2015年高考新课标2卷文科数学试题(解析版)

-1-2015普通高等学校招生全国统一考试新课标Ⅱ卷文科数学一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A=BAxxBxx则,30,21A.(-1，3)B.(-1，0)C.(0，2)D.(2，3)解析：选A2．若a实数，且aiiai则,312A.-4B.-3C.3D.4解析：因为.4,42)1)(3(2aiiiai所以故选D3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是2700260025002400230022002100200019002013(年)201220112010200920082007200620052004A.逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著；B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效；C.2006年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势；D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。解析：选D4．已知向量ababa）则（2),2,1(),1,0(A.-1B.0C.1D.2解析：选B5．设项和，的前是等差数列naSnn若5531,3Saaa则A.5B.7C.9D.11解析：在等差数列na中，因为.,5525)(,1,335153531AaaaSaaaa故选所以6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为-2-A.81B.71C.61D.51解析：还原三视图，如图所示，选D.7．已知三点)32()30(),01(，，，，CBA,则ABC外接圆的圆心到原点的距离为A.35B.321C.352D.34解析：根据题意，三角形ABC是等边三角形，设外接圆的圆心为D，则D（1，332）所以，.32137341OD故选B.8．右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b分别为14,18，则输出的a为A.0B.2C.4D.14解析：执行程序框图：18-14=4,14=4=10,10-4=6,6-4=2,4-2=2,所以a=b=2，故选B.9．已知等比数列24531),1(4,41aaaaaan则满足A.2B.1C.21D.81解析：因为),1(4,414531aaaaan满足所以，.21241,2,2),1(4123144424qaaqqaaaaa所以，所以又解得故选C.10．已知A,B是球O的球面上两点，为该球面上动点，CAOB,90若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为A.36πB.64πC.144πD.256π解析：因为A,B都在球面上，又为该球面上动点，CAOB,90所以三棱锥的体积的最大值为3661213132RRR，所以R=6，所以球的表面积为S=14442Rππ，故选C.11．如图，长方形的边AB=2，BC=1,O是AB的中点，点P沿着边BC,CD,与DA运动，的图像大致为则数两点距离之和表示为函到将动点)(),(,,xfxfBAPxBOP-3-xPODCBADCBAππ3π4π2π43π4π4π23π42222ππ2π4π3π4π2π4XOYXYOXOYYXO解析：如图，当点P在BC上时，22,tan,4tan,tan4tan,BOPxPBxPAxPAPBxx当4x时取得最大值51，以A,B为焦点C,D为椭圆上两定点作椭圆，显然，当点P在C,D之间移动时PA+PB51.，又函数)(xf不是一次函数，故选B.12．设函数的范围是成立的则使得xxfxfxxxf)12()(,11)1ln()(2A.)1,31(B.),1()31,(C.)31,31(D.),31()31,(解析：因为函数时函数是增函数是偶函数，),0[,11)1ln()(2xxxxf.131,)12(,12)12()(22xxxxxxfxf解得故选A.二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数axaxxf），则的图像过点（4,1-2)(3。解析：a=-214．若x,y满足约束条件的最大值为则yxzyxyxyx2,012,012,05。解析：作出可行域可知，当x=3,y=2时，z=2x+y取得最大值8.答案：815．已知双曲线过点），（3,4，且渐近线方程为xy21，则该双曲线的标准方程为-4-解析：设双曲线的方程为.43,4),0(422kkkyx）代入方程，解得，点（1422yx双曲线的标准方程为16．已知曲线xxyln在点（1,1）处的切线与曲线axaaxy相切，则1)2(2解析：.122,11'xyxy，切线方程为切线的斜率为22221(2)120,80,80.0218.yxyaxaxaxaxaaaaayxa将与联立得由解得或时曲线为与切线平行，不符。所以三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）.2,DCBDBACADBCDABC平分上的点，是中，（Ⅰ）求;sinsinCB（Ⅱ）若.,60BBAC求解析：（Ⅰ）由正弦定理得,sinsinABACCB再由三角形内角平分线定理得，21BDDCABAC.21sinsinCB（Ⅱ）120,60CBBACsin1.sin2sin,sin(120)2sin,sin23tan,30.3BCBBBCBB由（Ⅰ）得展开得18.