圆锥曲线(经典题型)

第1页圆锥曲线题型总结一.圆锥曲线的定义及标准方程1．已知动点P（x,y）满足225(1)(2)|3411|xyxy，则P点的轨迹是（）A．直线B.抛物线C.双曲线D.椭圆2．已知双曲线22221xyab的离心率为2，焦点与椭圆221259xy的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为。3．已知双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线方程是3yx，它的一个焦点与抛物线216yx的焦点相同。则双曲线的方程为。4．若双曲线2x4-22yb=1(b0)的渐近线方程式为y=1x2，则ｂ等于。5．在平面直角坐标系xOy中，双曲线112422yx上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是__________6．设抛物线22(0)ypxp的焦点为F，点(0,2)A.若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_____________。7．抛物线28yx的焦点坐标是8．已知双曲线E的中心为原点，(3,0)P是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为(12,15)N,则E的方程式为(A)22136xy(B)22145xy(C)22163xy(D)22154xy二．中点弦问题（一）求中点弦所在直线方程问题1．过椭圆141622yx内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在直线方程。（二）求弦中点的轨迹方程问题2．过椭圆1366422yx上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。（三）弦中点的坐标问题3．求直线1xy被抛物线xy42截得线段的中点坐标。第2页三．离心率的取值范围．（一）直接根据题意建立,ac不等关系求解1.椭圆22221(0)xyabab的焦点为1F，2F，两条准线与x轴的交点分别为MN，，若12MNFF，则该椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．1(0]2，Ｂ．2(0]2，Ｃ．1[1)2，Ｄ．2[1)2，（二）借助平面几何关系建立,ac不等关系求解2．设12FF，分别是椭圆22221xyab（0ab）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P使线段1PF的中垂线过点2F，则椭圆离心率的取值范围是（）A．2(0]2，B．3(0]3，C．2[1)2，D.3[1)3，（三）利用圆锥曲线相关性质建立,ac不等关系求解.3．双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为A.(1,3)B.1,3C.(3,+)D.3,（四）运用数形结合建立,ac不等关系求解4．椭圆G：22221(0)xyabab的两焦点为12(,0),(,0)FcFc，椭圆上存在点M使120FMFM.求椭圆离心率e的取值范围；四．动点轨迹方程问题：（一）直接法：1.点M到定点(0,2)F的距离和它到定直线8y的距离的比是1:2，求点的轨迹方程式.2.已知动点P到定点F(1,0)和直线3x的距离之和等于4，求P的轨迹方程．（二）待定系数法：1.已知椭圆的焦点坐标为和，且经过点，求椭圆的标准方程。2.抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为0135的直线，被抛物线截得的弦长为8，试求抛物线的方程。（三）定义法：1.求与圆1)3(22yx及9)3(22yx都外切的动圆圆心的轨迹方程奎屯王新敞新疆第3页2.一动圆与圆22650xyx外切，同时与圆226910xyx内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．3.已知ABC的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，使ACBsin21sinsin，求点A的轨迹4.动点到点(3，0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．抛物线（四）代入法：1.点A位于双曲线)0,0(12222babyax上，21,FF是它的两个焦点，求21FAF的重心G的轨迹方程2.如图，从双曲线1:22yxC上一点Q引直线2:yxl的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程.（五）参数法：1.过抛物线pxy22（0p）的顶点O作两条互相垂直的弦OA,OB，求弦AB的中点M的轨迹方程.五．直线与曲线交点问题1．已知直线20ykxk与抛物线2:8Cyx相交于AB、两点，F为C的焦点，若||2||FAFB，则k()A.13B.23C.23D.2232．已知椭圆12222byax（0ba）的两个焦点分别为)0)(0,(),0,(21ccFcF，过点)0,(2caE的直线与椭圆相交于点A,B两点，且||2||,//2121BFAFBFAF（Ⅰ求椭圆的离心率；（Ⅱ）直线AB的斜率；（Ⅲ）设点C与点A关于坐标原点对称，直线BF2上有一点H(m,n)(0m)在CAF1的外接圆上，求mn的值。六．圆锥曲线中的取值范围（最值），定点，定值问题对于圆锥曲线问题上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法处理起来十分方便。1．直线m：1kxy和双曲线122yx的左支交于A、B两点，直线l过P（0,2）和AB线段的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围。2.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22221(1)xyabab＞≥过点P（2,1），且离心率32e．