北京大学量子力学课件-第18讲

第十八讲第十八讲Ⅰ三维各向同性谐振子Ⅰ.三维各向同性谐振子按力学量完全集来分类能级及)L,Lˆ,Hˆ(z2按力学量完全集来分类能级及相应的本征函数。维各向同性谐振子的能级是等间距)L,L,H(zA.三维各向同性谐振子的能级是等间距的，有最低能级3的，有最低能级321)23N(EN)2N)(1N(21gNB．每条能级的简并度)2N)(1N(21gNC宇称为2C.宇称为N归化的波数N)1(D.归一化的波函数22r21l21rn2l3Y)3l(F)(]!)!1n2l2(2[22rlm22r2l212rrlmnY)r,2l,n(Fe)r(]]!)!1l2[(!n!)!([ur21)m(2lNnr三维各向同性谐振子也可用2)Hˆ,Hˆ,Hˆ(zyx作为力学量完全集来分类。zyxⅡ.带电粒子在外电磁场中的薛定谔方程，恒定均匀场中带电粒子运动。A.带电粒子在外电磁场中的薛定谔方程质量为的带有电荷为的粒子在电磁场质量为m的带有电荷为q的粒子，在电磁场中的经典哈密顿量为中的经典哈密顿量为ˆˆ21)r(V)t,r(q)]t,r(Aqpˆ[mH221因此，带电粒子在外电磁场及外场中的薛定谔方程为谔方程为21)r(V)t,r(q]Aqi[ti221i.几率守恒0jˆtt])AqPˆ([R1jˆ*])AqP([Rjeⅱ．规范不变性电磁场具有规范不变性电磁场具有规范不变性ffAAA则不变t,fAAAAE,AB则不变量子力学的规范不变性为t,)r(Vq)AqPˆ(Hˆ2212HˆiHti而qf)tr(Fe)t,r(iF而Ⅲ正常塞曼效应)t,r(F,eⅢ.正常塞曼效应NormalZeemanEffect当氢原子，类氢离子或碱金属等原子置于较当氢原子，类氢离子或碱金属等原子置于较强的外磁场中，将会发现他们的每一条标志光谱分裂为条这就常称的简单塞曼效应谱分裂为三条，这就是通常称的简单塞曼效应或正常塞曼效应。（而原来能级分裂成单数能或正常塞曼效应。（而原来能级分裂成单数能级（2l+1）条）由于原子很小，在实验室中，产生的磁场在原子范围内可看作一均匀场（）BrB21A取方向为方向则2B取方向为z方向，则B1)0,xB,yB(21A2)r(V]Pˆ)xBqPˆ()yBqPˆ[(izyx2221)r(V]P)xBP()yBP[(tizyx222BB2221)r(V)]yx(BqLˆqBPˆ[z222228221当，可忽第三项。于是，T1010B2当，可忽第三项。于是，不含时间的薛定谔方程可表为T1010B)r(E)r()]r(VLˆqBP[z222)()()]([z22考虑碱金属和类氢离子，是有心力场无磁场时能量为Eeq)r(V无磁场时，能量为有磁场时，则为nlE有场时则为m2eBEEnlnlm所以，原来是(2l+1)重简并的能级，在外磁2所以，原来是()重简并的能级，在外磁场下分裂为(2l+1)条，各条能级的能量差为LeB称为拉摩频率eBLL2称为拉摩频率2L例：有l=2和l=1两条能级。在无外场下发生跃迁的光波频率为生跃迁的光波频率为E由偶极矩跃迁选择定则由偶极矩跃迁选择定则101mmmfi1fi1meB01m2l1eB0ml1m2eBlⅣ.带电粒子在均匀强磁场中的运动2（）当磁场足够强时，项不能忽。这时薛定TB2102B当磁场足够强时，项不能忽。这时薛定谔方程为Bˆ12Euu)AqPˆ(m212e若为均匀磁场，在z方向，我们可取eB)0,0,yB(A1Euu]PˆPˆ)qyBPˆ[(m212z2y2xe可选为力学量完全集，则有)Pˆ,Pˆ,Hˆ(zx)s()s()sm1d(2222)s()s()sm2dsm2(nnne2e令，，即xPqB1ys2222BqmBqqB2emem2B1Pee2zpnpmBq)21n(m2PEzxee)Py(e1ux/)zPxP(izx)Bqy(e2unpnpzx振子能量为，称为Landau能级B)1n2(m2qe体系具有磁矩e体系具有磁矩)1n2(m2qm2e它不是的整数倍，而是倍。这q,5,3,1它不是的整数倍，而是倍。这就是自由电子气体反磁性的特征em2,5,3,1就是自由电子气体反磁性的特征。由上面结果可以看到由上面结果可以看到：A．在这样强的磁场下，电子在方向平移（如在方向）而在方向振动其振动平衡位z,x（如B在z方向），而在y方向振动，其振动平衡位置由于受到恒定的外力作用而改变了平衡位置BPxBqB.能量与无关，即每一条能级对是简并的即无穷大简并所以xPxP是简并的，即无穷大简并，所以Pdpua仍是本征方程之解xpnpPnpdpuazxxz仍是本征方程之解Ⅴ.磁通量的量子化由于规范不变性发现宏观尺度下的磁通由于规范不变性，发现宏观尺度下的磁通量是量子化的n2通过这两条路径所包围面的通量是量子e化的。