高中数学导数典型例题

高中数学导数典型例题题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值1.已知函数32()fxxaxbxc过曲线()yfx上的点(1,(1))Pf的切线方程为y=3x+1。（1）若函数2)(xxf在处有极值，求)(xf的表达式；（2）在（1）的条件下，求函数)(xfy在[－3，1]上的最大值；（3）若函数)(xfy在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围2.已知).(3232)(23Raxaxxxf(1)当41||a时,求证：)x(f在)1,1(内是减函数;(2)若)x(fy在)1,1(内有且只有一个极值点,求a的取值范围.题型二：利用导数解决恒成立的问题例1：已知322()69fxxaxax（aR）．（Ⅰ）求函数()fx的单调递减区间；（Ⅱ）当0a时，若对0,3x有()4fx恒成立，求实数a的取值范围．例2：已知函数222()2()21xxfxetexxt，1()()2gxfx．（1）证明：当22t时，()gx在R上是增函数；（2）对于给定的闭区间[]ab，，试说明存在实数k，当tk时，()gx在闭区间[]ab，上是减函数；（3）证明：3()2fx≥．例3：已知3)(,ln)(2axxxgxxxf（1）求函数)(xf在)0](2,[ttt上的最小值（2）对(0,),2()()xfxgx恒成立，求实数a的取值范围（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞成立。题型三：利用导数研究方程的根例4：已知函数axaxxf313)(23.（Ｉ）讨论函数)(xf的单调性；（Ⅱ）若曲线()fx上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.例5：已知函数),(3)(23Rbaxbxaxxf，在点))1(,1(f处的切线方程为.02y（1）若对于区间]2,2[上任意两个自变量的值21,xx，都有cxfxf|)()(|21，求实数c的最小值。（2）若过点)2)(,2(mmM，可作曲线)(xfy的三条切线，求实数m的取值范围。题型四：导数与不等式的综合例6：已知函数ln1()xfxx当1x时，求证：()1fx例7：（2009辽宁）已知函数f(x)=12x2－ax+(a－1)lnx，a1.（I）讨论函数f(x)的单调性；（II）证明：若a5，则对任意x1，x2∈(0，+∞)，x1≠x2，有f(x1)－f(x2)x1－x2－1.