yQOxNP第4页（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线的l的斜率为12，直线l与椭圆C交于A、B两点．求△PAB面积的最大值.3.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线60xy相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点.（1）求椭圆C的方程；（2）求OBOA的取值范围；（3）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点.4.已知抛物线22(p0)Expy：,直线2ykx与E交于A、B两点，且2OAOB,其中O为原点.（1）求抛物线E的方程；（2）点C坐标为(0,2)，记直线CA、CB的斜率分别为12,kk，证明：222122kkk为定值.七．圆锥曲线关于直线对称问题1、已知F1,F2是椭圆C:22221xyab（ab0）的左、右焦点，点P(2,1)在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足20PMFM。（1）求椭圆C的方程。（2）椭圆C上任一动点M00(,)xy关于直线y=2x的对称点为M1（x1,y1）,求3x1-4y1的取值范围。八．存在性问题1．设椭圆E:22221xyab（a,b0）过M（2，2），N(6,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由。规律总结1.判定直线与圆锥曲线位置关系时,应将直线l方程与圆锥曲线C的方程联立,消去y(也可消去x)得一个关于变量x的一元方程220.axbx①当0a时,若有0,则l与C相交;若0,则l与C相切;若0,则l与C相离.②当0a时,得到一个一元一次方程,若方程有解,则有直线l与C相交,此时只有一个公共点;若C为双曲线,则l平行于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则l平行于抛物线的轴.所以只有当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时,直线与双曲线、抛物线可能相切,也可能相交.第5页2.“设而不求”的方法若直线l与圆锥曲线C有两个交点A和B时,一般地,首先设出交点A(11,xy)、B(22,xy),它们是过渡性参数,不须求出,有时运用韦达定理解决问题,有时利用点在曲线上代入曲线方程整体运算求解.3.韦达定理与弦长公式斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB,若A(11,xy),B(22,xy)则2|||12|1ABxxk21|12|1(0)yykk,然后再结合韦达定理可求出弦长等.第6页参考答案一、圆锥曲线的定义及标准方程1.A错因：利用圆锥曲线的定义解题，忽视了（1，2）点就在直线3x+4y-11=0上。2.答案：(4,0)30xy3.【解析】本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程，属于容易题。由渐近线方程可知3ba①因为抛物线的焦点为（4，0），所以c=4②，又222cab③联立①②③，解得224,12ab，所以双曲线的方程为221412xy4.【解析】由题意知122b，解得b=1。5.[解析]考查双曲线的定义。422MFed，d为点M到右准线1x的距离，d=2，MF=4。6.解析：利用抛物线的定义结合题设条件可得出p的值为2，B点坐标为（142，）所以点B到抛物线准线的距离为3247.【解析】抛物线28yx，所以4p，所以焦点(2,0).8.二．中点弦问题1.解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：016)12(4)2(8)14(2222kxkkxk又设直线与椭圆的交点为A(11,yx)，B（22,yx），则21,xx是方程的两个根，于是14)2(82221kkkxx，又M为AB的中点，所以214)2(422221kkkxx，解得21k，故所求直线方程为042yx。解法二：设直线与椭圆的交点为A(11,yx)，B（22,yx），M（2，1）为AB的中点，所以421xx，221yy，又A、B两点在椭圆上，则1642121yx，1642222yx，两式相减得0)(4)(22212221yyxx，所以21)(421212121yyxxxxyy，即21ABk，故所求直线方程为042yx。解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(yx,)，由于中点为M（2，1），则另一个交点为B(4-yx2,)，因为A、B两点在椭圆上，所以有16)2(4)4(1642222yxyx，两式相减得042yx，由于过A、B的直线只有一条，故所求直线方程为042yx。2.解法一：设弦PQ中点M（yx,），弦端点P（11,yx），Q（22,yx），第7页则有57616957616922222121yxyx，两式相减得0)(16)(922212221yyxx，又因为xxx221，yyy221，所以0)(216)(292121yyyxxx，所以yxxxyy1692121，而)8(0xykPQ，故8169xyyx。化简可得01672922yxx（8x）。解法二：设弦中点M（yx,），Q（11,yx），由281xx，21yy可得821xx，yy21，又因为Q在椭圆上，所以136642121yx，即136464)4(422yx，所以PQ中点M的轨迹方程为1916)4(22yx（8x）。3.解：解法一：设直线1xy与抛物线xy42交于),(11yxA，),(22yxB，其中点),(00yxP，由题意得xyxy412，消去y得xx4)1(2，即0162xx，所以32210xxx，2100xy，即中点坐标为)2,3(。解法二：设直线1xy与抛物线xy42交于),(11yxA，),(22yxB，其中点),(00yxP，由题意得22212144xyxy，两式相减得)(4122122xxyy，所以4))((121212xxyyyy，所以421yy，即20y，3100yx，即中点坐标为)2,3(。三．离心率的取值范围．四．动点轨迹方程问题：（三）定义法：