6-习题课同济大学-线性代数-第六章

:),;,,(;,,,;,,,,.,RVVVRVVRV设运算规律两种运算满足以下八条并且这记作的积与称为与之对应总有唯一的一个元素与任一元素数又对于任一记作的和与称为之对应与总有唯一的一个元素意两个元素如果对于任为实数域是一个非空集合设１线性空间的定义;0,,)4(;0,;0)3();())(2(;)1(使的负元素都有对任何都有对任何中存在零元素在VVVV,)()8(;))(7(;)()()6(;1)5(那么，就称为（实数域上的）向量空间（或线性空间），中的元素不论其本来的性质如何，统称为（实）向量．简言之，凡满足八条规律的加法及乘数运算，就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就称为向量空间．VRV.00,0)4(;00;)1(;00)3(;,)2(;)1(或则如果作的负元素记一的任一元素的负元素是唯零元素是唯一的２线性空间的性质３子空间定义设是一个线性空间，是的一个非空子集，如果对于中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间，则称为的子空间．VLVVVLL定理线性空间的非空子集构成子空间的充分必要条件是：对于中的线性运算封闭．VLVL.,,,,,,,,,)2(;,,,)1(:,,,,,21212121的维数称为线性空间个基的一就称为线性空间那么性表示线总可由中任一元素线性无关满足个元素如果存在中在线性空间VnVVnVnnnn定义.,Vnnn记作维线性空间的线性空间称为维数为４线性空间的维数、基与坐标定义.),,,(,,,,,,,,,,,,,,,,,21212122112121TnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxVV并记作这个基下的坐标在这组有序数就称为元素使总有且仅有一组有序数任一元素对于的一个基是线性空间设一般地，设与是两个线性空间，如果在它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那么就说线性空间与同构．VUVU线性空间的结构完全被它的维数所决定．任何维线性空间都与同构，即维数相等的线性空间都同构．Rnn式可表示为量和矩阵的形式利用向个有序元素记作这把个基中的两是线性空间及设)1(,),,,(,,)1(,,,,,,,,112211222211221221111111nnnnnnnnnnnnnnnnpppppppppV５基变换.,,,,.,,,,,,,)2()1()2(.),,,(),,,(2121212121212121222121211121故过渡矩阵可逆线性无关由于的过渡矩阵到基称为由基矩阵称为基变换公式或或nnnnnnTnnnnnnnnPPPppppppppp则有坐标变换公式若两个基满足关系式下的坐标为在基下的坐标为在基中的元素设PxxxxxxVnnnTnnTnn),,,(),,,(,)',,','(,,,,),,,(,,,,212121212121６坐标变换.''','''211212121xxxPxxxxxxPxxxnnnn或.),,,(),,,(,,2121Pnn式则两个基满足基变换公换公式满足上述坐标变若任一元素的两种坐标反之).(,)(),(,,,,,,ATTBABABA或记作或映射的变换到集合合这个对应规则称为从集那么和它对应中一个确定的元素总有按照一定规则元素中的任一如果对于设有两个非空集合７线性变换的定义.)(,)()(),(,,.,,,)(,BATATATATTATTTTA显然即记作象集称为象的全体所构成的集合的源集称为变换下的源在变换称为下的象在变换称为变为把元素就说变换设变换的概念是函数概念的推广．.,.,),()(),(,,)2();()()(),(,,)1(,,,21212121的对应的变换变换就是保持线性组合线性简言之的线性变换到就称为从那么有从而任给有从而任给满足如果变换的变换到是一个从间维线性空维和分别是实数域上的设UVTkTkTVkRkVTTTVVTUVTmnUVmnnnnnmnmn.,,,线性变换中的称为线性空间到其自身的线性变换间是一个从线性空那么如果特别地VVTVUnnnm.,,,,,,,,3;)(,2;)(,001212122112211反之不然亦线性相关则线性相关若则若mmmmmmTTTTkTkTkTkkkTTT８线性变换的性质..,0,05.),()(4的核称为线性变换的子空间也是的全体的使的象空间称为线性变换的子空间是一个线性空间的象集线性变换TSVTVSTTVVTTTnnTnn.,,,,))(,),(),((,)()(,2121222211121121为单位坐标向量其中表示都可用关系式中任何线性变换eeeaaaaaaaaaeTeTeTARxAxxTTRnnnnnnnnnn９线性变换的矩阵表示,)(,)(,)()(,,,,,2211222211221221