高中数学专题技巧论文汇总

椭圆的参数方程及其应用大纲对椭圆的参数方程的要求是达到理解的程度，如果适当地引进一点简单的参数方程知识，可以起到拓宽视野，简化平面解析几何的运算的功效。本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用，希望能够给读者一些启迪。一般都是这样定义的：椭圆1b)yy(a)xx(220220的参数方程是sinbyycosaxx00（α是参数，0b0a，）。特别地，以点（00yx，）为圆心，半径是r的椭圆的参数方程是sinryycosrxx00（α是参数，r0）。一、求椭圆的内接多边形的周长及面积例1求椭圆)0ba(1byax2222的内接矩形的面积及周长的最大值。解：如图，设椭圆1byax2222的内接矩形在第一象限的顶点是A（sinbcosa，）（20），矩形的面积和周长分别是S、L。xyOBAFECDab22sinab2sinbcosa4|EA||FA|4S，当且仅当4a时，22maxba4sinb4cosa4|)EA||FA(|4Lab2S，，22maxba4L，此时α存在。二、求轨迹例2已知点A在椭圆136y144x22上运动，点B（0，9）、点M在线段AB上，且21MBAM，试求动点M的轨迹方程。解：由题意知B（0，9），设A（sin6cos12，），并且设M（x，y）。则，cos8211021cos12211x21xxBA3sin4211921sin6211y21yyBA，动点M的轨迹的参数方程是3sin4ycos8x（α是参数），消去参数得116)3y(64x22。三、求函数的最值例3设点P（x，y）在椭圆19y16x22，试求点P到直线05yx的距离d的最大值和最小值。解：点P（x，y）在椭圆19y16x22上，设点P（sin3cos4，）（α是参数且)20[，），则5553arcsinsin534|5sin4cos3|d22。当53arcsin2时，距离d有最小值0，此时椭圆19y16x22与直线05yx相切；当53arcsin23时，距离d有最大值2。四、求解有关离心率等入手比较困难的问题例4椭圆)0ba(1byax2222与x轴的正向相交于点A，O为坐标原点，若这个椭圆上存在点P，使得OP⊥AP。求该椭圆的离心率e的取值范围。xyOAP解：设椭圆)0ba(1byax2222上的点P的坐标是（sinbcosa，）（α≠0且α≠π），A（a，0）。则acosa0sinbkcosasinbkAPOP，。而OP⊥AP，于是1acosa0sinbcosasinb，整理得0bcosacos)ba(22222解得1cos（舍去），或222babcos。因为1cos1，所以1bab1222。可转化为1ee1122，解得21e2，于是1e22。故离心率e的取值范围是122，。[截距法]解线性规划问题由于线性规划的目标函数：可变形为，则为直线的纵截距，那么我们在用线性规划求最值时便可以得到如下结论：（1）当时，直线所经过可行域上的点使其纵截距最大时，便是z取得最大值的点；反之，使纵截距取得最小值的点，就是z取得最小值的点。（2）当时，与时情形正好相反，直线所经过可行域上的点使其纵截距最大时，是z取得最小值的点；使纵截距取得最小值的点，便是z取得最大值的点。例1.设x,y满足约束条件求的最大值、最小值。解：如图1作出可行域，目标函数表示直线在y轴上的截距，可见当直线过A（1，0）时，截距值最大，当直线过点O（0，0）时，截距值最小zmin0。图1例2.设满足约束条件求的最大值和最小值。解：如图2作出可行域，因为由图2可知过点B时纵截距最大，取得最小值，所以；过点A时纵截距最小，z在A（）处取最大值，。如何避免“分类讨论”“分类讨论”是一种重要的数学思想，许多问题都离不开分类讨论。但有些问题若能认真审题，深刻反思，克服思维定势，变换思维角度，往往可以避免分类讨论，使问题的解决更为简捷。现采撷几例，供参考。一、运用最值思想，避免分类讨论例1：奇函数)(xf是R上的减函数，若对任意的]10(，x，不等式0)2()(2xxfkxf恒成立，求实数k的取值范围。解：0)2()(2xxfkxf，且)(xf是R上的奇函数，减函数，)2()(2xxfkxf得到22xxkx（1）]10(，x，可得12xxk，问题转化为只要k小于12xx的最小值即可。令xxxh2)(，因为)(xh在（0，2）上是减函数，故当]10(，x时，显然有133)1()(minkhxh，，即2k∴k的取值范围为（-∞，2）点评：按照常规思路，由（1）式转化为02)1(2xkx在]10(，x上恒成立问题，可令2)1()(2xkxxg，然后根据二次函数性质及对称轴位置的变化，进行分类讨论，得到：0)0(021gk或0)21(1210kgk或0)1(121gk解得1k或11k或21k，从而求得k的取值范围为（-∞，2）。这样解就显得比较烦琐，因为有些不等式在区间上的“恒成立”问题，一般通过分离变量，转化为函数的最值问题求解。就可以避免分类讨论，使得解题过程简明快捷，少走弯路。二、妙用换底公式，避免分类讨论例2：设10x，0a且1a，比较|)1(log|xa与|)1(log|xa的大小。分析：本例通常应分1a与10a两种情况讨论，但运用换底公式消去a，就可避免分类讨论，从而达到简化解题过程的目的。解：运用作商比较法，10x，xx11，1111xx|)1(log||)1(log||)1(log|1xxxxaa)1(log1xx111log1xx|)1(log||)1(log|xxaa三、变换主元地位，避免分类讨论例3：设不等式0122mxmx对于满足2||m的一切m的值都成立，求m的取值范围。分析：本例为含参数的不等式，关键是对参数的处理，从表面上看，是一个关于x的一元二次不等式，实质上是一个关于m的一元一次不等式，并且已知它的解集为［-2，2］，求参数的范围。