2008---2017江苏数学高考(直线和圆)

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2008---2017江苏数学高考(直线和圆)一.填空题1.(2008江苏卷9)在平面直角坐标系中,设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)在线段AO上(异于端点),设a,b,c,p均为非零实数,直线BP,CP分别交AC,AB于点E,F,一同学已正确算的OE的方程:11110xybcpa,请你求OF的方程:110xypa【解析】本小题考查直线方程的求法.画草图,由对称性可猜想填11cb.事实上,由截距式可得直线AB:1xyba,直线CP:1xycp,两式相减得11110xycbpa,显然直线AB与CP的交点F满足此方程,又原点O也满足此方程,故为所求直线OF的方程.2.(2010江苏卷9)在平面直角坐标系xOy中,已知圆422yx上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是___________[解析]考查圆与直线的位置关系。圆半径为2,圆心(0,0)到直线12x-5y+c=0的距离小于1,||113c,c的取值范围是(-13,13)。3.(2011苏卷14)设集合},,)2(2|),{(222RyxmyxmyxA,},,122|),{(RyxmyxmyxB,若,BA则实数m的取值范围是______________【解析】当0m时,集合A是以(2,0)为圆心,以m为半径的圆,集合B是在两条平行线之间,(2,0)在直线的上方2212(12)022mmmdr,又因为,AB此时无解;当0m时,集合A是以(2,0)为圆心,以2m和m为半径的圆环,集合B是在两条平行线之间,必有当1212,2mm时,只要,221211222mmm.当22,1mm时,只要,221222mmm当122,21212mmm时,一定符合,AB又因为A,2m1,2222mm.本题主要考查集合概念,子集及其集合运算、线性规划,直线的斜率,两直线平行关系,点到直线的距离,圆的方程,直线与圆的位置关系、含参分类讨论、解不等式,及其综合能力.4.(2012苏卷12)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为228150xyx,若直线2ykx上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是.5.(2014苏卷9)在平面直角坐标系xoy中,直线230xy被22(2)(1)4xy圆截得的弦长为.6.(2015苏卷10)在平面直角坐标系xOy中,以点)0,1(为圆心且与直线)(012Rmmymx相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为二.解答题1.(2008江苏卷18)设平面直角坐标系xoy中,设二次函数22fxxxbxR的图象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C.求:(Ⅰ)求实数b的取值范围;(Ⅱ)求圆C的方程;(Ⅲ)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)?请证明你的结论.【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法.(Ⅰ)令x=0,得抛物线与y轴交点是(0,b);令220fxxxb,由题意b≠0且Δ>0,解得b<1且b≠0.(Ⅱ)设所求圆的一般方程为2x20yDxEyF令y=0得20xDxF这与22xxb=0是同一个方程,故D=2,F=b.令x=0得2yEy=0,此方程有一个根为b,代入得出E=―b―1.所以圆C的方程为222(1)0xyxbyb.(Ⅲ)圆C必过定点(0,1)和(-2,1).证明如下:将(0,1)代入圆C的方程,得左边=02+12+2×0-(b+1)+b=0,右边=0,所以圆C必过定点(0,1).同理可证圆C必过定点(-2,1).2.(2009江苏卷18)(本小题满分16分)在平面直角坐标系xoy中,已知圆221:(3)(1)4Cxy和圆222:(4)(5)4Cxy.(1)若直线l过点(4,0)A,且被圆1C截得的弦长为23,求直线l的方程;(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线1l和2l,它们分别与圆1C和圆2C相交,且直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标。【解析】本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式,考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。(1)设直线l的方程为:(4)ykx,即40kxyk由垂径定理,得:圆心1C到直线l的距离22234()12d,结合点到直线距离公式,得:2|314|1,1kkk化简得:272470,0,,24kkkork求直线l的方程为:0y或7(4)24yx,即0y或724280xy(2)设点P坐标为(,)mn,直线1l、2l的方程分别为:1(),()ynkxmynxmk,即:110,0kxynkmxynmkk因为直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的弦长相等,两圆半径相等。由垂径定理,得::圆心1C到直线1l与2C直线2l的距离相等。故有:2241|5||31|111nmknkmkkkk,化简得:(2)3,(8)5mnkmnmnkmn或关于k的方程有无穷多解,有:20,30mnmnm-n+8=0或m+n-5=0解之得:点P坐标为313(,)22或51(,)22。3.(2013江苏卷17)(本题满分14分)如图,在平面直角坐标系xoy中,点(0,3)A,直线:24lyx,设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线1yx上,过点A作圆C的切线,求切线方程;(2)若圆C上存在点M,使2MAMO,求圆心C的横坐标a的取值范围.∴点M在以(0,1)D为圆心,2为半径的圆上,由题意,(,)Mxy在圆C上,系,等基础知识,考查运用数形结合、待定系数法等数学思想方法分析解决问题的能力.4.(2016江苏卷18)(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:221214600xyxy及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得,TATPTQ,求实数t的取值范围.【答案】(1)22(6)(1)1xy(2):25215lyxyx或(3)22212221t(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为40220.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离2675.55mmd因为222425,BCOA而222,2BCMCd()所以252555m,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设1122,,,.PxyQxy因为2,4,,0,ATtTATPTQ,所以212124xxtyy……①因为点Q在圆M上,所以22226725.xy…….②将①代入②,得22114325xty.于是点11,Pxy既在圆M上,又在圆224325xty上,从而圆226725xy与圆224325xty没有公共点,所以2255463755,t解得22212221t.因此,实数t的取值范围是2221,2221.【考点】直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算直线与圆中的三个定理:切线的性质定理,切线长定理,垂径定理;两个公式:点到直线距离公式及弦长公式,其核心都是转化到与圆心、半径的关系上,这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题,也可先确定主元,如本题以P为主元,揭示P在两个圆上运动,从而转化为两个圆有交点这一位置关系,这也是解决直线与圆问题的一个思路,即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题.

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