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《数学家传记大辞典》欧拉小传之数学（转自《数学家传记大辞典》，南开大学张洪光）ReadEuler,readEuler,heisthemasterofusall.P.-S.deLaplace欧拉是18世纪数学界的中心人物．他是继I．牛顿(Newton)之后最重要的数学家之一．在欧拉的工作中，数学紧密地和其他科学的应用、各种技术问题的应用以及公众的生活联系在一起．他常常直接为解决力学、天文学、物理学、航海学、地理学、大地测量学、流体力学、弹道学、保险业和人口统计学等问题提供数学方法．欧拉的这种面向实际的研究风格，使得人们常说：应用是欧拉研究数学的原因．其实，欧拉对数学及其应用都十分爱好．作为一位数学家，欧拉把数学用到整个物理领域中去．他总是首先试图用数学形式表示物理问题，为解决物理问题而提出一种数学思想并系统地发展和推广这一思想．因此，欧拉在这个领域中的杰出成就作为一个整体，可以用数学语言加以系统的阐述．他酷爱抽象的数学问题，非常着迷于数论就是例子．欧拉的数学著作在其各种科学著作中所占的比重也明显地说明了这一点．现代版的《欧拉全集》(LeonhardiEuleriOperaomnia，1911—)72卷(74部分；近况详见文献［1］)中有29卷属于纯粹数学．欧拉在连续和离散数学这两方面都同样有力，这是他的多方面天才的最显著的特点之一．但是，在他的数学研究中，首推第一的是分析学．这同他所处的时代，特别是当时自然科学对分析学的迫切需要有关．欧拉把由伯努利家族继承下来的莱布尼茨学派的分析学的内容进行整理，为19世纪数学的发展打下了基础．他还把微分积分法在形式上进一步发展到复数的范围，并对偏微分方程、椭圆函数论、变分法的创立和发展留下先驱的业绩．在《欧拉全集》中，有17卷属于分析学领域．他被同时代的人誉为“分析的化身”．欧拉的计算能力，特别是他的形式计算和形式变换的高超技巧，无与伦比．他始终不渝地探求既能简明应用于计算，又能保证计算结果足够准确的算法．只是在19世纪开始的“注意严密性”方面，略显不足．他没有适当地注意包含无限过程的公式的收敛性和数学存在性．欧拉还是许多新的重要概念和方法的创造者．这些概念和方法的重要价值，有时只是在他去世一个世纪甚至更长的时间以后才被人们彻底理解．譬如，美籍华人数学家陈省身说过：“欧拉示性数是整体不变量的一个源泉．”欧拉是在数学研究中善于用归纳法的大师．他用归纳法，也就是说，他凭观察、大胆猜测和巧妙证明得出了许多重要的发现．但他告诫人们：“我们不要轻易地把观察所发现的和仅以归纳为旁证的关于数的那样一些性质信以为真．”欧拉从不用不完全的归纳来最后证明他提出的假定是正确的．他的研究结果本质上是建立在严密的论证形式之上的．欧拉采用了许多简明、精炼的数学符号．譬如，用e表示自然对数的底，f(x)表示函数，∫n表示数n的约数之和，△y，△2y…表示号，等等．这些符号从18世纪一直沿用至今．在数学领域内，18世纪可以正确地称为欧拉世纪．约翰·伯努利在给欧拉的一封信中说过：“我介绍高等分析的时候，它还是个孩子，而你正在把它带大成人．”P．S．拉普拉斯(Laplace)常常告诉年轻的数学家们：“读读欧拉，读读欧拉，他是我们大家的老师．”欧拉对数学发展的影响不限于那个时期．19世纪最著名的数学家C．F．高斯(Gauss)、A．L．柯西(Cauchy)、M．И．罗巴切夫斯基(Лобaчевский)、П．Л．切比雪夫(Чебышев)、C．F．B．黎曼(Riemann)常从欧拉的工作出发开展自己的工作．高斯说过：“欧拉的工作的研究将仍旧是对于数学不同范围的最好学校，并且没有任何别的可以替代它．”人们还可以从由切比雪夫奠基的圣彼得堡数学学派追溯欧拉开辟的众多道路．1．数论古代希腊和中国的数学家研究过数的性质．17世纪，P．de费马(Fermat)开辟了近代数论的道路．他提出了若干值得注意的算术定理，但几乎未留下任何证明．