高考圆锥曲线题型归类总结

高考圆锥曲线的七种题型题型一：定义的应用1、圆锥曲线的定义：（1）椭圆（2）椭圆（3）椭圆2、定义的应用（1）寻找符合条件的等量关系（2）等价转换，数形结合3、定义的适用条件：典型例题例1、动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。例2、方程表示的曲线是题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：1、椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。2、双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。典型例题例1、已知方程12122mymx表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是例2、k为何值时,方程15922kykx的曲线：(1)是椭圆;(2)是双曲线.题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题1、椭圆焦点三角形面积2tan2bS；双曲线焦点三角形面积2cot2bS2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解3、22,,,nmmnnmnm四者的关系在圆锥曲线中的应用；典型例题例1、椭圆xaybab222210()上一点P与两个焦点FF12，的张角∠FPF12，求证：△F1PF2的面积为b22tan。例2、已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且，．求该双曲线的标准方程题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法1、a,b,c三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；2、a,b,c三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；3、注重数形结合思想不等式解法典型例题例1、已知1F、2F是双曲线12222byax（0,0ba）的两焦点，以线段21FF为边作正三角形21FMF，若边1MF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A.324B.13C.213D.13例2、双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为A.(1,3)B.1,3C.(3,+)D.3,例3、椭圆G：22221(0)xyabab的两焦点为12(,0),(,0)FcFc，椭圆上存在点M使120FMFM.求椭圆离心率e的取值范围；例4、已知双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A）(1,2]（B）(1,2)（C）[2,)（D）(2,)题型五：点、直线与圆锥的位置关系判断1、点与椭圆的位置关系点在椭圆内12222byax点在椭圆上12222byax点在椭圆外12222byax2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：0相交=0相切（需要注意二次项系数为0的情况）0相离3、弦长公式：AB)(11212212xxkxxkak21AB)(1111212212yykyykak2114、圆锥曲线的中点弦问题：1、伟达定理：2、点差法：（1）带点进圆锥曲线方程，做差化简（2）得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系典型例题例1、双曲线x2-4y2=4的弦AB被点M(3,-1)平分,求直线AB的方程.例2、已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线L:x+y=1交于A,B两点，C是AB的中点，若|AB|=22，O为坐标原点，OC的斜率为2/2，求椭圆的方程。题型六：动点轨迹方程：1、求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；2、求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立之间的关系；例1、如已知动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4，求P的轨迹方程．（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。例2、如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；例3、由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为例4、点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______例5、一动圆与两圆⊙M：和⊙N：都外切，则动圆圆心的轨迹为(4)代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程:例6、如动点P是抛物线上任一点，定点为,点M分所成的比为2，则M的轨迹方程为__________(5)参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。例7、过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是题型七：（直线与圆锥曲线常规解题方法）一、设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b与x=my+n的区别）二、设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）三、联立方程组；四、消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）五、根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K是否存在）OAOB121KK0OAOB12120xxyy②“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、锐角、钝角问题”“向量的数量积大于、等于、小于0问题”1212xxyy0；③“等角、角平分、角互补问题”斜率关系（120KK或12KK）；④“共线问题”（如：AQQB数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；（如：A、O、B三点共线直线OA与OB斜率相等）；⑤“点、线对称问题”坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；六、化简与计算；七、细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.基本解题思想：1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；7、思路问题：大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。典型例题：例1、已知点0,1F，直线l：1y，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且QPQFFPFQ．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）已知圆M过定点0,2D，圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设1DAl，2DBl，求1221llll的最大值．例2、如图半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设DNDM=λ，求λ的取值范围.例3、设1F、2F分别是椭圆C：22221(0)xyabab的左右焦点。（1）设椭圆C上点3(3,)2到两点1F、2F距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；（2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段1KF的中点B的轨迹方程；（3）设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为PMk，PNk，试探究PMPNkK的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。例4、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线:lykxm与椭圆C相交于A，B两点（AB，不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．例5、已知椭圆两焦点1F、2F在y轴上，短轴长为22，离心率为22，P是椭圆在第一象限弧上一点，且121PFPF，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点。（1）求P点坐标；（2）求证直线AB的斜率为定值；典型例题：例1、由①、②解得，2xa．不妨设2,0Aa，2,0Ba，∴2124la，2224la．∴22212124211221664llllalllla222448162216464aaaa，③当0a时，由③得，12221216162121226428llllaa≤．当且仅当22a时，等号成立．当0a时，由③得，12212llll．故当22a时，1221llll的最大值为22．例2、解：(1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2521222＞|AB|=4.∴曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆.设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=25,∴a=5,c=2,b=1.∴曲线C的方程为52x+y2=1.(2)设直线l的方程为y=kx+2,代入52x+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.Δ=(20k)2－4×15(1+5k2)＞0,得k2＞53.由图可知21xxDNDM=λ由韦达定理得22122151155120kxxkkxx将x1=λx2代入得2222222225115)51(400)1(kxkkx两式相除得)15(380)51(15400)1(2222kkk316)51(3804,320515,3510,532222kkkk即331,0,316)1(42解得DNDM①,21DNDMxxM在D、N中间，∴λ＜1②又∵当k不存在时，显然λ=31DNDM(此时直线l与y轴重合)综合得：1/3≤λ＜1.例3、解：（1）由于点3(3,)2在椭圆上，22223()(3)21ab得2a=4,…2分椭圆C的方程为22143xy，焦点坐标分别为(1,0),(1,0)……4分（2）设1KF的中点为B（x,y）则点(21,2)Kxy………………………5分把K的坐标代入椭圆22143xy中得22(21)(2)143xy……………7分线段1KF的中点B的轨迹方程为221()1324yx………………………8分（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称设0000(,)(,),(,)MxyNxypxy,,,MNP在椭圆上，应满足椭圆方程，得222200222211xyxyabab，……10分PMPNkK=2200022000yyyyyyxxxxxx=22ba……………………………13分故：PMPNkK的值与点P的位置无关，同时与直线L无关，………………14分