奥数基础-一次函数(含解答)-

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-1-一次函数内容讲解1.一次函数:形如y=kx+b(k≠0,k,b为常数)的函数.注意:(1)k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1;(2)当b=0时,y=kx,y叫x的正比例函数.2.图象:一次函数的图象是一条直线.(1)两个常用的特殊点:与y轴交于(0,b);与x轴交于(-bk,0);(2)由图象可以知道,直线y=kx+b与直线y=kx平行,例如直线:y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行.3.性质:(1)图象的位置:-2-(2)增减性:k0时,y随x增大而增大,k0时,y随x增大而减小.4.求一次函数解析式的方法求函数解析式的方法主要有三种(1)由已知函数推导或推证.(2)由实际问题列出二元方程,再转化为函数解析式,此类题一般在没有写出函数解析式前无法(或不易)判断两个变量之间具有什么样的函数关系.(3)用待定系数法求函数解析式.“待定系数法”的基本思想就是方程思想,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程(组)来解决,题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数,一般就需列出几个含有待定系数的方程,本单元构造方程一般有下列几种情况:①利用一次函数的定义1xx的指数的系数0构造方程组;②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标,即由b为定点;直线y=kx+b平行于y=kx,即由k为定方向;③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程;④利用题目已知条件直接构造方程.待定系数法的主要步骤,简单地说可划为“设”、“列”、“解”三大步.“设”即设未知系数,“列”即列方程或方程组;“解”即解方程或方程组.-3-例题剖析例1(2006年“信利杯”全国初中数学竞赛(广西赛区))已知直线L经过(2,0)和(0,4),把直线L沿x轴的反方向向左平移2个单位,得到直线L′,则直线L′的解析式为_______.分析:先求出直线解析式y=kx+b,再抓住平移k不变,进行求解.解:因为过(2,0)和(0,4)的直线L解析式是y=-2x+4,设向左平移2个单位得到的直线L′解析式是y=-2x+m,将它与x轴的交点坐标(0,0)代入得m=0,所以直线L′的解析式为y=-2x.评注:直线y=kx+b平移时k值不变,上下平移时再抓住与y轴的交点变化,左右平移时再抓住与x轴的交点变化就能得解.例2(2000年全国初中数学竞赛试题)一个一次函数图象与直线y=54x+954平行,与x轴、y轴的交点分别为A、B,并且过点(-1,-25),则在线段AB上(包括端点A、B),横、纵坐标都是整数的点有().(A)4个(B)5个(C)6个(D)7个分析:根据所求一次函数图象与直线y=54x+954平行且过点(-1,-25),即可确定该函数的解析式,然后采用列举法进行分析.解:设与直线y=54x+954平行的直线的方程为y=54x+k,又(-1,-25)在直线y=54x+k上,得k=-954.-4-因为A、B为y=54x-与x轴、y轴的交点,所以A(19,0),B(0,-954).又y=54x-954=54(x-19),0≤x≤19,x-19必须是4的整数倍,只有当x=3,7,11,15,19时,y为整数,因此在线段AB上(包括端点A、B),横、纵坐标都是整数的点有5个,选B.评注:所谓横坐标、纵坐标都是整数的点,即求该函数解析式(二元一次方程)在某范围内的整数解.例3(2005年富阳市初二数学竞赛)不论k为何值,解析式(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0表示的函数的图象经过一定点,则这个定点是_______.