1.21绝对值三角不等式的解法

点击进入相应模块1.绝对值三角不等式1.理解绝对值的几何意义.2.掌握绝对值三角不等式及其几何意义.3.掌握三个实数的绝对值不等式及应用.1.本课重点是绝对值不等式定理的几何意义及应用.2.本课难点是用绝对值三角不等式的两个定理证明含绝对值的不等式问题.绝对值不等式绝对值不等式几何意义绝对值三角不等式实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离.对于任意两个实数a,b,设它们在数轴上的对应点分别为A,B,那么|a-b|的几何意义是数轴上A,B两点之间的距离,即线段AB的长度.如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时，等号成立.如果a,b,c是实数，那么|a-b|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立.定理1定理2|a||a-b|1.|a+b|与|a|-|b|,|a-b|与|a|-|b|及|a|+|b|分别具有什么关系？提示：|a|-|b|≤|a+b|,|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|.2.三个实数的绝对值不等式的几何意义是怎样的？提示：数轴上任意一点到两点的距离之和，不小于这两点的距离.3.函数y=｜x-1｜+｜x-3｜的最小值是_______.【解析】y=｜x-1｜+｜x-3｜≥｜x-1+3-x｜=2.答案：21.定理2的几何解释在数轴上，a,b,c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|a-c|=|a-b|+|b-c|；当点B不在点A，C之间时，|a-c|＜|a-b|+|b-c|.2.不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≥0，左侧“=”成立的条件是ab≤0，且|a|≥|b|；不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≤0,左侧“=”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.与绝对值不等式相关的判断【技法点拨】与绝对值不等式相关的判断方法与技巧(1)判断一个不等式成立与否,往往是对影响不等号的因素进行分析,如一个数的正、负、零等，数(或式子)的积、平方、取倒数等都对不等号产生影响，注意考查这些因素在不等式中的作用，一个不等式的成立与否也就比较好判断了.(2)如果对不等式不能直接判断,往往需要对不等式化简整理或变形后再利用绝对值不等式进行判断.【典例训练】1.若x5,n∈N+,则下列不等式:①②③④其中,能够成立的有________.2.不等式≥1成立的充要条件是_____.aba|b|nnxlg5lgn1n1；nnxlg5lgn1n1；nnxlg5lgn1n1；nnxlg5lg.n1n1【解析】1.∵01,∴lg0,由x5,并不能确定|x|与5的关系.所以①②③均不成立.又∵|x|lg≤0,5|lg|0,故④成立.答案：④nn1nn1nn1nn12.①当|a||b|时,有|a|-|b|0,∴|a+b|≥||a|-|b||=|a|-|b|.∴必有≥1，即|a||b|是≥1成立的充分条件.②当≥1时,由|a+b|0,必有|a|-|b|0,即|a||b|,故|a||b|是≥1成立的必要条件.∴不等式成立的充要条件为|a||b|.答案：|a||b|aba|b|aba|b|aba|b|aba|b|【想一想】你知道如何证明｜a｜-｜b｜≤｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜吗?提示：整体代换法：利用｜a｜-｜b｜≤｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜得｜a｜-｜-b｜≤｜a+(-b)｜≤｜a｜+｜-b｜,即｜a｜-｜b｜≤｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜.求范围或最值【技法点拨】利用绝对值三角不等式求最值绝对值三角不等式反映了绝对值之间的关系，有些对于y=｜x-a｜+｜x-b｜或y=｜x+a｜-｜x-b｜型的函数最值求法，利用该不等式或其几何意义更简捷、方便.【典例训练】1.若不等式｜x-a｜+｜x-2｜≥1对任意的实数x均成立，则实数a的取值范围是______.2.求函数f(x)=｜x-3｜+｜x-1｜的最小值，并求出取最小值时x的范围.xax21恒成立绝对值不等式的几何意义：数轴上x到a与x到2的距离之和当a=1或a=3时，对任意的x，距离和的最小值为1，所以当a≤1或a≥3时该不等式恒成立a(,1][3,)审题转化求解结论答案：(-∞,1］∪［3,+∞)【解析】1.解题流程：2.根据定理2，f(x)=｜x-3｜+｜x-1｜≥｜(x-3)-(x-1)｜=2,当且仅当(x-3)(x-1)≥0,即x≥3或x≤1时，f(x)取得最小值2.【想一想】本例2除了用定理2解答，你还有哪些方法？提示：可利用绝对值不等式的几何意义，利用数轴求得最小值为2.含绝对值不等式的证明【技法点拨】1.含绝对值不等式的证明技巧含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明.2.证明绝对值不等式的基本步骤(1)对原式“拆项”“重组”，以期利用条件；(2)利用定理1或定理2进行转化；(3)化简、证明结论.【典例训练】1.已知ε＞0,｜x-a｜＜ε,｜y-b｜＜ε,求证：｜(x+y)-(a+b)｜＜2ε.2.设f(x)=x2-x+13,实数a满足|x-a|1,求证:|f(x)-f(a)|2(|a|+1).【证明】1.｜(x+y)-(a+b)｜=｜(x-a)+(y-b)｜≤｜x-a｜+｜y-b｜①∵｜x-a｜＜ε,｜y-b｜＜ε,∴｜x-a｜+｜y-b｜＜ε+ε=2ε②由①②得:｜(x+y)-(a+b)｜＜2ε.2.