因此通过参数m与未知数x的地位的变化，借助于一次函数图象，避免了繁杂的对参数的讨论。解：设)21()1()(2xmxmf，它是以m为自变量的一次函数，其图象为直线，由题意知，这条直线当]22[，x时，线段在y轴的下方，满足它的为0)2(0)2(ff即0122032222xxxx231231271271xxx或231271x四、借助函数性质，避免分类讨论例4：设定义在［-2，2］上的偶函数在区间［0，2］上单调递减，若)()1(mfmf，求实数m的取值范围。分析：由函数的定义域知]22[]22[)1(，，，mm，但是m1与m到底是在［-2，0］、［0，2］的哪个区域内，不十分清楚，若就此讨论，将十分复杂，如果注意到性质“如果是偶函数，那么|)(|)()(xfxfxf”，问题解答就简捷多了。解：)(xf是偶函数，|)(|)()(xfxfxf，|)(||)1(|)()1(mfmfmfmf又当]20[，x时，)(xf单调递减，22212|||1|mmmm，解得211m点评：本题应用了偶函数的一个简单性质，从而避免了一场“大规模”的讨论，将“曲径”变“通途”。值得深思。活跃在空间图形中的轨迹问题在知识网络交汇点处设计试题是这几年高考命题改革的一大趋势。而以空间图形为素材的轨迹问题，由于具有其独特的新颖性、综合性与交汇性，所以倍受命题者的亲睐，但由于这类题目涵盖的知识点多，创新能力与数学思想方法要求高，而且这些题目远看象“立几”近看象“解几”，所以学生在解题中，往往是望题兴叹，百思而不得其解。本文试从几个例题来剖析这些问题的基本解法。1判断轨迹的类型问题这类问题常常要借助于圆锥曲线的定义来判断，常见的轨迹类型有：线段、圆、圆锥曲线、球面等。在考查学生的空间想象能力的同时，又融合了曲线的轨迹问题。例1在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（D）。A.线段B.一段椭圆弧C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分简析本题主要考查点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义。因为B1C1面AB1，所以PB1就是P到直线B1C1的距离，故由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线的一段，从而选D。引申1在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为2：1，则动点P所在曲线的形状为（B）。A.线段B.一段椭圆弧C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分引申2在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为1：2，则动点P所在曲线的形状为（C）。A.线段B.一段椭圆弧C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分例2（2006届天津市十二区县市重点中学第一次高考模拟联合测试）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的中点，点P在其对角面BB1D1D内运动，若EP总与直线AC成等角，则点P的轨迹有可能是（A）。A.圆或圆的一部分B.抛物线或其一部分C.双曲线或其一部分D.椭圆或其一部分简析由条件易知：AC是平面BB1D1D的法向量，所以EP与直线AC成等角，得到EP与平面BB1D1D所成的角都相等，故点P的轨迹有可能是圆或圆的一部分。例3（2005年浙江省模拟）已知正方体的棱长为a，定点M在棱AB上（但不在端点A，B上），点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为a2，则点P的轨迹所在曲线为（A）。A.抛物线B.双曲线C.直线D.圆简析在正方体中，过P作PFAD，过F作FEA1D1，垂足分别为F、E，连结PE。则PE2=a2+PF2，又PE2-PM2=a2，所以PM2=PF2，从而PM＝PF，故点P到直线AD与到点M的距离相等，故点P的轨迹是以M为焦点，AD为准线的抛物线。点评正方体是空间图形中既简单、熟悉、又重要的几何体，具有丰富的内涵，在正方体中设计的轨迹问题，更是别具一格。例4在正方体中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，总有APBD1，则动点P的轨迹为__________。简析在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面。易证BD1面ACB1，所以满足BD1AP的所有点P都在一个平面ACB1上。而已知条件中的点P是在侧面BCC1B1及其边界上运动，因此，符合条件的点P在平面ACB1与平面BCC1B1交线上，故所求的轨迹为线段B1C。本题的解题基本思路是：利用升维，化“动”为“静”，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹。引申在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，点P在侧面SCD内及其边界上运动，总有PEAC，则动点P的轨迹为_______________。答案线段MN（M、N分别为SC、CD的中点）练习（2004年天津高考题）若A、B为平面的两个定点，点P在外，PB，动点C（不同于A、B）在内，且PCAC，则动点C在平面内的轨迹是________。（除去两点的圆）例5（2004年重庆市高考题）若三棱锥A—BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与ABC组成的图形可能