数列求和错位相减法与列项相消法

第七部分数列人教版理科数学栏目导航第1页[考情展望]错位相减法求和、裂项相消法求和是历年高考的重点，命题角度凸显灵活多变，在解题中要善于利用错位相减与裂项相消的基本思想，变换数列an的通项公式，达到求解目的.第七部分数列人教版理科数学栏目导航第2页？项和公式是怎么推导的问题：等比数列的前n1,11,......,11)1(②-①②...①......),1(111111132111133231112311132111qqqaaqnaTnaaaaaaaaaTaanqqaaTqaaTqqaqaqaqaqTqaqaqaaaaaaTqqaannnnnnnnnnnnnnnnnnnnn时，当得由则公式为解：设等比数列的通项第七部分数列人教版理科数学栏目导航第3页例如1、已知数列{na}满足：na＝2n－12n，n∈N*求数列{na}的前n项和Tn.考点一错位相减法求和第七部分数列人教版理科数学栏目导航第4页nnna212解，Tn＝naaaa......321=12＋322＋523＋…＋2n－12n，①12Tn＝122＋323＋…＋2n－32n＋2n－12n＋1.②由①-②式，得12Tn＝12＋222＋223＋…＋22n－2n－12n＋1＝32－12n－1－2n－12n＋1，所以Tn＝3－2n＋32n.第七部分数列人教版理科数学栏目导航第5页变式1、已知数列{na}满足：na＝nn2)12(，n∈N*求数列{na}的前n项和Tn.第七部分数列人教版理科数学栏目导航第6页1n432323212)12(......25232122)12(......252321......nTnaaaaTnnnnnnna2)12(解①②由①-②式，得1111322)32(62)32(62)12(221)21(222)12(22......22222nnnnnnnnnTnnnT第七部分数列人教版理科数学栏目导航第7页变式2、已知数列{na}满足：na＝)0()12(qqnn，n∈N*.求数列{na}的前n项和Tn.第七部分数列人教版理科数学栏目导航第8页1n43232321)12(......531)12(......531......1qnqqqqTqnqqqaaaaTqnnnn时，解：当①②由①-②式，得1,1,1)12()1()1(412)121(2)(1211)12()1()1(41)12(1)1(22)12(2......22)1(21221121132qnqqqnqqqqTnnnaanTnanqqnqqqqqnqqqqnqqqqTqnnnnnnnnnnnnn时，当第七部分数列人教版理科数学栏目导航第9页常用的裂项公式有：①1nn＋1＝_____________；②12n－12n＋1＝________________；③)(1knn＝__________________；④1n＋n＋1＝________________.1n－1n＋11212n－1－12n＋1)()11(1Nkknnkn＋1－n考点二裂项相消法求和第七部分数列人教版理科数学栏目导航第10页例2、已知数列{na}满足：an＝2n,n∈N*.且数列{bn}满足bn＝log2an，求Tn＝1b1b2＋1b2b3＋…＋1bnbn＋1的表达式(用含n的代数式表示)【解】∵an＝2n，∴bn＝log2an＝n..1111)111(......)4131()3121()211(),,...,2,1(111)1(111nnnnnTnnnnnnbbnnn第七部分数列人教版理科数学栏目导航第12页.),()2(1:1nnnnTnaNnnnaa项和的前求数列满足、若数列变式)2)(1(23243211121121)211()1111(...)6141()5131()4121()311(21)211(21)2(1nnnnnnnnnTnnnnann）（解：第七部分数列人教版理科数学栏目导航第13页.),()2(1:222nnnnTnaNnnnnaa项和的前求数列满足、若数列变式2222222222222)2()1(4562165))2(1)1(1411(21)])2(11()1(1)1(1...36116125191)16141()911[(41)211(41)2(1nnnnnnnnnnTnnnnnann）（）（）（）（解：第七部分数列人教版理科数学栏目导航第14页变式3、已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝1fn＋1＋fn，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2014＝()A．2013－1B．2014－1C．2015－1D．2015＋1第七部分数列人教版理科数学栏目导航第15页解析：由f(4)＝2可得4a＝2，解得a＝12，则f(x)＝x12.∴an＝1fn＋1＋fn＝1n＋1＋n＝n＋1－n，S2014＝a1＋a2＋a3＋…＋a2014＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(2014－2013)＋(2015－2014)＝2015－1.答案：C第七部分数列人教版理科数学栏目导航第16页巩固练习：1、(2014·课标全国卷Ⅰ)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根．(1)求{an}的通项公式；(2)求数列an2n的前n项和．第七部分数列人教版理科数学栏目导航第17页【解】(1)方程x2－5x＋6＝0的两根为2,3，由题意得a2＝2，a4＝3.设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，故d＝12，从而a1＝32.所以{an}的通项公式为an＝12n＋1.第七部分数列人教版理科数学栏目导航第18页(2)设an2n的前n项和为Sn.由(1)知an2n＝n＋22n＋1，则Sn＝322＋423＋…＋n＋12n＋n＋22n＋1，12Sn＝323＋424＋…＋n＋12n＋1＋n＋22n＋2.两式相减得12Sn＝34＋123＋…＋12n＋1－n＋22n＋2＝34＋141－12n－1－n＋22n＋2.所以Sn＝2－n＋42n＋1.第七部分数列人教版理科数学栏目导航第19页2、(2013·课标全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列1a2n－1a2n＋1的前n项和．第七部分数列人教版理科数学栏目导航第20页【尝试解答】(1)设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋nn－12d.由已知可得3a1＋3d＝0，5a1＋10d＝－5.解得a1＝1，d＝－1.故{an}的通项公式为an＝2－n.第七部分数列人教版理科数学栏目导航第21页(2)由(1)知1a2n－1a2n＋1＝13－2n1－2n＝1212n－3－12n－1，从而数列1a2n－1a2n＋1的前n项和为121－1－11＋11－13＋…＋12n－3－12n－1＝n1－2n.