北京大学量子力学课件-第11讲

第十一讲Ⅰ.相干态A.湮灭算符的本征态已证得aˆcccVVaˆ02102122ueu!nceVaˆccnnncc这类态称为相干态。B.相干态性质：1.在该态中位置和动量满足最小测不准关系)cc(mxˆ*2)cc(mipˆ*x2于是有mxxx22222222mpppxxx21xpx2.相干态随时间的演化若处于谐振子势的粒子，在时，处于相干态，则时，体系的波函数为0tcVtc/tHˆicVe)t,x(V021212nnt)n(incue!ncetice/tiVe2于是有这表明的本征值在为，而在时刻为我们有平均值)eVe(ce)eVe(aˆtic/tititic/ti22aˆ0tctticedx)t,x(Vaˆ)t,x(Vaˆc*c我们也有平均值]xˆmpˆ)m(i[x2121ticedx)t,x(Vaˆ)t,x(Vaˆc*c]xˆmpˆ)m(i[x2121所以，ti*ec)aˆaˆ(m)t(xˆ2)tcos()(x0)ecce(mti*ti2其中cm)(x20i)aˆaˆ(m)t(pˆx2)tsin()(xm0i)ecce(mti*ti2它随的演化很接近经典谐振子的运动。tC.本征值为实的相干态正是受迫振动的基态这时，体系的哈密顿量为于是，我们有其中FxxmmpˆHˆx222212202202221212xm)xx(mmpˆHˆx20mFx如令则令0xxX20222221212xmXmmpˆHˆXX]Xˆmpˆ)m(i[AˆX2121]Xˆmpˆ)m(i[AˆX21211]Aˆ,Aˆ[)AˆAˆ()AˆAˆ(xmHˆ212121202XnnXnXnVAˆ)E(V)Hˆ(AˆVAˆHˆ20221xmHˆHˆXnnXnXnVAˆ)E(V)Hˆ(AˆVAˆHˆ它的基态满足而00XVAˆ]Xˆmpˆ)m(i[AˆX2121)]xxˆ(mpˆ)m(i[X02121所以即这表明这时02xmaˆ0200XV)xmaˆ(XXVxmVaˆ0002cXVV002xmc所以，是哈密顿量的相干态。XV0222212xmmpˆHˆxⅡ.表示力学量算符的性质（1）一般运算规则：一个力学量如以算符表示。它是一运算代表一个变换，是将空间分布的几率振幅从Oˆ)z,y,x()z,y,x(Oˆ)z,y,x()z,y,x(Oˆ例：，于是/pˆiaxeOˆ)x(e)x(Oˆdxda0nnnn)x(dxd!n)a()ax()x(即将体系的几率密度振幅沿x方向移动距离a.A.力学量算符至少是线性算符；量子力学方程是线性齐次方程。由于态叠加原理，所以在量子力学中的算符应是线性算符。所谓线性算符，即例如1.Oˆc)c(Oˆ22112211OˆcOˆc)cc(OˆHˆti122211cc例如2.对不显含时间的薛定谔方程若，，则22112211tictic)cc(ti2211HˆcHˆc是线性算符仅当Hˆ)cc(Hˆ2211EHˆ11EHˆ22EHˆ2211cc量子力学不仅要求力学量算符是线性算符，而且方程是线性齐次，)cc(E22112211EcEc2211HˆcHˆc)cc(E)cc(Hˆ22112211是线性算符仅当Hˆ方程就不行。因B.算符之和：表示，对任意波函数进行变换所得的新波函数完全相等，即AOˆAOˆ1AOˆ2A)cc(AOˆcOˆc)cc(Oˆ2122112211BˆAˆOˆOˆBABˆAˆ)BˆAˆ(C.算符之积:表示，对任意波函数，有，则D.逆算符：算符将任一波函数若有另一算符使则称为的逆算符，并表为，BˆAˆOˆOˆBAˆBˆAˆOˆOˆRˆRˆOˆ1OˆRˆRˆ显然，E.算符的函数：设：在x=0处，有各级导数则定义算符的函数1OˆOˆOˆOˆ11)x(Fnnx!n)0(F)x(FnnAˆ!n)0(F)Aˆ(F例如:它有各级导数，。于是如果函数不能以幂级数表示，则还有算符函数的自然展开。xe1)e()n(0xnxx!n1enAˆAˆ!n1e（2）算符的对易性一般而言，两算符的乘积和次序有关，不能彼此对易。若,，则/Lˆ2iyeAˆ/Lˆ2izeBˆAˆBˆBˆAˆ所以算符xipˆxxxiixpˆxixpˆpˆxxxixpˆpˆxxx引入对易子：和的对易子对易子有如下性质Bˆ,AˆAˆAˆBˆBˆAˆBˆ,Aˆ]Aˆ,Bˆ[]Bˆ,Aˆ[Cˆ]Bˆ,Aˆ[]Cˆ,Aˆ[Bˆ]CˆBˆ,Aˆ[Bˆ]Cˆ,Aˆ[]Cˆ,Bˆ[Aˆ]Cˆ,BˆAˆ[Bˆ并有证：成立设：n-1成立，即1n0S1snsnBˆ]Bˆ,Aˆ[Bˆ]Bˆ,Aˆ[,1n2n0S1s1ns1nBˆ]Bˆ,Aˆ[Bˆ]Bˆ,Aˆ[1n1nnBˆ]Bˆ,Aˆ[]Bˆ,Aˆ[Bˆ]Bˆ,Aˆ[1n2n0S1s1n1sBˆ]Bˆ,Aˆ[Bˆ]Bˆ,Aˆ[Bˆ例：求1n1n1S1snsBˆ]Bˆ,Aˆ[Bˆ]Bˆ,Aˆ[Bˆ1n0S1snsBˆ]Bˆ,Aˆ[Bˆ]pˆ,x[nx1n0S1snxxsxpˆ]pˆ,x[pˆ1n0S1nxpˆi1nxpˆni在算符的运算时，要特别小心。