用超导材料制成环（0.8cm铜线（1.3•10-3用超导材料制成环（0.8cm铜线（1.310cm直径）镀锡（锡的临界温度为3.8k））置于均匀磁场中。由于磁场存在，环中电子绕环运动。当温度由于磁场存在，环中电子绕环运动。当温度降低到临界温度以下，则变成超导。这时，仅表面很薄一层，其内部。因此，电子在的区域中运动，而所环绕的区域内0B0B0B子在的区域中运动，而所环绕的区域内0B0实验测得在环内的磁通量是量子化的实验测得，在环内的磁通量是量子化的。只不过这时)wb10135741h(n215)wb101357.42e2(ne2分母2倍是由于超导状态时，是电子对结成关联态整体在运动所以电荷为2一关联态，整体在运动。所以电荷为-2e。这是宏观尺度下测得的量子效应。第六章量子力学的矩阵形式及表示理论第六章量子力学的矩阵形式及表示理论§61量子体系状态的表示§6.1量子体系状态的表示在几何学中，一个矢量可以用它在某个坐标在几何学中，个矢量可以用它在某个坐标架中的坐标来描述（现限于正交坐标）332211aeaeaeA显然，当坐标架给定后)e,e,e(321)Aea(iia)e(ii21aa32aa是与矢量完全等价的3A是与矢量完全等价的.当然可另选一坐标系，则矢量为A)e(iiiaeAiiiaeA同样，与等价。所以我们可以用某一坐标系中的坐标来完iaA所以，我们可以用某坐标系中的坐标来完全描述空间某一矢量。而同一矢量在二坐标系中的坐标之间有特定的关系。例如：新坐标系是绕原坐标系Z轴转而获得是绕原坐标系Z轴转而获得ρρ11cosasinacosa21sina12sinasinacosa1233aa33aa3311a0sincosa22a1000cossina33a100a1a21zaa)(R32zaa)(R3类似地，绕y轴转角，则有2121aa010sin0cosaa3232aacos0sin010aa1a21yaa)(R3ya普遍而言，先绕z转，再绕新y转(即N轴)再绕新轴(即)转z(即N轴)，再绕新z轴(即)转，这时z11aa2zNz2aa)(R)(R)(Raa实33aa事实上，)(R)(R)(R)(R)(R)(R11)(R)(R)(R)(R)(R)(R1N1zzzNz而)(R)(R)(R)(R1zyzNzyzN11aa321zN1N1zzz1zyz321aa)(R)(R)(R)(R)(R)(R)](R)(R)(R[aa3321aa)(R)(R)(R32zyzaa)(R)(R)(R而且可以看到3而且可以看到)(R)(Rzzsin0cossin0cos010010cos0sincos0sin001I010100I)(R)(R这表明，是一幺正矩阵I)(R)(Rzz)α(Rz现来讨论一下体系状态的“坐标”—状态表示)(zMˆ示如果有一组力学量构成一力学量完全集M其共同本征函数构成一正交，归一和完备组，并有封闭性并有封闭性。mnnm,)rr()r()r(*)rr()r()r(mmmrd)r()rr()r(mma)r(mmm)(),(rd)r()r(am*mm显然，当选定一组力学量完全集后，则集合是与完全等价的它完全确定Mˆ)(集合是与完全等价的，它完全确定了体系的状态。我们将会看到，与一ma)r(ma)r(了体系的状态。我们将会看到，与样，提供给我们同样多的信息。m)(ˆ状态表示的定义：若力学量的完全集的共同本征函数组为，则的Mˆm),(amm共同本征函数组为，则的全体，被称为体系所处态在表象m),(ammmaMˆ中的表示。也可以看作态矢量在作为基矢所张的“坐标系”中的“坐标”m基矢所张的坐标系中的坐标。的本征函数为，它是力学量的共同本征函数rˆ)rr(δ)r(φr)zyx(学量的共同本征函数。对于任何一个态，都能按它展开)z,y,x()r(rd)r()r(),(*rr)()()(),(rra所以是状态在表象中相应的ra)(r所以，是状态在表象中相应的本征值为的表示。)r(rr本征值为的表示。r对于分立谱：则在表象中的表示可以用单列矩阵表示Mˆa示，可以用一单列矩阵表示maa21aaa2而归一化2ma),(ma11aaa)a,a(2*2*1ˆ对于连续谱：则在表象中的表示，它是的函数ˆa，它是的函数arddd)r(a)r(a),(**)()()(da21da1§6.2Dirac符号介绍§6.2Dirac符号介绍一个态矢量可由一组数表示，但在表示ma（或计算）时，其实已用到态矢量在表象中的表示及表象的共同本征矢的表示marr象中的表示及表象的共同本征矢的表示。rd)()(*rd)r()r(ammrd)r(Ψ)rr(δ)ψ,φ()r(Ψrd)()(δ)()(rd)r(Φ)rr(δ)Φ,φ()r(Φmrm事实上，描述体系所处的状态，并不需要依赖于某表象而仅在计算时在个具体表象赖于某一表象。而仅在计算时，在一个具体表象中进行。中进行。Dirac建议用一抽象的符号来描述体系所