欧拉的一系列成果奠定了作为数学中一个独立分支的数论的基础．欧拉的著作有很大一部分同数的可除性理论有关．他很早就采用了同余概念．1736年，欧拉首先证明了数论中重要的费马小定理．1760要的发现是二次互反律．它表述在1783年的一篇论文中，但未给予证明．这个定理的叙述实际上早已包含在欧拉以前写的论文中了，只是未引起同时代人的注意．二次互反律是18世纪数论中的最富首创精神、可能引出最多成果的发现．后来，A．M．勒让德(Legendre)重新发现并不完全地证明了它．高斯参考了欧拉、勒让德的著作，于1801年发表了二次互反律的完整的证明．他把这个初等数论中至关重要的定理誉为“算术中的宝石”．二次互反律后来引起了许多数学家，如E．E．库默尔(Kummer)、D．希尔伯特(Hilber)、E．阿廷(Artin)等人对代数数域中高次互反律的研究，出现了不少意义深刻的工作．1950年，I．R．沙法热维奇(Shafarevich)建立了广义互反律．欧拉还致力于丢番图(Diophantus)分析的研究．费马重新发现了求解方程x2-Ay2=1的问题(其中，A是整数但非平方数)，J．沃利斯(Wallis)全部解出了这个问题．欧拉在1732—1733年的一篇论文中，误称其为佩尔(Pell)方程，这个名称也就这样固定下来了．1759年，后不久，J．L．拉格朗日(Lagra-nge)开始对这个问题进行全面研究．对费马关于“不定方程xn＋yn=zn(n＞2)没有正整数解”的著名猜测(此处x，y，z均为整数，xyz≠0)，1753年欧拉证明n=3时，它是正确的．欧拉的证明建立在无穷递降法的基础上，并利用了形如(VollstndigeAnleitungZurAlgebra，1770，德文版)一书中详尽地叙述了这个证明．此书两卷，最先以俄文发表于圣彼得堡，其中，第二卷有很大篇幅是关于丢番图分析的研究。欧拉用算术方法和代数方法研究上述问题，他还首先在数论中运用分析方法，开解析数论之先河．他利用调和级数的发散性，简单而巧妙地证明了素数个数无穷的欧几里得定理．1737年，欧拉推出了下列著名的恒等式：函数ζ(s)．1749年，欧拉应用发散级数求和法和归纳法，发现了与ζ(s)，ζ(1-s)和Γ(s)有关的函数方程，即：对于实的s，有黎曼后来重新发现并建立了这个函数方程，他是第一个定义ζ函数，也是第一个定义自变量为复值的ζ函数的科学家．19世纪和20世纪，ζ函数已成为解析数论最重要的工具之一，尤其在P．G．L．狄利克雷(Dirichlet)、切比雪夫、黎曼、J．阿达马(Hadama-rd)等人关于素数分布的研究中更是如此．欧拉还研究了数学常数以及同超越数论有关的重要问题．J．H．兰伯特(Lambert)1768年证明e和π是无理数时，曾用连分数表示e，但连分式是欧拉首先采用并奠定理论基础的．1873年，C．埃尔米特(Hermite)证明e是超越数．1882年，F．林德曼(Lindemann)应用欧拉公式eiπ=-1(欧拉1728年发现的)，证明了π是超越数，因此，用直尺和圆规作出一个正方形和已知圆面积相等是不可能的，从而解决了古希腊遗留下来的“化圆为方”问题．欧拉常数的超越性的猜测，则至今尚未解决．2．代数17世纪，代数是人们兴趣的一个重要中心．到了18世纪，它变成从属于分析，人们很难把代数和分析互相区别开来．欧拉很早就把对数定义为指数，并于1728年在其一篇未发表的手稿中引入e作为自然对数的底．1732年，欧拉对G．卡尔达诺(Cardano)的三次方程解法作出了第一个完整的讨论．他还试图找到用根式表示的高于四次的方程之解的一般形式，诚然这是徒劳的．1742年，欧拉在给尼古拉第—·伯努利和哥德巴赫的信中，第一次提出了所有实系数的n次多项式都可以分解为实一次或实二次因式的定理，即具有n个形如a＋bi的根．这是和代数基本定理等价的重要命题，先后由达朗贝尔和欧拉证明．他们的证明思路不同，但都不够完全．19世纪有了更精确的证明．前述的欧拉《代数学入门》一书，是16世纪中期开始发展的代数学的一个系统总结．