111121nnnnnnnnnnnnnaaaTaaaTaaaTTVVT为用这个基线性表示下的象如果这个基在变换一个基中取定在中的线性变换是线性空间设10线性变换在给定基下的矩阵.,,,,,,),,,(),,,()),(,),(),((),,,(2121222211121121212121的矩阵下在给定基就称为线性变换那么其中式可表示为上记nnnnnnnnnnnTAaaaaaaaaaAATTTTT.,.,,一对应的线性变换与矩阵是一在给定一个基的条件下个线性变换也可唯一地确定一由一个矩阵确定一个矩阵可唯一地由线性变换中取定一个基后在TAATVn.,,,,,,,,,,,,,,,121212121APPBBATVPVnnnnnn那么和的矩阵依次为在这两个基下中的线性变换的过渡矩阵为到基由基与中取定两个基在线性空间同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的，反之，相似矩阵也可以看成是同一线性变换在不同基下的矩阵．11线性变换在不同基下的矩阵.,)(的秩换称为线性变的维数的象空间线性变换TVTTn).(,ARTTA的秩就是则的矩阵是若.,rnSTrTT的维数为的核则的秩为若典型例题一、线性空间的判定二、子空间的判定三、求向量在给定基下的坐标四、由基和过渡矩阵求另一组基五、过渡矩阵的求法六、线性变换的判定七、有关线性变换的证明八、线性变换在给定基下的矩阵九、线性变换在不同基下的矩阵线性空间中两种运算的８条运算规律缺一不可，要证明一个集合是线性空间必须逐条验证．若要证明某个集合对于所定义的两种运算不构成线性空间，只需说明在两个封闭性和８条运算规律中有一条不满足即可．,,,:.,,::,,aakRkRaabbaRbaRRRk对任意数量乘法对任意加法上定义了两种运算在是实数集合是全体正实数集合设例1一、线性空间的判定?性空间上的线数域对这两种运算是否构成判断RR解,1R,0,0aakak.R,,,,RlkRba任取,0,0,0abbaba.Rba.封闭的数量乘法运算是对于上述定义的加法和即R.Rak;)1(abbaabba);()()()()())(2(cbabcabcacabcabcba;1,11,1)3(中的零元素是RaaaR;1)(111,1,01,0)4(aaaaaaRaaa的负元素是零元即;))(5(alakaaaaaalklklklk.的线性空间上量乘法构成对上述定义的加法和数RR);()()()())(6(alkalaaaaklklkklkl);()())(()()()()7(bkakbkakbaababkbakkkk.1)8(1aaa?),,,(0,21的子空间构成维实向量的问在什么条件下满足阶实对称矩阵为设RxxxXnXXAnAnnT例2解,0XXARXVTn令.,,VkXVX则若显然,VO.V0)()()(2XXAkkXAkXTT即二、子空间的判定:的子空间的条件是构成故RVn:的子空间的条件为构成因此RVn,0)()(,,YXAYXVYXT有对任意的.02YXAYYAXYAYXAXXATTTTT即.0,,YXAVYXT都有对于任意的.1,][)1)(2(,1,122在该基下的坐标并求向量的一组基是证明xxxRxxx例3证一.][,3][)1(22都构成它的一组基意三个线性无关的向量中任所以维线性空间是因为xRxR.][)1)(2(,1,12xRxxx.0)1)(2()1(1321xxkxkk令0)3(223332321xkxkkkkk整理得三、求向量在给定基下的坐标,0,03,02332321kkkkkk比较等式两边得.02100320211D其系数行列式为.][)1()2(),1(,1,)1)(2(),1(,1,0,2321的一组基是所以线性无关于是即故方程组只有零解xRxxxxxxkkk,),,(1)2(3212aaaxxT在给定基下的坐标为设),1)(2()1(113212xxaxaaxx则有,)3()2(123323212xaxaaaaaxx整理得,1,13,12332321aaaaaa比较系数,1,4,3321aaa解之得).1)(2()1(431,)1,4,3(122xxxxxxxT即在给定基下的坐标为所以证二且又的一组基是已知,][)1)(2(,1,1,][,,1)1(222xRxxxxRxxxxxxxxxx221)3(1223)1)(2(11)1(111,,,1)1)(2(,1,12线性表示可以由即xxxxx)1)(2(1)1(311)1(1112xxxxxx又.][)1)(2(,1,1,)1)(2(,1,1,,,1.,,)1)(2(,1,1,,1222的一组基是从而也线性无关因此无关线性而故有相同的秩所以两个向量组等价线性表示可以由即xRxxxxxxxxxxxxx.11111)2(22xxxx中的线性表达式知由标为下的坐在基设)1(,)1)(2(,1,113212aaaxxxxx,100310211),,1())1)(2(,1,1(2