∵f(x)=x2-x+13.∴|f(x)-f(a)|=|x2-x-a2+a|=|x-a|·|x+a-1||x+a-1|，又∵|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|1+|2a|+1=2(|a|+1)，∴|f(x)-f(a)|＜2(|a|+1).含参数的绝对值不等式的应用【典例】(12分)设a∈R，函数f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1).(1)若|a|≤1,求|f(x)|的最大值.(2)求a的值，使函数f(x)有最大值.178【规范解答】【规范解答】(1)设g(a)=f(x)=ax2+x-a=(x2-1)a+x……………………………………………………1分∵-1≤x≤1,当x=±1时，|f(x)|=|g(a)|=1；当x≠±1时，x2-1＜0,g(a)=(x2-1)a+x是单调递减函数…2分∵|a|≤1,∴-1≤a≤1,①∴g(a)max=g(-1)=-x2+x+1,………………………………………………3分215(x)24g(a)min=g(1)=x2+x-1=(x+)2-,…………………………4分∴|f(x)|=|g(a)|≤|g(a)max|=||≤,………………………………………5分∴|f(x)|的最大值为………………………………………6分(2)当a=0时②，f(x)=x；当-1≤x≤1时，f(x)的最大值为f(1)=1不可能满足题设条件,∴a≠0.……………………………………………………7分又f(1)=a+1-a=1,f(-1)=a-1-a=-1，12215(x)24545454故f(±1)均不是最大值.……………………………………8分∴f(x)的最大值应在其对称轴上顶点位置取得.∴a0.∴命题等价于………………………9分1112a117f(),2a8a0,,817⇒⇒…………………………………………11分∴a=-2.………………………………………………………12分1a2a28a10，，1a21a2a8，或，【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：(注：此处的①②见规范解答过程)【规范训练】(12分)已知a，b，c为实数，函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时，|f(x)|≤1.求证：(1)|c|≤1；(2)当-1≤x≤1时，|g(x)|≤2.【解题设问】(1)本题解题的突破条件是什么？当-1≤x≤1时，｜f(x)｜≤1.(2)证明｜g(x)｜≤2需要讨论a的取值范围吗？需要.【规范答题】(1)当-1≤x≤1时，|f(x)|≤1,取x=0时，有|c|=|f(0)|≤1，即|c|≤1…………………………………2分(2)方法一：当a0时，g(x)=ax+b在［-1，1］上是增函数.∴g(-1)≤g(x)≤g(1).∵|f(x)|≤1(-1≤x≤1),|c|≤1,∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2,g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2.由此得|g(x)|≤2……………………………………………5分当a0时，g(x)=ax+b在［-1，1］上是减函数.∴g(-1)≥g(x)≥g(1).∵|f(x)|≤1(-1≤x≤1),|c|≤1,∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2.g(1)=a+b=f(1)-c≥-(|f(1)|+|c|)≥-2.由此得|g(x)|≤2.…………………………………8分当a=0时，g(x)=b,f(x)=bx+c.∵-1≤x≤1,∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2.…………………10分综上所述，|g(x)|≤2.……………………………………12分方法二：由得g(x)=ax+b22x1x1x,4…………………………………………6分当-1≤x≤1时，0≤≤1,-1≤≤0.∴|f()|≤1，|f()|≤1,……………………………8分∴|g(x)|=|f()-f()|≤|f()|+|f()|≤1+1=2.……………………10分综上可得,当-1≤x≤1时,|g(x)|≤2.…………………12分2222x1x1x1x1ab()4422x1x1x1x1a()b()ca()b()c2222x1x1f()f().22［］［］［］x12x12x12x12x12x12x12x121.若｜x-a｜＜h,｜y-a｜＜k,则下列不等式一定成立的是()(A)｜x-y｜＜2h(B)｜x-y｜＜2k(C)｜x-y｜＜h+k(D)｜x-y｜＜｜h-k｜【解析】选C.｜x-y｜=｜(x-a)+(a-y)｜≤｜x-a｜+｜a-y｜＜h+k.2.设ab＞0，下面四个不等式中，正确的是()①｜a+b｜＞｜a｜；②｜a+b｜＜|b|；③｜a+b｜＜｜a-b｜；④｜a+b｜＞｜a｜-｜b｜.(A)①和②(B)①和③(C)①和④(D)②和④【解析】选C.∵ab＞0,∴a,b同号，∴｜a+b｜=｜a｜+｜b｜,∴①④正确.3.不等式＜1成立的充要条件是()(A)a,b都不为零(B)ab＜0(C)ab为非负数(D)a,b中至少有一个不为零【解析】选B.＜1⇔|a+b|＜|a|+|b|⇔a2+b2+2ab＜a2+b2+2|ab|⇔ab＜|ab|⇔ab＜0.aba|b|aba|b|4.函数y=|x-4|-|x-6|的最大值为________.【解析】利用绝对值的几何意义画出数轴，可知当x≥6时取得最大值2.答案：25.已知｜x｜＜,｜y｜＜,｜z｜＜,求证：｜x+2y-3z｜＜ε.【证明】｜x+2y-3z｜≤｜x｜+｜2y｜+｜-3z｜=｜x｜+2｜y｜+3｜z｜＜++=ε.∴｜x+2y-3z｜＜ε.36932639