDD．AC=AF7、如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A、1处B、2处C、3处D、4处EDCBAFEDCABFDCABEDCAB8、如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则对于下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分线上．其中正确的是（）A．①B．②C．①和②D．①②③二、填空题10、△ABC中，∠C=∠B，D、E分别是AB、AC上的点，AE=2cm，且DE∥BC，则AD=________．11、一灯塔P在小岛A的北偏西25°，从小岛A沿正北方向前进30海里后到达小岛，此时测得灯塔P在北偏西50°方向，则P与小岛B相距________．12、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3cm，BD=5cm，则BC=_____cm.13、点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=60°，则∠BOC的度数为____________二、解答题14、如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.15、如图，在ABC中，90B，ABBC，AD是A的平分线.求证：ABBDAC16、如图，AF是△ABC的角平分线，BD⊥AF交AF的延长线于D，DE∥AC交AB于E，求证：AE=BE．17、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD.18、如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度数．DCBAABCDEABCPDEF19、如图，Rt△ABC的斜边AB中点为E，ED⊥AB交BC于D，且∠CAD︰∠BAD＝1︰7,求∠BAC的度数。20、如图：在正方形ABCD中E是边AB上的任意一点，F是边BC延长线上的一点，EF交边CD于点G，AE=CF（1）求证：点D在线段EF的垂直平分线上（2）如果EF交正方形的对角线BD于点P，BP=BE,求证：EP=FG21、如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E．求证：AE平分∠FAC.22、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，BD的垂直平分线交AB于P，PD交AC于E，求证：点P也在AE的垂直平分线上。23、已知ABC中，AB=2AC,AD平分,BACAD=BD,求证：ACDCDCBAEADECB24、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，若AC=AB+BD，求∠B：∠C的值.25、如图，△ABC中，AB=AC,∠A=100°，BD平分∠ABC,求证：BC=BD+AD26、如图四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠D＋∠B=180°，求证：AD＋AB=2AE．27、如图，△ABC中，∠B=60°，角平分线AD、CE交于点O,求证：AE+CD=AC.28、如图所示，AD//BC，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，直线DC过点E交AD于点D，交BC于点C，求证：（1）E为DC的中点；（2）AD＋BC=AB.综合测试题1、如图，∠ABC，∠ACB的平分线交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E。求证：BD＋EC＝DE。2、如图△ABC中，∠ACB=90°，D为BC延长线上一点，E是AB上一点，EM垂直平分BD，M为垂足，DE交AC于F，求证：E在AF的垂直平分线上.3、如图，CD、CE分别是AB边上的高和中线，且ACEECDDCB。求证：90oACB4、如图，,90,30ooABCCA中，DE、FM、GN分别垂直平分AB、AD、BD。求证：AF=FG=BG。5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，EF⊥AB于F，且CE=EF。求证：FG//AC6、如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O。求证：（1）∠AOB＝120°；（2）CM＝CN；（3）MN∥AB。7、如图所示，CE是△ABC的角平分线，过点E画BC的平行线，交AC于点D，交外角∠ACG的平分线于点F.试证明DE=DF.MEFBACDDEBCANMDGFEBCADGFEBCA8、△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD=CE，DE交BC于P，求证：DP=EP.9、如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，若CE=3cm，求BE的长.10、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线分别与BC，AB交于M、N.求证MB=2AC.11、如图所示，CE是△ABC的角平分线，过点E画BC的平行线，交AC于点D，交外角∠ACG的平分线于点F.试证明DE=DF.12、AD为△ABC的角平分线，M为B