例：如和对易，可证明所以Bˆ,Aˆ]Bˆ,Aˆ[21BˆAˆBˆAˆeeei21pˆxpˆxxxeeeBˆ,Aˆ下面是一些有用的对易关系称为Levi-Civita符号。取值，为从123→ijk的对换数。如123→312的对换数2kijkjixi]x,Lˆ[kijkjipˆi]pˆ,Lˆ[kijkjiLˆi]Lˆ,Lˆ[ijkijk)1(ijk例：用上述关系可证：例：z)yzzy(i]z,Lˆ[xyiri2LˆrrLˆpˆi2LˆpˆpˆLˆxyyxyLxLxLyL对易关系是与坐标选择无关例：]r,Lˆ[z]r),xyyx(i[0)r2yx2r2xy2(i)xLxL(yLyLyyxx)zi(zizi2而另外，对易关系与表象选择无关如]r,Lˆ[z0]r,i[]pˆ,x[nx]p,pi[nxx1nxpˆni（3）算符的厄密性（Hermiticity）A.算符复共轭：若对波函数（任意）有则称为的复共轭算符，以表示例所以Aˆ**BˆBˆAˆ*Aˆ)x(dxdi)x(pˆ)x(x*x***)x(pˆdxdi))x(dxdi()x(x*xpˆpˆ算符的复共轭就是将算符所有复数量取复共轭。显然，B.算符的转置1.标积定义：若体系有两个波函数，其标积为***BˆAˆ)BˆAˆ(Aˆ)Aˆ(**rd),(*显然，对于标积，有性质☆0rd),(2rd)(rdrd******,***,,,*,**,☆☆☆则称这两波函数正交。rdrdrd2*21*12211*),(),(),(2*21*122110rd),(*),(),(),(22112211),(),(),(221122112．转置定义：算符称为算符的转置算符即通常以算符表示算符的转置算符。即或BˆAˆrdBˆrdAˆ**)Bˆ,()Aˆ,(**A~ˆAˆrdA~ˆrdAˆ**)A~ˆ,()Aˆ,(**例：C.算符的厄密共轭定义：算符的厄密共轭是该算符取复共轭，再转置，（以表示），rd)x(rdxrdx****xx~Aˆ*A~ˆAˆ例可证),Aˆ()Aˆ,(x)x()x(*Aˆ)Aˆ(AˆBˆ)BˆAˆ(xxppˆxxˆiiLˆLˆD.厄密算符:若算符的厄密共轭就是它自身，则称该算符为厄密算符。E.厄密算符的性质1.厄密算符相加，减仍是厄密算符；但厄密算符之积并不一定为厄密算符。),Aˆ(),Aˆ()Aˆ,(AˆBˆAˆBˆ)BˆAˆ(2.任何状态下，厄密算符的平均值必为实数3.在任何状态下，平均值为实的线性算符必为厄密算符。令,()*)Aˆ,(),Aˆ(),Aˆ()Aˆ,(),Aˆ()Aˆ,()Aˆ,(*21都是任意的21,,线性（1）实数（2）))(Aˆ2121，（)Aˆ)Aˆ)Aˆ)Aˆ22212*2111，（，（，（，（))(Aˆ(2121，)Aˆ)Aˆ)Aˆ)Aˆ22212*2111，（，（，（，（)Aˆ,)Aˆ,)Aˆ,)Aˆ,222*21**1211（（（（两式相减得])Aˆ)Aˆ[*1221，（，（)]Aˆ)Aˆ[12*21*，（，（**1221*])Aˆ)Aˆ[，（，（由于取任意值，该式都成立，因此该式成立仅当，即由于是任意的，所以是厄密算符。易证：若是厄密算符，则。),Aˆ)Aˆ1212（，（21,Aˆ0)]Aˆ)Aˆ[12*21，（，（Aˆ0Aˆ2§4.2厄密算符的本征值和本征函数（1）算符的本征方程如对大量完全相同的体系作完全相同的测量，可以发现，测得A1，A2，A3…等各有一定的几率。而对有一定几率分布（围绕最大几率测量值）的状态，进行一次测量，其偏差大小可由一“涨落”来定义，即由方均根来定义。要使“涨落”为零，即测量值只取确定值，则令这一特殊状态为我们称上述方程为算符的本征方程。显然，仅当体系处于本征态所描述的状态时，测量值才是唯一的，即为相应的本征值（这时“涨落”为0）。nnnuAuAˆnu0)AˆAˆ())AˆAˆ(,()Aˆ,(AˆA222就是体系的能量本征方程。量子力学第三个基本假设：在量子力学中，一个直接可观测的力学量，对应于一个线性厄密算符；当对体系进行该力学量的测量时，一切可能测得值，只能是算符的本征方程的本征值。nnnuEu)pˆ,r(HˆAˆ例1：求轨道角动量在z方向分量的本征值和本征函数。有解由于)(l)(LˆzZ/ilzAe)()()2(iLˆZ得要求是厄密算符（保证本征值为实数）,3,2,1,0,25,23,21lzZLˆmlm2l2zz2,1,0m例2求绕固定轴转子的能量本征值和