分析:该题是“直线束”问题,可在k的取值范围内取两个定值两条特殊直线求得交点,再证明其他直线必过此点.解:因为已知函数是一次函数,故k+3≠0,分别令k=1与k=2,得41003590xyxy解得23xy,即两特殊直线相交于点A(2,3),而当x=2时,函数式为2(2k-1)-(k+3)y-(k-11)=0.整理得(k+3)y=3(k+3),所以k取不等于-3的任何值时,y=3.当x=2时,必得y=3.不论k为何值该一次函数的图象恒过定点(2,3).评注:利用“不论”性,取k的任意两个特殊值,代入函数关系式,求出x、y的值,再验证所求得的x、y值适合函数关系式,从而确定函数图象恒过定点,-5-这是解决这类问题常用的方法.此外本题还可利用一次方程ax=b有无数解的条件来解,同学们不妨一试.例4(2005年富阳市初二数学竞赛)在一次函数y=-x+3的图象上取一点P,作PA⊥x轴,垂足为A,作PB⊥y轴,垂足为B,且矩形OAPB的面积为94,则这样的点P共有()(A)4个(B)3个(C)2个(D)1个分析:设点P的坐标为(x,-x+3),则矩形OAPB的面积表示为│x│×│-(-x+3)│=│x2-3x│=94,然后分两种情况进行讨论.解:选(B).评注:本题通过数形互动,结合一元二次方程实根个数来确定符合条件的点的个数,这是解决这类问题常用方法.此外,由点的坐标表示距离时,不能忘记加绝对值.例5(2006年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题)设0k1,关于x的一次函数y=kx+1k(1-x),当1≤x≤2时的最大值是()(A)k(B)2k-1k(C)1k(D)k+1k分析:y=(k-1k)x+1k,∵0k1,∴k-1k=(1)(1)kkk0,该一次函数的值随x的增大而减小,当1≤x≤2时,最大值为k-1k+1k=k.解:选(A).-6-评注:对于自变量有限范围的一次函数极值问题,应结合一次函数的增减性来确定.例6(2006年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题)设直线y=kx+k-1和直线y=(k+1)x+k(k是正整数)与x轴围成的三角形面积为Sk,则S1+S2+S3+…+S2006的值是_______.分析:先求出直线y=kx+k-1和直线y=(k+1)x+k的交点,再求出这两条直线与x轴围成的三角形面积Sk的表达式.解:因为方程组1(1)ykxkykxk的解为11.xy所以这两直线的交点(-1,-1),直线y=kx+k-1和直线y=(k+1)x+k(k是正整数)与x轴的交点分别是(1,0),(1kkkk,0),Sk=12|-1|×|11kkkk|=12|1k-11k|.所以S1+S2+S3+…S2006=12(1-12+12-13+13-14+…+11111003)(1)20062007220072007.-7-评注:本题在求解过程中的关键是:将1(1)kk拆成1k-11k,这是常用技巧.例7(1997年江苏省初中数学竞赛试题)有一个附有进、出水管的容器,每单位时间进、出的水量都是一定的.设从某时该开始5min内只进水不出水,在随后的15min内既进水又出水,得到时间x(min)与水量y(L)之间的关系如图.若20min后只放水不进水,则这时(x≥20时)y与x的函数关系是________.分析:据图象可知:开始5min,只进水不出水,共进了20L水,每分钟进水4L.随后的15min内既进水又出水,实际水量增加了35-20=15L,每分钟水量增加1L,说明出水管每分钟出水3L.因为水量是固定的,每分钟3L,所以20min后,总水量为35L.解:y=35-3(x-20),即y=-3x+95(20≤x≤953).评注:仔细审题,观察图象,应弄清进水时,每分钟4L;既进又放时,每分钟净增水1L,故每分钟放水为3L,这是解本题的关键.例8(2006年全国初中数学竞赛(海南赛区))在平面直角坐标系中,已知A(2,-2),点P是y轴上一点,则使AOP为等腰三角形的点P有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个-8-分析:分三种情况来讨论,即:如图所示,①以O为顶点的等腰三角形有:△OP1A,△OP2A;②以A为顶点的等腰三角形是△OP3A;③以P为顶点的等腰三角形是△OP4A.