2.3数学归纳法(上课)

2.3数学归纳法2.3数学归纳法课题引入不完全归纳法,1,1},{11nnnnaaaaa已知观察数列,212a,313a,414anan1:猜想归纳通项公式费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n∈N时，一定都是质数，这是他观察当n＝0，1，2，3，4时的值都是质数，提出猜想得到的．半个世纪后，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）发现＝4294967297＝6700417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n＝5这一结论便不成立．122n1252举例说明：一个数列的通项公式是：an=(n2－5n+5)2请算出a1=，a2=，a3=，a4=猜测an＝?由于a5＝25≠1，所以猜测是不正确的所以由归纳法得到的结论不一定可靠1111猜测是否正确呢？1)55(22nnaNnn，都有对一切在使用归纳法探究数学命题时，必须对任何可能的情况进行论证后，才能判别命题正确与否。思考1：与正整数n有关的数学命题能否通过一一验证的办法来加以证明呢？思考2：如果一个数学命题与正整数n有关,我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒下的条件是什么？多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下。多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需要一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。多米诺是种文化。它起源于中国，有着上千年的历史。只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就能全部倒下：（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。（依据）条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。思考：你认为证明数列的通项公式是这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？nan1（1）第一块骨牌倒下；（基础）（1）第一张骨牌必须能倒下时命题成立；取第一个值证明当0)1(nn（2）假若第k（k≥1）张能倒下时，一定能压倒紧挨着它的第k+1张骨牌命题也成立。时命题成立，再证明当时）假设（1),(20knnkNkkn（游戏开始的基础）（游戏继续的条件）分析：能够使游戏一直连续运行的条件：类似地，把关于自然数n的命题看作多米诺骨牌，产生一种符合运行条件的方法：（递推基础）（递推依据）由（1）（2）知，游戏可以一直连续运行。由（1）（2）知，命题对于一切n≥n。的自然数n都正确。我们把以上证明关于自然数n的命题的方法，叫做数学归纳法。2、根据相似性，规范两步骤证明一个与正整数n有关的数学命题关键步骤如下：这种证明方法叫做数学归纳法(1)证明当n取第一个值n0时命题成立*0000,1,2,3nNnnn=或==等*0000,123nNnnn=或=或=等完成这两个步骤后,就可以断定：命题对从开始的所有正整数n都成立0n(2)假设当时,命题成立证明当时,命题也成立*0,nkkNkn1nk（基础）（依据）例题1例题1：已知数列{an}中，a1=1,an+1=an/(an+1),用数学归纳法证明：对所有的正整数n,有an=1/na1=1成立假设ak=1/k成立,若证出ak+1=1/(k+1)成立命题an=1/n成立…………………………………………….第1张骨牌倒下…………………………………………….假设第k张骨牌倒下保证第k+1张倒下第n张骨牌倒下骨牌倒下命题成立类比例2、用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n-1)＝n2(2)假设n＝k时，等式成立，即(1)n＝1时，左边=1，右边=1，等式成立；1+3+5+…+(2k-1)＝k2那么当n＝k+1时，∴由①、②可知对任何n∈N*时，等式都成立需要证明的式子是?2)1()12()12(5311kkkkn：时，需要证明的式子是当1+3+5+…+(2k-1)+（2k+1）＝k2+（2k+1）＝（k+1）2这就是说，当n=k+1时，等式也成立证明：（1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝等式成立。163216)12)(1(3212222kkkk例题3：用数学归纳法证明6)12)(1(3212222nnnnNn（2）假设当n=k时，等式成立，即那么：左边=12+22+……+k2+(k+1)22(1)(21)(1)6kkkk2(1)(21)6(1)6kkkk(1)(1)12(1)16kkk右边2(1)(276)6kkk(1)(2)(23)6kkk即当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2），可知命题对任何n∈N＊都成立。数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。主要有两个步骤、一个结论:（1）证明当n取第一个值n0（如n0=1或2等）时结论正确（2）假设n=k(k∈N＋，且k≥n0)时结论正确，证明n=k+1时结论也正确由（1）、（2）得出结论正确(命题成立)。找准起点奠基要稳用上假设递推才真写明结论才算完整数学归纳法的概念四、案例分析：(缺少初始步)设n∈N+，求证：2+4+6+···+2n=n2+n+1证明：假设当n=k时等式成立，即那么,当n=k+1时，有2+4+6+···+2k=k2+k+1,2+4+6+···+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)+1,这就是说，当n=k+1时等式也成立.所以，对一切n∈N+等式都成立.×案例一：缺乏“递推基础”事实上，我们可以用等差数列求和公式验证原等式是不成立的！案例二：设n∈N+，求证：2+4+6+···+2n=n2+n证明:(1)当n=1时,左边=2,右边=12+1=2,等式成立.(2)假设当n=k时等式成立，即2+4+6+···+2k=k2+k,那么,当n=k+1时，有2+4+6+···+2k+2(k+1)=(k+1)[2+2(k+1)]2=(k+1)2+(k+1)+1,这就是说，当n=k+1时等式也成立.所以，对一切n∈N+等式都成立.评注：证明递推步时一定要用假设的结论，否则递推关系不能成立.(未证递推步)没有用上“假设”，故此法不是数学归纳法请修改为数学归纳法证明：①当n=1时，左边＝,21右边＝,212111②假设n=k时，等式成立，,2112121212132kk＋＋＋＋那么n=k+1时1322121212121kk＋＋＋＋等式成立这就是说，当n=k+1时，等式也成立根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立即211])21(1[211k.2111k第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求案例3：下面是某同学用数学归纳法证明等式成立的过程,它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？（n∈N＊）nn2112121212132＋＋＋＋因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。第一步是递推的基础，第二步是递推的依据。缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。练习1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是()A．1B．1＋3C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4[答案]C[解析]当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3.故应选C.练习2．用数学归纳法证明11·2＋12·3＋13·4＋…＋1n(n＋1)＝nn＋1(n∈N*)，从“n＝k到n＝k＋1”时，等式左边需要增添的项是()A.1k(k＋1)B.1k(k＋1)＋1(k＋1)(k＋2)C.1k(k＋2)D.1(k＋1)(k＋2)[答案]D[解析]当n＝k时，等式左边＝11·2＋12·3＋…＋1k(k＋1)当n＝k＋1时，等式左边＝11·2＋12·3＋…＋1k(k＋1)＋1(k＋1)(k＋2)两者比较需添加的项为1(k＋1)(k＋2).故应选D.221*111,1nnaaaaanNa六、课后作业：1、用数学归纳法证明：在验证1n时，等式左边的项是（）A、11a21aa231aaaB、C、D、C111212123121nnnk1k21kk11kk112kk212kk2、用数学归纳法证明：1+时，由递推到时左边需添的项是（）D、B、C、A、D11113212224nnnnnk1nk3、用数学归纳法证明不等式时的过程中，由到时，不等式的左边（）121k121k11kA、增加了一项B、增加了一项，又减少了一项11,2121kk11,2121kk11kC、增加了两项D、增加两项，又减少了一项D2.数学归纳法证明一个与正整数有关的数学命题的步骤是：（1）证明当取第一个值（如或2等）时命题成立10nn0n递推基础（2）假设时命题成立证明时命题也成立)N(0nkkkn且1kn递推依据在完成了这两步骤以后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立1.数学归纳法适用范围:仅限于与正整数有关的数学命题3.数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷。课堂小结九九电影网九九电影网