《3.4基本不等式》课件

3.4基本不等式：2abab学科网第24届国际数学家大会会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。赵爽：弦图2020/5/31.你能在这个图案中找出面积间的一些相等关系或不等关系吗？BACDEFGH探究点1探究基本不等式BACDEFGH则正方形ABCD的面积是________，这4个直角三角形的面积之和是_________，设AE=a,BE=b,a2+b22ab222.abab即S4S正方形ABCD直角三角形，a22abbZ.x.x.K有可能相等吗？？？又什么时候取等于号呢？ADBCEFGHba22ab重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。222ababABCDE(FGH)ab2020/5/3222,abab一般地，对于任意实数a，b，我们有当且仅当a=b时，等号成立.2.你能给出它的证明吗？为证22222因a+b-2ab=(a-b)0,所以a+b明：2ab.a0,b0,如果a特别地，我们用b,ab,.2abab,分别代替可得(0,0).2ababab可以叙述为:两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.2abab基本不等式(0,0)2abababDABCE如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD,则CD=＿＿,半径为＿＿.ab2abCD小于或等于圆的半径.2abab上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，等号成立.几何意义：半径不小于半弦o3、几何解释ab适用范围文字叙述“=”成立条件222abab≥2abab≥a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍a,b∈Ra0,b0填表比较：注意从不同角度认识基本不等式2020/5/3构造条件二、应用0,02ababab（）20,0ababab（）例1、若,求的最小值.10xyxx变3:若,求的最小值.133xyxx变1:若求的最小值120,3xyxx变2:若,求的最小值.0,0baabyab发现运算结构，应用不等式问:在结论成立的基础上,条件“a0,b0”可以变化吗？2020/5/30,02ababab（）0,02ababab2（）三、应用例2、已知,求函数的最大值.01(1)xyxx变式:已知,求函数的最大值.10(12)2xyxx发现运算结构，应用不等式2020/5/3均值定理：已知x,y都是正数，（1）如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值；（2）如果和x+y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值P2.412S条件说明：1、函数式中各项必须都是正数.2、函数式中含变数的各项的和或积必须都是常值（定值）.3、等号成立条件必须存在.“一正二定三等”，这三个条件缺一不可.2020/5/3应用基本不等式求最值的条件：a与b为正实数若等号成立，a与b必须能够相等一正二定三相等积定和最小和定积最大2baab（a＞0，b＞0）2020/5/3分析：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，面积确定，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.即求（x+y）的最小值.例1(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.2xyxy因为，2100.xy所以2()40.xy等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m.分析：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，周长确定，则2（x+y）=36，篱笆的面积为xym2.即求xy的最大值.例1(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2(x+y)=36,x+y=18，矩形菜园的面积为xym2.18981.22xyxyxy因为，得当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立.因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m2.122.10()3120()30,0,41,42,2490,0,1,xfxxxxfxxxabababxxxxyxyxy例（）若，求的最小值。(2)若，求的最大值。（3）已知且求的最大值。（4）已知求的最小值。（5）已知且求的最小值。练习2020/5/322404221xxxxxx1.当时，函数y=的值域是____2.当x0时，函数y=x+的值域是_____3.求证课堂巩固4.已知x0,y0,且2x+y=1,求的最小值？yx11的取值范围是多少？则若求证已知的最小值？求且yxbababayxyxyxyx,122.79)11)(11(,1,0,0.6,1910,0.52、(04重庆）已知则xy的最大值是。高考方向标：1、当x0时，的最小值为，此时x=。21xx1)0,0(232yxyx613、若实数，且，则的最小值是（）A、10B、C、D、4、在下列函数中，最小值为2的是（）A、B、C、D、)0,(55xRxxxy)101(lg1lgxxxy)(33Rxyxx)20(sin1sinxxxyyx,5yxyx333664318DC2020/5/3【例4】某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。2020/5/3解：设水池底面一边的长度为xm，则水池的宽为,水池的总造价为y元，根据题意，得x160048001600150120(2323)3yxx1600240000720()xxxx16002720240000＋.297600402720240000＋当160040xxx==即时y有最小值297600所以将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低造价是297600元2020/5/3练习：做一个体积为323m，高为2m的长方体纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？xy22020/5/3