2.3.2《平面向量正交分解及坐标表示》课件

2.3.2平面向量正交分解及坐标表示向量作为一种数学工具，在中学数学中向量的优势更多地体现在沟通几何与代数，并将几何及其它的一些问题通过代数运算来研究,这样一个思辨的过程变为了一种程序化的操作过程.向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算.向量基本定理的研究综合了前面的向量知识，同时又为后继的内容作了奠基，这就决定了本课内容在向量知识体系中的核心地位。本节课从力的正交分解入手，通过向量的夹角的引入得出向量的坐标表示。（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.复习平面向量基本定理(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式唯一.λ1,λ2是被a,e1、e2唯一确定的数量。1122.aee＝＋G=F1+F2F1F2GG=F1+F2叫做重力G的分解类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量G与F1,F2有什么关系?121122.aee均有一对实数，，使＝＋不共线向量有不同方向，它们的位置关系可以用夹角来表示．关于向量的夹角，规定：OabBAθ当θ=0°时，a与b同向；当θ=180°时，a与b反向．如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b．已知两个非零向量a和b．如图，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角．向量的夹角180与反向abOABabOAa0Bbb记作ab90与垂直，abOABab注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的与同向abOABaba向量的夹角把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.若两个不共线向量互相垂直时aλ1a1λ2a2F1F2G正交分解我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj．①Oxyijaa=（x，y），②其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示．显然，i=（1，0），j=（0，1），0=（0，0）．这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作Oxyija平面向量的坐标表示如图，在直角坐标平面中，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由向量a唯一确定．Oxyijaaxy设OA=xi+yj，则向量OA的坐标（x，y）就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标（x，y）也就是向量OA的坐标．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示．i=j=0=(1,0)(0,1)(0,0)ayOxxiyjjia=(x,y)平面向量的坐标表示yOxajixiyjxiyjb相等的向量坐标相同向量a、b有什么关系?a＝b能说出向量b的坐标吗?b=(x,y)yxAa如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由a唯一确定。yxOji设OA=xi+yj，则向量OA的坐标（x,y)就是点A的坐标；a(x,y)因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。反过来，点A的坐标（x,y)也就是向量OA的坐标。练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.(1)(1,2)a(2)(1,2)b(1,2)A.xyoaxyo(1,2)B.解：b如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标.AA1A2abcd解：同理，b=-2i+3j=(-2,3)c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3)yxO1234-4-3-2-154321-1-2-3-4-5ji1234由图可知a=AA1+AA2=2i+3j,a=(2,3)例1.用基底i,j分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标.-4-3-2-11234ABij12-2-1Oxyabcd45323(2,3)ABij23(2,3)bij23(2,3)cij23(2,3)dija的坐标等于AB的终边坐标减去起点坐标。在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标．例2.【解】设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，又∵|OA→|＝|a|＝2，|OB→|＝|b|＝3，|OC→|＝|c|＝4.∴A(2，2)，B－32，332，C(23，－2)，∴a＝(2，2)，b＝－32，332，c＝(23，－2)在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标．例2.1.已知O是坐标原点，点A在第一象限,|OA→|＝43，∠xOA＝60°，求向量OA→的坐标．解：设A(x，y)，则x＝43cos60°＝23，y＝43sin60°＝6，∴A(23，6)，OA→＝(23，6)．平面向量的正交分解平面向量的坐标表示1.在直角坐标系中,|a|=4,|b|=3,a,b如图所示,求它们的坐标.解:设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a1=|a|cos45°=22,a2=|a|sin45°=22,b向量相对于x轴正方向转角为120°.∴b1=|b|cos120°=-32,b2=|b|sin120°=332.∴a=(22,22),b=33,322.敬请指导.