4.1-因式分解

4.1因式分解第四章因式分解（1）整式、单项式、多项式的定义分别是什么？整式：单项式和多项式统称整式，例如5，2x，ab，a2b+2a等都是整式；单项式：数与字母的积的形式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫单项式，例如2x2，2a2b3，3，a等都是单项式；多项式：几个单项式的和叫多项式，例如x3+3y，2x2y+3等都是多项式.复习引入激趣导入（2）整式乘法包括哪些？举例说明.整式乘法包括：单项式乘单项式，如a·2b；单项式乘多项式，如a·(m+n)；多项式乘多项式，如(a+b)·(a-b)，(a+b)·(a+b)等.复习引入复习引入问题1：21能被哪些数整除？1，3，7，21.问题2：你是怎样想到的？因为21=1×21=3×7.思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项式可以分解成几个整式的积吗？可以.因式分解的概念一讲授新课问题：993-99能被100整除这个吗？所以，993-99能被100整除.32299-999999-99199(99-1)9998009899100想一想:993-99还能被哪些整数整除?探究引入完成下列题目：x(x-2)=_______(x+y)(x-y)=_______(x+1)2=________x2-2xx2-y2x2+2x+1根据左空，解决下列问题：x2-2x=()()x2-y2=()()x2+2x+1=()2xx-2x+yx-yx+1做一做联系：左右两式是同一多项式的不同表现形式.区别：左边一栏是多项式的乘法，右边一栏是把多项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的.问题2：右边一栏表示的正是多项式的因式分解，你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？问题1：观察同一行中，左右两边的等式有什么区别和联系？总结归纳把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式.其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：辩一辩A.x(a﹣b)=ax﹣bxB.x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2C.y2﹣1=(y+1)(y﹣1)D.ax+by+c=x(a+b)+cE.2a3b=a2•2abF.(x+3)(x﹣3)=x2﹣9√×××××提示：判定一个变形是因式分解的条件：(1)左边是多项式．(2)右边是积的形式.(3)右边的因式全是整式.做一做根据左面算式填空:(1)3x2-3x=_________(2)ma+mb+mc=___________(3)m2-16=__________(4)x2-6x+9=________(5)a3-a=___________计算下列各式:(1)3x(x-1)=__,(2)m(a+b+c)=______,(3)(m+4)(m-4)=_____,(4)(x-3)2=,(5)a(a+1)(a-1)=__,3x2-3xma+mb+mcm2-16x2-6x+9a3-a3x(x-1)m(a+b+c)(m+4)(m-4)(x-3)2a(a+1)(a-1)想一想：由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算?由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同?由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法,由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形互为逆过程.因式分解与整式乘法的关系二x2-1(x+1)(x-1)因式分解整式乘法x2-1=(x+1)(x-1)等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？是互为相反的变形，即例若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a（x﹣2）（x+3），求a，b的值.解：∵x2+ax+b=a（x﹣2）（x+3）=ax2+ax-6a.∴a=1，b=﹣6a=﹣6.典例精析方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆过程是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应比较即可.下列多项式中，分解因式的结果为-(x+y)(x-y)的是（）A．x2﹣y2B．﹣x2+y2C．x2+y2D．﹣x2﹣y2B练一练当堂练习2.下列从左到右的变形中，是因式分解的有______.①24x2y=4x•6xy②（x+5）（x﹣5）=x2﹣25③x2+2x﹣3=（x+3）（x﹣1）④9x2﹣6x+1=3x（x﹣2）+1⑤x2+1=x（x+）⑥3xn+2+27xn=3xn（x2+9）1.下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（）A.a(a+b-1)=a2+ab-aB.a2-a-2=a(a-1)-2C.-4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b)D.2x+1=x(2+)C③⑥x13.把多项式x2+4mx+5因式分解得(x+5)(x+n)，则m+n的值为．解析：由题意可得x2+4mx+5=(x+5)(x+n)=x2+(n+5)x+5n，5n=5，4m=n+5．解得n=1，m=，m+n=1+=.525232324.20042+2004能被2005整除吗?解:∵20042+2004=2004(2004+1)=2004×2005∴20042+2004能被2005整除5.若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式(x﹣2)和(x﹣1)，求mn的值.解：∵x4+mx3+nx﹣16的最高次数是4，∴可设x4+mx3+nx﹣16=(x-1)(x-2)(x2+ax+b)，则x4+mx3+nx-16=x4+(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b比较系数得2b=-16，b-3a+2=0，a-3=m，2a-3b=n解得a=-2，b=-8，m=-5，n=20.∴mn=﹣5×20=﹣100．6.甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1）(x+9)，求a+b的值.解：分解因式甲看错了b，但a是正确的，其分解结果为x2+ax+b=(x+2)(x+4)=x2+6x+8，∴a=6，同理，乙看错了a，但b是正确的，分解结果为x2+ax+b=(x+1)(x+9)=x2+10x+9，∴b=9，∴a+b=15．课堂小结因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的_____的形式，叫做因式分解，也可称为___________.其中，每个整式叫做这个多项式的_______.与多项式乘法运算的关系的变形过程.前者是把一个多项式化为几个整式的_____，后者是把几个整式的______化为一个_________.积分解因式因式互逆多项式乘积乘积