圆周运动中的临界问题

1/6圆周运动中的临界问题一、水平面内圆周运动的临界问题关于水平面内匀速圆周运动的临界问题，涉及的是临界速度与临界力的问题，具体来说，主要是与绳的拉力、弹簧的弹力、接触面的弹力和摩擦力有关。1、与绳的拉力有关的临界问题例1如图1示，两绳系一质量为kgm1.0的小球，上面绳长ml2，两端都拉直时与轴的夹角分别为o30与o45，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为srad/3时，上、下两绳拉力分别为多大？2、因静摩擦力存在最值而产生的临界问题例2如图2所示，细绳一端系着质量为kgM6.0的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着质量为kgm3.0的物体，M的中心与圆孔距离为m2.0，并知M与水平面间的最大静摩擦力为N2，现让此平面绕中心轴匀速转动，问转动的角速度满足什么条件可让m处于静止状态。（2/10smg）3、因接触面弹力的有无而产生的临界问题二、竖直平面内圆周运动的临界问题对于物体在竖直平面内做变速圆周运动，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且也经常会出现临界状态。1、轻绳模型过最高点如图所示，用轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直平面内光滑轨道内侧做圆周运动过最到点的情况相似，都属于无支撑的类型。临界条件：假设小球到达最高点时速度为0v，此时绳子的拉力（轨道的弹力）O30O45ABC图1MrOm图22/6刚好等于零，小球的重力单独提供其做圆周运动的向心力，即rvmmg20，grv0，式中的0v是小球过最高点的最小速度，即过最高点的临界速度。（1）0vv（刚好到最高点，轻绳无拉力）（2）0vv（能过最高点，且轻绳产生拉力的作用）（3）0vv（实际上小球还没有到最高点就已经脱离了轨道）例4、如图4所示，一根轻绳末端系一个质量为kgm1的小球，绳的长度ml4.0，轻绳能够承受的最大拉力为NF100max，现在最低点给小球一个水平初速度，让小球以轻绳的一端O为圆心在竖直平面内做圆周运动，要让小球在竖直平面内做完整的圆周运动且轻绳不断，小球的初速度应满足什么条件？（2/10smg）2、轻杆模型过最高点如图所示，轻杆末端固定一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直放置的圆形管道内过最到点的情况相似，都属于有支撑的类型。临界条件：由分析可知，小球在最高点的向心力是由重力和轻杆（管壁）的作用力的合力提供的，如果在最高点轻杆（管壁）对小球的作用力与重力刚好平衡，那么此时外界提供的向心力为零，即小球过最高点的瞬时速度可以为零，所以小球过最高点的临界速度为00v。（1）0v，轻杆（管壁）对小球有向上的支持力NF，且mgFN（2）grv0，轻杆（管壁）对小球有向上的支持力NF，由rvmFmgN2，可得rvmmgFN2，NF随v的增大而减小，mgFN0（3）grv，重力单独提供向心力，轻杆（管壁）对小球没有力的作用（4）grv，轻杆（管壁）对小球施加向下的拉力（压力），由rvmFmg2拉，0v4图O3/6可得mgrvmF2拉，且拉F随着v的增大而增大例5、如图5所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，AB段平直，质量为m的小球以水平初速度0v射入圆管。（1）若要小球能从C端出来，初速度0v多大？（2）在小球从C端出来瞬间，对管壁的压力有哪几种典型情况，初速度0v各应满足什么条件？3、汽车过拱桥如图所示，汽车过拱形桥顶时，由汽车的重力和桥面对汽车的支持力的合力提供其最高点的向心力，由rvmFmgN2，可得rvmmgFN2，由此可见，桥面对汽车的支持力随着汽车速度的增大而减小，如果速度增大到某一个值0v，会出现桥面对汽车的支持力为零，即grv0是汽车安全过拱桥顶的临界速度。（1）grv0，汽车不会脱离拱形桥且能过最高点（2）grv，因桥面对汽车的支持力为零，此时汽车刚好脱离桥面做平抛运动（3）grv，汽车将脱离桥面，非常危险例6、如图6所示，汽车质量为kgm4105.1，以不变的速率通过凸形路面，路面半径为mR15，若要让汽车安全行驶，则汽车在最高点的临界速度是多少?如果汽车通过最高点的速度刚好为临界速度，那么接下来汽车做什么运动，水平运动的位移是多少？（2/10smg）CBRA图56图4/6例题1．解析：（1）当角速度很小时，AC和BC与轴的夹角都很小，BC并不张紧。