北京大学量子力学课件-第8讲

第八讲第八讲Ⅰ阶梯位势：Ⅰ.阶梯位势：讨论最简单的定态问题000xV)x(V00x0)(（1）当0VE)x(Eu)x(u)Vdxdm(022220xdxm2)x(Eu)x(ud220x)x(Eu)x(udxm220x令，22mEk202)EV(m0xCeDe)x(uikxikxxx0xBeAe)(ikxikx由波函数有界,C＝0在0处波函数连续波函数导数连续在x＝0处，波函数连续，波函数导数连续，解得iDiD解得)ki1(2DA)ki1(2DB0xe)kiK1(2De)kiK1(2D)x(uikxikx0xDe)k(2)k(2)x(uxE对E没有限制，任何E都可取，即取连续值。对E没有限制，任何E都可取，即取连续值。讨论：A处经典粒子不能去的地方但0xA.处，经典粒子不能去的地方，但仍有一定的几率发现量子粒子。0x率现B．区域，有沿x方向的平面波和沿x反方向的平面波且振幅相同构成驻波0x反方向的平面波,且振幅相同，构成一驻波。iEtEe)kxsinkkx(cosD)x(012xe)kxcos()k(D/iEtk这一驻波，在1n221n2kxn2,1,0n处为0。2)1x2(cos2x00C.几率流密度矢：i透射几率流密度矢（）j0（因0i.透射几率流密度矢（）jT＝0（因是实函数）0xxe实ⅱ.在区域，有向右的几率流密度，即入射几率流密度矢0x即入射几率流密度矢)pˆR(jx*))(1(Dk220=iii在区域也有向左的几率流密度)mpRe(jixii))k(1(4m20x0xiii.在区域，也有向左的几率流密度，即反射几率流密度矢ˆDk20x=0x)mpˆRe(jRx*RR))k(1(4Dmk22所以，总几率流密度矢为0。当，入射粒子完全被反射回来没有几率流流入到区域0VE0粒子完全被反射回来，没有几率流流入到区域中。0xj定义：1.反射系数，现R=1;iRjjR2.透射系数，现T=0。iTjjT1RT(2)当,求粒子从左向右方入射的解。0VE)x(Eu)x(u)Vdd(022220xdxm022)x(Eu)x(ud220x)x(Eu)x(udxm22mE2)VE(2令，2mE2k201)VE(m2k0A0xCeDe)x(uikxikxxikxik11由初条件，粒子由左向右入射，由于在x=00xBeAeikxikx处位势有间断点，所以，区域有入射波，也有反射波但在处位势无间断点所0x0也有反射波；但在处，位势无间断点，所以，只有入射波，无反射波，因此，C＝0。0x以，只有入射波，无反射波，因此，C0。由波函数及其导数连续，得)k1(DA1)k1(DB1)k(2)k1(2B结果有0)k1(D)k1(Dikx1ikx10xDe0xe)k1(2e)k1(2)x(uxikikx1ikx1E1讨论：0xDe讨论：A.在时，区域有一沿x方向传播的平面波波数为k但这并不是指粒子具有动0VE0x的平面波，波数为k1但这并不是指粒子具有动量为，因这要全空间）。显然，1k=)mpˆRe(jix*ii212)kk1(4Dmkmk4m=)pˆRe(jRx*RR212)kk1(4Dmkmk4m)pˆR(jx*21Dk=。)mpRe(jTxTT21Dmkk从而得反射系数=iRjjR211)kkkk(透射系数=TjT21kk4透射系数显然ij21)kk(显然1TRⅡ.位垒穿透：（1）EV从左向右入（1）EV0：从左向右入射，所以在区域有0x解eikx（入射波）；e-ikx（反射波）区域有反射波）。区域有eikx（透射波）。axe（透射波）。Sikx0xBeAeaxSe)x(uikxikxikxE这形式是普遍的，只要远离作用区。而沿x方向的几率流密度为方向的几率流密度为，，2Akj2RBkj2TSkj，，iAmjRBmjTSmj2B2SABRASTSB所以只要求得即可。对于区域有方程AS,ABax0对于区域，有方程ax0)x(Eu)x(u)Vd(22ax0ax0)x(Eu)x(u)Vdxm2(02有解xxEFeDe)x(u其中2120))EV(m2(其中由，处，，连续，得20xax)x(uE)x(uEAhki2ih)k(asinh)k(B2222acoshki2asinh)k(22ki2ikaAacoshki2asinh)k(kei2S22ika)(于是有12202)EV(E41ABR220asinhVA1222102202)EV(E4asinhV1AST（2）当0)EV(E4A0VE（2）当这时只要将，并由，得01ikaksiniasinh1得Aaksin)kk(iB1212Aaksin)kk(iakcoskk2B122111Aekk2S22ika1从而有aksin)kk(iakcoskk21221111从而有1202aksinV)VE(E41ABR10aksinVA122ki01202)VE(E4aksinV1AST0)(0)VE(m2kmE2k201)(k2k（3）结果讨论：A（或）即几率流1TRVEVEA．（或），即几率流密度矢连续。当时，仍有一定几率流透射1TR0VE0VE0VE密度矢连续当时仍有定几率流透射过去；当时仍有定几率流被反射B.