此书出版后，很快被译成英文、荷兰文、意大利文、法文等多种文字，对于19世纪和20世纪代数学教科书的编写产生极大影响．3．无穷级数在17世纪建立微积分的同时，无穷级数也进入了数学的实践．18世纪是级数理论的形式发展时期．在欧拉的著作中，无穷级数起初主要用作解题的辅助手段，后来成为他研究的一个科目，实际知识达到了很高水平．前面提到的对著名的ζ函数的研究就是一个例子．其出发点是整数平方的倒数求和问题伯努利兄弟、J．斯特灵(Stirling)和其他一些数学家都曾徒劳地探讨过它．1735年，欧拉解决了一个普遍得多的问题，证明了对于任意偶数2K＞0，ζ(2K)=a2kπ2k，这里a2k是有理数，它后来分别通过欧拉-马克劳林求和公式的系数与伯努利数来表示．欧拉还给出了当2K＋1是前面几性质至今尚不清楚．欧拉大约在1732年发现了上述求和公式，他于1735年给出了证明．C．马克劳林(Maclaurin)不谋而合地在几年后又独立地发现了它，并且所用的方法稍好些，也更接近于今天所用的方法．这个公式是有限差演算的最重要的公式之一．有限差演算方法是由B．泰勒(Tayler)和斯特灵奠基的．欧拉的《微分学原理》(Introductiocalculidifferentialis，1755)是有限差演算的第一部论著，他第一个引进差分算子．借助于这个求和公式，1735年，欧拉把前述的欧拉常数γ的值计算到小数点后第16位γ=0.57721566…．欧拉在大量地应用幂级数时，还引进了新的极其重要的傅里叶三角级数类．1744年他在给哥德巴赫的一封信中，谈到了用三角级数表示代数函数的例子：它发表在1755年的《微分学原理》中．此后，他又得到了其他的展开式．1777年，为了把一个给定函数展成在(0，π)区间上的余弦级数，欧拉又推出了傅里叶系数公式．欧拉的论文迟至1798年才发表．他采用的正是现行通用的逐项积分方法．J．B．J．傅里叶(Fourier)对欧拉的工作并不了解，他于1807年得到相同的公式．欧拉也不知克莱罗1759年的相应工作．欧拉还把函数展开式引入无穷乘积以及求初等分式的和，这些成果在后来的解析函数一般理论中占有重要的地位．无穷级数、无穷乘积和连分式之间许多相互变换的方法也是欧拉发现的．形式观点在18世纪无穷级数的工作中占统治地位．级数被看成是无穷的多项式，并且就当作多项式来处理，对其收敛和发散的问题是不太认真对待的．欧拉多少意识到收敛性的重要，他也看到了关于发散级数的某些困难，特别是用它们进行计算时产生的困难．为了寻求收敛的一般理论，欧拉确信且着手进行建立发散级数转变为收敛级数的法则这一艰苦的工作．为此，他对级数的和这一概念提出了新的更广泛的定义．他还提出两种求和法．这些丰富的思想，对19世纪末、20世纪初发散级数理论中的两个主题，即渐近级数理论和可和性的概念产生了深远影响．4．函数概念18世纪中叶，分析学领域有许多新的发现，其中不少是欧拉自己的工作．它们系统地概括在欧拉的《无穷分析引论》(图1)、《微分学原理》和《积分学原理》组成的分析学三部曲中．这三部书是分析学发展的里程碑式的著作．它们至今饶有兴味，尤其《无穷分析引论》的第一卷更是如此．专家们可以从这些著作中追寻分析学许多富有成果的方法的发展足迹．图1《无穷分析引论》的扉页，洛桑，1948年《无穷分析引论》共两卷，它是第一本沟通微积分与初等分析的书．在这部书中，欧拉第一次清晰地论述了数学分析是研究函数的科学，并对函数概念作了更加透彻的研究．他一开头，就把函数定义为由一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式．在这一点上，他继承了约翰·伯努利的思想．欧拉写道，函数间的原则区别在于组成这些函数的变量与常量的组合法不同．他在书中给出了现今还广泛应用的函数的分类．欧拉还区分了显函数与隐函数，单值函数与多值函数．他按照自己和所有同时代的人的经验，坚信所有的函数都能展成级数．欧拉认为函数的自变量不仅可以取实值，也可以是虚值，这一见解极