人教版高中数学【必修四】[知识点整理及重点题型梳理]-平面向量的数量积-提高

精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用人教版高中数学必修四知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习平面向量的数量积【学习目标】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；【要点梳理】要点一：平面向量的数量积1.平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是，则数量cosab叫a与b的数量积，记作ab，即有cos0abab.并规定0与任何向量的数量积为0.2.一向量在另一向量方向上的投影：cosb叫做向量b在a方向上的投影.要点诠释：1.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.(2)两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积ab，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.(3)在实数中，若0a，且0ab，则0b；但是在数量积中，若0a，且0ab，不能推出0b.因为其中cos有可能为0.2.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为b；当=180时投影为b.要点二：平面向量数量积的几何意义数量积ab表示a的长度||a与b在a方向上的投影cosb的乘积，这是ab的几何意义。图所示分别是两向量,ab夹角为锐角、钝角、直角时向量b在向量a方向上的投影的情形，其中1||cosOBb，它的意义是，向量b在向量a方向上的投影是向量1OB的数量，即11||aOBOBa。精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用事实上，当为锐角时，由于cos0，所以10OB；当为钝角时，由于cos0，所以10OB；当090时，由于cos0，所以10OB，此时O与1B重合；当00时，由于cos1，所以1||OBb；当0180时，由于cos1，所以1||OBb。要点三：向量数量积的性质设a与b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1.coseaaea2.0abab3.当a与b同向时，abab；当a与b反向时，abab.特别的2aaa或aaa4.cosabab5.abab要点四：向量数量积的运算律1.交换律：abba2.数乘结合律：ababab3.分配律：abcacbc要点诠释：1.已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bca=c.但是abbcac；2.在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是abcabc显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.要点五：向量数量积的坐标表示1.已知两个非零向量11(,)axy，22(,)bxy，1212abxxyy精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用2.设(,)axy，则222||axy或22||axy3.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，那么221212||()()axxyy(平面内两点间的距离公式).要点六：向量在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件1122//(0)(,)(,)ababbxyxy(2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件121200ababxxyy(3)求夹角问题，利用121222221122cosxxyyababxyxy(4)求线段的长度，可以利用2aa或22122121()()PPxxyy【典型例题】类型一：平面向量数量积的运算例1．（1）已知|a|=4，|b|=5，向量a与b的夹角为3，求①a·b；②(a+b)2；③a2―b2；④(2a+3b)·(3a―2b)；（2）若向量a+b+c=0，且|a|=3，|b|=1，|c|=4，求a·b+b·c+c·a的值。【思路点拨】（1）(a+b)2=222aabb，(2a+3b)·(3a―2b)=6|a|2+5a·b―6|b|2把模和数量积代入可得。（2）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)，把模和数量积代入可得。【答案】（1）1061－9―4（2）―13【解析】（1）①1||||cos451032abab。②(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=61。③a2―b2=|a|2―|b|2=－9。④(2a+3b)·(3a―2b)=6|a|2+5a·b―6|b|2=―4。（2）∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)，∴2222222()()0(314)1322abcabcabbcca。【总结升华】（1）此类题目要充分利用有关的运算法则将其转化为求数量积及模的问题，特别要灵活应用a2=|a|2。精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用（2）在解题中，利用了(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)这一关系式，类似于实数的运算。