当逐渐增大到o30时，BC才被拉直（这是一个临界状态），但BC绳中的张力仍然为零。设这时的角速度为1，则有：mgToAC30cosooAClmT30sin30sin21将已知条件代入上式解得srad/4.21（2）当角速度继续增大时ACT减小，BCT增大。设角速度达到2时，0ACT（这又是一个临界状态），则有：mgToBC45cosooBClmT30sin45sin22将已知条件代入上式解得srad/16.32所以当满足sradsrad/16.3/4.2，BCAC、两绳始终张紧。本题所给条件srad/3，说明此时两绳拉力BCACTT、都存在。则有：ooBCoAClmTT30sin45sin30sin2mgTToBCoAC45cos30cos将数据代入上面两式解得NTAC27.0，NTBC09.1注意：解题时注意圆心的位置（半径的大小）。如果srad/4.2时，0CBT，AC与轴的夹角小于o30。如果srad/16.3时，0CAT，BC与轴的夹角大于o45。例题2解析：由分析可知，如果平面不转动，M会被拉向圆孔，即m不能处于静止状态。当平面转动的角速度较小时，M与水平面保持相对静止但有着向圆心运动的趋势，此时水平面对M的静摩擦力方向背向圆心，根据牛顿第二定律，对于M有：rMfF21静拉，可见随着静摩擦力的增大，角速度逐渐减小，当静摩擦力增大到最大值时，角速度减小到最小，即当静摩擦力背向圆心且最大，此时的角速度1是最小的临界角速度，sradMrfF/9.2)()(max1拉；当平面转动的角速度较大时，M与水平面保持相对静止但有着远离圆心运动的趋势，此时水平面对M的静摩擦力方向指向圆心，根据牛顿第二定律，对于M有：rMfF22静拉，可见随着静摩擦力的增大，角速度逐渐增大，当静摩擦力增大5/6到最大值时，角速度增大到最大，即当静摩擦力指向圆心且最大，此时的角速度2是最大的临界角速度，sradMrfF/5.6)()(max2拉。故要让m保持静止状态，平面转动的角速度满足：sradsrad/5.6/9.2例题3解析：物体在光滑锥面上绕轴线做匀速圆周运动，通常情况下受重力、绳的拉力和锥面的支持力，正交分解各个力。水平方向：sincossin2lvmFFNT①竖直方向：mgFFNTsincos②由①②得sincossin2lvmmgFN③由③式可以看出，当ml、、一定时，v越大，NF越小，当线速度增大到某一个值0v时，能使0NF，此时物体与锥面接触又恰好没有相互作用，那么0v就是锥面对物体有无支持力的临界速度，令③式等于零，得630glv（1）因为01vv，物体在锥面上且锥面对物体有支持力，联立①②两式得mglvmmgFT03.1sin211（2）因为02vv，物体已离开锥面，但仍绕轴线做水平面内的匀速圆周运动，设此时绳与轴线间的夹角为)(，物体仅受重力和拉力的作用，这时有sinsin222lvmFT④mgFTcos2⑤由④⑤两式得o60，mgFT22解析：题目中给出了两个条件，首先要让小球能够做完整的圆周运动，这个条件的实质是要求小球能够过最高点，这是无支撑的类型，小球过最高点的临界条件是重力提供向心力，此时绳子没有拉力的作用，即lvmmg2，smglv/2，再从最高点到最低点列动能定理方程，则6/6有220121212mvmvmgl，得smv/5201，此即小球在最低点的初速度的最小值。第二个条件是绳子不断，通过分析很容易知道，绳子在最低点最容易断，只要最低点不断，其它点都不会断。所以在最低点有202maxmvmgF得smv/602所以小球的初速度满足的条件是smvsm/6/520例题5解析：（1）小球恰好能达到最高点的条件是0临v，此时需要的初速度为0v满足的条件是，由机械能守恒定律得：22021221临mvmgRmv，得gRv40,因此要使小球能从C端出来需0cv，故入射速度gRv40。（2）小球从C出来端出来瞬间，对管壁压力可以有三种典型情况：①刚好对管壁无压力，此时重力恰好提供向心力，由圆周运动知识Rvmmgc2由机械能守恒定律：22021221cmvmgRmv联立解得gRv50②对下管壁有压力，此时应有Rvmmgc2，相应的入射速度0v应满足gRvgR540③对上管壁有压力，此时应有Rvmmgc2，相应的入射速度0v应满足gRv50例题6解析：此题实际上属于轻杆模型，即轨道只能沿某一方向对物体施加作用力，临界条件为汽车在最高点时对轨道的压力为零，汽车不脱离轨道的临界速度为临v，则有Rvmmg2临，可得smgRv/65临，此即汽车在最高点的最大速度，超过了这个速度汽车将飞离桥面，出现危险。当gRv临时，汽车在轨道最高点只受重力，且速度沿水平方向，所以接下来汽车将做平抛运动，则有221gtR，tvx临可得Rx2