2019高考数学复习：正弦定理和余弦定理

2019年高考数学复习资料包1第6节正弦定理和余弦定理最新考纲掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知识梳理1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式asinA＝bsinB＝csinC＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__C常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab2.S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥baba≤b解的个数一解两解一解一解无解[常用结论与微点提醒]1.三角形中的三角函数关系2019年高考数学复习资料包2(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sinA＋B2＝cosC2；(4)cosA＋B2＝sinC2.2.三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.3.利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()(2)在△ABC中，若sinAsinB，则AB.()(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()(4)当b2＋c2－a20时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a20时，△ABC为钝角三角形.()解析(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.(3)已知三角时，不可求三边.(4)当b2＋c2－a20时，三角形ABC不一定为锐角三角形.答案(1)×(2)√(3)×(4)×2.(2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c＝2，cosA＝23，则b＝()A.2B.3C.2D.3解析由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×23，解得b＝3b＝－13舍去.答案D3.(一题多解)(2018·郑州调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝2，c＝22，且C＝π4，则△ABC的面积为()A.3＋1B.3－1C.4D.2解析法一由余弦定理可得(22)2＝22＋a2－2×2×acosπ4，即a2－22a－42019年高考数学复习资料包3＝0，解得a＝2＋6或a＝2－6(舍去)，△ABC的面积S＝12absinC＝12×2×(2＋6)sinπ4＝12×2×22×(6＋2)＝3＋1，选A.法二由正弦定理bsinB＝csinC，得sinB＝bsinCc＝12，又cb，且B∈(0，π)，所以B＝π6，所以A＝7π12，所以△ABC的面积S＝12bcsinA＝12×2×22sin7π12＝12×2×22×6＋24＝3＋1.答案A4.(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝6，c＝3，则A＝________.解析由正弦定理，得sinB＝bsinCc＝6×323＝22，结合bc得B＝45°，则A＝180°－B－C＝75°.答案75°5.(必修5P10B2改编)在△ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为________.解析由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.答案等腰三角形或直角三角形考点一利用正、余弦定理解三角形【例1】(1)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝2，则C＝()A.π12B.π6C.π4D.π3(2)在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝45°，则满足条件的三角形有()2019年高考数学复习资料包4A.1个B.2个C.0个D.无法确定(3)(2018·梅州质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2－b2＝3bc，且sinC＝23sinB，则角A的大小为________.解析(1)由题意得sin(A＋C)＋sinA(sinC－cosC)＝0，∴sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝0，则sinC(sinA＋cosA)＝2sinCsinA＋π4＝0，因为sinC≠0，所以sinA＋π4＝0，又因为A∈(0，π)，所以A＋π4＝π，所以A＝3π4.由正弦定理asinA＝csinC，得2sin3π4＝2sinC，则sinC＝12，得C＝π6.(2)∵bsinA＝6×22＝3，∴bsinAab.∴满足条件的三角形有2个.(3)由sinC＝23sinB，根据正弦定理得，c＝23b，代入a2－b2＝3bc得，a2－b2＝6b2，即a2＝7b2，由余弦定理得：cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋12b2－7b243b2＝32，∴A＝π6.答案(1)B(2)B(3)π6规律方法1.判断三角形解的个数的两种方法(1)代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数值判断.(2)几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数.2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.【训练1】(2017·河北名校联盟质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosC－c＝2b.2019年高考数学复习资料包5(1)求角A的大小；(2)若c＝2，角B的平分线BD＝3，求a.解(1)2acosC－c＝2b，由正弦定理得2sinAcosC－sinC＝2sinB，2sinAcosC－sinC＝2sin(A＋C)＝2sinAcosC＋2cosAsinC，∴－sinC＝2cosAsinC，sinC≠0，∴cosA＝－12，又A∈(0，π)，∴A＝2π3.(2)在△ABD中，由正弦定理得，ABsin∠ADB＝BDsinA，∴sin∠ADB＝ABsinABD＝22.又∠ADB∈(0，π)，A＝2π3，∴∠ADB＝π4，∴∠ABC＝π6，∠ACB＝π6，AC＝AB＝2，由余弦定理，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝(2)2＋(2)2－2×2×2cos2π3＝6，∴a＝6.考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状【例2】(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbcosA，则△ABC为()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定解析(1)由cbcosA，得sinCsinBcosA，所以sinCsinBcosA，即sin(A＋B)sinBcosA，所以sinAcosB0，因为在三角形中sinA0，所以cosB0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.(2)由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，2019年高考数学复习资料包6∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sinA0，∴sinA＝1，即A＝π2，∴△ABC为直角三角形.答案(1)A(2)B规律方法1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.【训练2】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，则△ABC的形状为()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形解析∵c－acosB＝(2a－b)cosA，C＝π－(A＋B)，∴由正弦定理得sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，∴sinAcosB＋cosAsinB－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，∴cosA(sinB－sinA)＝0，∴cosA＝0或sinB＝sinA，∴A＝π2或B＝A或B＝π－A(舍去)，∴△ABC为等腰或直角三角形.答案D考点三和三角形面积有关的问题【例3】(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋3cosA＝0，a＝27，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积.2019年高考数学复习资料包7解(1)由sinA＋3cosA＝0及cosA≠0，得tanA＝－3，又0Aπ，所以A＝2π3.由余弦定理，得28＝4＋c2－4c·cos2π3.即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4.(2)由题设可得∠CAD＝π2，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π6.故△ABD与△ACD面积的比值为12AB·ADsinπ612AC·AD＝1.又△ABC的面积为12×4×2sin∠BAC＝23，所以△ABD的面积为3.规律方法三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.【训练3】(2017·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝3，AB→·AC→＝－6，S△ABC＝3，求A和a.解因为AB→·AC→＝－6，所以bccosA＝－6，又因为S△ABC＝3，所以bcsinA＝6，因此tanA＝－1，又0Aπ，所以A＝3π4.又因为b＝3，所以c＝22.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a2＝9＋8－2×3×22×－22＝29，所以a＝29.2019年高考数学复习资料包8基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2018·沈阳质检)已知△ABC中，A＝π6，B＝π4，a＝1，则b等于()A.2B.1C.3D.2解析由正弦定理asinA＝bsinB，得1sinπ6＝bsinπ4，∴112＝b22，∴b＝2.答案D2.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝2π3，a＝2，b＝233，则B等于()A.π3B.5π6C.π6或5π6D.π6解析∵A＝2π3，a＝2，b＝233，由asinA＝bsinB得，sinB＝basinA＝2332×32＝12.∵A＝2π3，∴B＝π6.答案D3.在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为32，则BC的长为()A.32B.3C.23D.2解析因为S＝12×AB×ACsinA＝12×2×32AC＝32，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，BC＝3.答案B4.(2017·石家庄检测)在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对2019年高考数学复习资料包9边