因此,满足条件的点P有4个.解:选(D).评注:分类讨论是重要的数学思想方法,竞赛题中经常出现需要分类的考题,这类问题的求解,既要有扎实的基础知识,也要有一定的分析问题和综合解决问题的能力,要强化这方面的训练.例9(2005年宁波市蛟川杯初二数学竞赛)某个游泳池有2个进水口和一个出水口,每个进水口的进水量与时间的关系如图(1)所示,出水口的出水量与时间的关系如图(2)所示,某天早上5点到10点,该游泳池的蓄水量与时间的关系如图(3)所示.-9-在下面的论断中:①5点到6点,打开进水口,关闭出水口;②6点到8点,同时关闭两个进水口和一个出水口;③8点到9点,关闭两个进水口,打开出水口;④10点到11点,同时打开两个进水口和一个出水口.可能正确的是()(A)①③(B)①④(C)②③(D)②④分析:由图1知每个进水口每小时进水量为1m3,由图2知每个出水口每小时出水量为2m3,根据图3,①5点到6点,打开进水口,关闭出水口,时间1小时2个进水口进水量为2m3,蓄水量应为6m3,而不是5m3,故①错误;②6点到6点,同时关闭两个进水口和一个出水口,水位没有变化,故②正确;③8点到9点,关闭两个进水口,打开出水口,时间1小时1个出水口出水量为2m3,蓄水量应为3m3,而不是4m3,故③错误;④10点到11点,同时打开两个进水口和一个出水口,进水量正好等于出水量,水位没有变化,故④正确.解:②④正确,应选(D).评注:本题采用逐项分析法,予以一一排除,对于多论断判断选择型问题应用此法,常能迎刃而解.-10-例10(2006年四川省数学竞赛初二初赛试题)平面直角坐标系内有A(2,-1),B(3,3)两点,点P是y轴上一动点,求P到A、B距离之和最小时的坐标.分析:根据几何模型,得出点A关于y轴对称点A′的坐标,再由待定系数法求出直线A′B解析式,就可得解.解:如图,点A关于y轴对称的点为A′(-2,-1),设过A′、B两点的直线的一次函数为y=kx+b,有1233kbkb解得4535kb∴y=45x+35.当x=0时,y=35,即直线A′B与y轴交于点(0,35),可得所求点P的坐标为(0,35).-11-评注:本题把几何中最短距离问题代数化,解题关键是应用轴对称和一次函数相关知识来求解.此类问题还可改为在x轴上或在坐标轴上求一点P,同学们不妨思考一下.例11(江苏省第二十届初中数学竞赛试题)某仓储系统有20条输入传送带,20条输出传送带.某日,控制室的电脑显示,每条输入传送带每小时进库的货物流量如图(a),每条输出传送带每小时出库的货物流量如图(b),而该日仓库中原有货物8吨,在0时至5时,仓库中货物存量变化情况如图(c),则在0时至2时有多少条输入传送带和输出传送带在工作?在4时至5时有多少条输入传送带和输出传送带在工作?分析:由图(a)知每条输入传送带每小时进库的货物流量是13吨,由图(b)知每条输出传送带每小时出库的货物流量是15吨,再结合图(c)捕捉相关信息进行求解.解:设在0时至2时内有x条输入传送带和y条输出传送带在工作,则由图(c)得13x-15y=1282=2,解这个不定方程得x=14,y=12;所以在0时至2时内有14条输入传送带和12条输出传送带在工作;同理在4时至5时内有6条输入传送带和6条输出传送带在工作.-12-评注:解决此类问题关键是正确识别图象(折线),从中发现,挖掘变量与不变量、变量与变量间的联系,进而建立适合题意的不定方程,将问题转化为研究我们所熟悉的不定方程整数解.例12(2006年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题)做服装生意的王老板经营甲、乙两个店铺,每个店铺在同一段时间内都能售出A,B两种款式的服装合计30件,并且每售出一件A款式和B款式服装,甲店铺获毛利润分别为30元和40元,乙店铺获毛利润分别为27元和36元.某日王老师进货A款式

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