举一反三：【变式1】已知|a|=5，|b|=4，〈a，b〉=3，求（a+b）·a.【答案】35【解析】原式=22||||||cos,aabaabab=125542=35例2．（1）若|a|=4，a·b=6，求b在a方向上的投影；（2）已知|a|=6，e为单位向量，当它们之间的夹角分别等于60°、90°、120°时，求出a在e方向上的正投影，并画图说明。【答案】（1）32（2）略【解析】（1）∵a·b=|a||b|cos=6，又|a|=4，∴4|b|cos=6，∴3||cos2b。（2）a在e方向上的投影为|a|·cos。如上图所示，当=60°时，a在e方向上的正投影的数量为|a|·cos60°=3；当=90°时，a在e方向上的投影的数量为|a|·cos90°=0；当=120°时，a在e方向上的正投影的数量为|a|·cos120°=－3。【总结升华】要注意a在b方向上的投影与b在a方向上的投影不是相同的。类型二：平面向量模的问题例3．已知|a|=|b|=4，向量a与b的夹角为23，求|a+b|，|a―b|。【思路点拨】已知两个向量的模和夹角，把|a+b|和|a―b|用向量的模和夹角的来表示，所以先求出精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用2ab和2ab，然后再开方即可。【答案】4，43【解析】因为a2=|a|2=16，b2=|b|2=16，2||||cos44cos83abab，所以222||()21616(16)4abababab。同事可求222||()216161643abababab。【总结升华】关系式a2=|a|2，可使向量的长度与向量的数量积互相转化。因此欲求|a+b|，可求(a+b)·(a+b)，并将此式展开。由已知|a|=|b|=4，得a·a=b·b=16，a·b也可求得为―8，将上面各式的值代入，即可求得被求式的值。举一反三：【平面向量的数量积395485例4】【变式1】已知||2,||5,3abab，求||,||abab。【答案】3523【解析】222()2425635abaabb，||35ab同理，||23ab【变式2】已知ab与的夹角为0120，3a，13ab，则b等于()A5B.4C.3D.1【解析】2222abaabb，222cos12013aabb，解得4b，故选B.【总结升华】涉及向量模的问题一般利用22aaaa，注意两边平方是常用的方法.类型三：向量垂直（或夹角）问题例4．（2015上海月考）已知||3a，||4b，（1）若(2)(2)20abab，求a与b的夹角；（2）若a与b的夹角为60°，试确定实数k，使kab与ab垂直．【答案】（1）1arccos6；（2）103k【解析】（1）∵||3a，||4b，(2)(2)20abab，精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用∴22(2)(2)232ababaabb29216334cos,20ab，∴1cos,6ab，∴11,arccos()arccos66ab，∴a与b的夹角为1arccos6．（2）∵||3a，||4b，a与b的夹角为60°，kab与ab垂直，∴22()()(1)0kababkakabb，∴9k+(1－k)×3×4×cos60°－16=0，解得103k．举一反三：【变式1】已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向a+b与向量ka－b垂直，则k=________。【答案】1【变式2】已知,ab是两个非零向量，同时满足abab，求aab与的夹角.【解析】法一：将abab两边平方得221122abab，2223abaabba则222221()32cos23aaaabaabaabaabaa，故aab与的夹角为30°.法二：数形结合因为abab，如图作,OAaABb，则OBab，ABC是等边三角形，延长BA至C，使AC=AB，BCb，OCaba与ab的夹角为AOC，易知大小为30°。【总结升华】注意两个向量夹角共起点，灵活应用两个向量夹角的两种求法.【平面向量的数量积395485例5】【变式3】已知,,abc为非零向量，且||||bacabc，||||abcabc，精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用求证：,acbc。【证明】由||||bacabc，得22()()0bacabc()()0bacabcbacabc()0cba，0cbca（1）同理：0cbca（2）由（1）、（2）式得：00abbc，,acbc例5．（1）已知量a、b、c满足a+b+c=0，且|a|=5，|b|=7，|c|=10，求a、b的夹角的余弦值；（2）已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为60°，若a+b与a+b的夹角为锐角，求实数的取值范围。【答案】（1）1335（2）1313313313,,1(1,)66【解析】（1）由a+b+c=0知，a+b=－c，∴|a+b|=|c|，(a+b)2=c2，即a2+2a·b+b2=c2。∴222222222||||||105713222cabcabab。则13cos,35||||ababab。故a、b的夹角的余弦值为1335。（2）由题意可得1||||cos602332abab。又(a+b)·(a+b)=a2+(2+1)a·b+b2，而a+b与a+b的夹角为锐角，∴a2+(2+1)a·b+b2＞0，而a2=|a|2=4，b2=|b|2=9，a·b=3，∴32+13+3＞0，精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用解得133136或131336。但是当=1时，a+b与a+b共线，其夹角不为锐角。故的取值范围是1313313313,,1(1,)66。【