当时，仍有一定几率流被反射。但当时，T＝1，即完全透射过去。这nak10VE但当时，，即完全透射过去。这种现象称为共振透射（仅在条件下发生）0VEnak1这时02222nVnE02nma2被称为共振能级。这种现象是量子这种现象是量子现象。现象如一种解释，认为所以k为，所以，，即位垒nak12nkna，，即位垒宽是半波长的整数倍时，2k1则经过多次反射而透射出去的波的位相相同，从而出现共振透射。这是不对的，因在这区域中，而出现共振透射。这是不对的，因在这区域中，没有确定的波长。Ⅲ.方位阱穿透：这时只要将即可。00VVAki)kk(ikkk2aksin)kk(iB221212aksin)kk(iakcoskk2122111ekk2ikaAaksin)kk(iakcoskk2ekk2S1221111102)VE(E41BR12200aksinV)V(1ABR112202aksinV1ST0)VE(E41AT其中，。201)VE(m2k2mE2k当时，则同样出现，即πnak11T当时，则同样出现，即共振透射。这时，1(n取值应保证En大于零)02222nVnma2πEma2如果我们将位势在处选取为，那在和区域入射能量0V0VEE在和区域，入射能量，而区域，粒子能量为，即0xax0VEEax0EVE0而域粒子能为即0102)VE(E41BR1220aksinV1AR121012202)VE(E4aksinV1AST0)VE(m2mE2k0)(20)VE(m2k21k§35一维无限深方位阱§3.5维无限深方位阱2ax02ax2)x(V（1）能量本征值和本征函数：2)x(Eu)x(udd22222ax，dxm2220)x(uax0)x(u2x有解2axkxcosBkxsinA2ax02)x(u其中2mE2k其中2ka要求波函数在处连续（当然，并不要求导数连续）于是有2a要求导数连续），于是有02akcosB2aksinA02akcosB2aksinA22要求AB不同时为0则必须系数行列式为022要求A，B不同时为0，则必须系数行列式为0。02akcos2aksin02akcos2aksin即02akcos2aksinⅰ.22πnk02aksin4,2n代入方程得a20B代入方程得0Bnk0ak531nⅱ.ak02kcos5,3,1n代入方程得0A所以，a,6,4,2nxaπnsinA2x,5,3,1naπncosBa)x(un2ax0a相应的本征能量为2相应的本征能量为222nπE（2）结果讨论：2nnma2E（2）结果讨论：A.根据一定边条件，要求(处，波函数连续）薛定谔方程自然地给出能级的量子2ax函数连续），薛定谔方程自然地给出能级的量子化。化B.一个经典粒子处于无限深位阱中，可以安静地躺着不动但对量子粒子而言以安静地躺着不动。但对量子粒子而言，pΔxΔ所以，，，即不能精确为0。2pΔxΔx0xΔ0pΔxxp所以，，，即不能精确为0。因此，无限深方位势的粒子最低能量不为0。0pΔxxpC.对基态：2221πE而21ma22而2axxaπcosa2)x(u12ax0)(1所以，无零点，即无节点，是偶函数。第激发态第一激发态：22222πE而222ma2E2axxaπ2sina2)(2ax02aa)x(u2有一零点，即有一节点，是奇函数。第激发态2第二激发态：22233πE233ma2Eaπ32而a2axxaπ3cosa2)x(u32ax0有二个零点，即有二个节点，是偶函数。§3.6宇称，一维有限深方势阱，双位势（1）宇称前面无限深位势的能量本征函数δ（1）宇称：前面无限深位势的能量本征函数有两类形式：有两类形式。5,3,1nxncos2un12ax642nxnsin2u5,3,1nxacosau)x(u2n1nax0,6,4,2nxasinau)(n2n2x0显然)x(u)x(un1n1)x(u)x(un2n2我们把以偶函数描述的态称为偶宇称态奇函数描述的态称为奇宇称态奇函数描述的态称为奇宇称态。这不是偶然的，它是由于位势在xx这不是偶然的，它是由于位势在的变换下不变)(V)(V的结果。)x(V)x(V的结果。现对这一问题作进一步的讨论：如位势为偶当是方程的解即满)(V)(V)(，，当是方程的解，即满足)x(V)x(V)x(u)x(Eu)x(u))x(Vd(22足在变换下有)x(Eu)x(u))x(Vdxm2(2在变换下，有xx)(E)())(Vd(22是有)x(Eu)x(u))x(Vdxdm2(2于是有，d22)x(Eu)x(u))x(Vdxdm2(2所以，当是解，则也是解。A当能级不简并时令P为宇称算符)x(u)x(uA.当能级不简并时：令P为宇称算符，我们有我)x(cu)x(u)x(upˆ)x(uc)x(u)x(upˆ)x(upˆ22即。)x(uc)x(u)x(up)x(up1c即。因此，当体系在对称位势下运动（空间反射简是对称的）。若能级不简并，其所处的状态，也是宇称算符的本征态，而本征值为，即所得1是宇称算符的本征态，而本征值为，即所得的解必有确定宇称。B当能级简并时那所得解当然不一定有B.当能级简并时，那所得解当然不定有确定的宇称。但奇、偶部分分别是解。