（本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表.400.0050.0100.035A地区用户满意度评分的频率分布直方图0.0400.0300.0250.0200.0151009080706050O满意度评分频率组距-5-B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数2814106（I）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度,（不要求计算出具体值,给出结论即可）0.0050.0100.035B地区用户满意度评分的频率分布直方图0.0400.0300.0250.0200.0151009080706050O满意度评分频率组距（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.解析：（I）B地区频率分布直方图如图所示0.0050.0100.035B地区用户满意度评分的频率分布直方图0.0400.0300.0250.0200.0151009080706050O满意度评分频率组距比较A,B两个地区的用户，由频率分布直方图可知：A地区评分均值为45x0.1+55x0.2+65x0.3+75x0.2+85x0.15+95x0.05=67.5分B地区评分均值为55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.25+95x0.15=76.5分A地区用户评价意见较分散，B地区用户评价意见相对集中。（II）A地区的用户不满意的概率为0.3+0.2+0.1=0.6，B地区的用户不满意的概率为0.05+0.20=0.25，所以A地区的用户满意度等级为不满意的概率大。19.（本小题满分12分）如图,长方体1111ABCDABCD中AB=16,BC=10,18AA,点E,F分别在1111,ABDC上,114.AEDF过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.-6-FED1C1B1A1DCBA（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（II）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.解析：（I）在AB上取点M,在DC上取点N，使得AM=DN=10,然后连接EM,MN,NF,即组成正方形EMNF，即平面α。（II）两部分几何体都是高为10的四棱柱，所以体积之比等于底面积之比，即.971261041121EMBBAMEASSVV20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:10xyCabab的离心率为22,点2,2在C上.（I）求C的方程；（II）直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.解析：（I）如图所示，由题设得,22ac又点的坐标满足椭圆的方程，所以12422ba，联立解得：.148,4,82222yxCba的方程为：所以切线（II）设A,B两点的坐标为.,,,,,2211mnknmMyxyxom）的坐标为（点）），（（,82,8222222121yxyx则上面两个式子相减得：.2222121.0)()(22121121221222122nmnmyyxxxxyyxxyy变形得FED1C1B1A1DCBAC(2,2)YXOMBA-7-.21)2(1212mnnmmnxxyykkoml（定值）21.（本小题满分12分）已知ln1fxxax.（I）讨论fx的单调性；（II）当fx有最大值,且最大值大于22a时,求a的取值范围.解析：已知ln1fxxax.1I'().0()0110()0,)(,).fxaxafxafxaa（）当时，函数在（，）上是增函数；当时，函数在（上是增函数，在上是减函数（II）由（1）知，当.ln1)1(1)(0aaafaxxfa时取得最大值在时，函数.01ln,22ln1aaaaa整理得由1()ln1,'1,00,'()0,()0(1)0,()(1),01,(0,1.gxxxgxaxgxgxxggagaa设则（）在（，）是增函数。又上述不等式即即）请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O是等腰三角形ABC内一点,⊙O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.（I）证明EF∥BC.（II）若AG等于⊙O的半径,且23AEMN,求四边形EDCF的面积.解析：（I）证明：由切线的性质得AE=AF，所以△AEF是等腰三角形，又AB=AC,所以EFABCAEFACAFABAE,,∥.BC（II）解：,,,ROGOEAGAEOEOE则连接22)32(4,2222OMRRRROA，，NMGOFEDCBANMGOFEDCBA-8-.,6030,.31030cos,5121,321都是等边三角形，AEFABCBACBADABOEADABRADODMNMD.331660sin322160sin3102122EBCFS四边形23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线1cos,:sin,xtCyt（t为参数,且0t）,其中0,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin,:23cos.CC（I