2014年同方专转本高数模拟试卷6

1江苏省2014年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷（六）高等数学注意事项：1.考生务必将密封线内的各项填写清楚。2.考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上，写在草稿纸上无效。3.本试卷五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟。一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前得字母填在题后的括号内）。1、当0x时，2cosaxbxcx是比2x高阶的无穷小，则常数,,abc的值为（）A.1,0,12abcB.1,0,02abcC.1,0,12abcD.1,0,02abc2、曲线22132xyxx的渐近线共有（）A．1条B.2条C.3条D.4条3、设11()xxfxedxec，则()fx（）A．21xB.21xC.32xD.32x4、设2xe是()fx的一个原函数，则0(2)()limxfxxfxx（）A.24xeB.24xeC.28xeD.28xe5、交换二重积分10022(,)ydyfxydx的积分次序得（）A．01220(,)xdxfxydyB.00212(,)xdxfxydyC.01220(,)xdxfxydyD.00212(,)xdxfxydy26、下列级数中条件收敛的是（）A.1(1)3nnnnB.21(1)1nnnnC.11(1)sinnnnD.331(1)(11)nnnn二、填空题7、设函数21(cos)0()0xxxfxax在0x处连续，则a8、设1x是函数2()2xeafxxx的可去间断点，则a9、设函数221()sinxtxetdt，则()x10、设5a，1b，3ab，则ab11、设ln()2yzxx，则(1,0)dz12、设D是由0xy，0xy及1x所围成的平面区域，则2(2sin)Dxydxdy三、计算题13、求极限22lnsinlim(2)xxx14、设函数()yyx由方程1yyxe所确定的函数，求22dydx315、求不定积分2(arcsin)xdx16、计算定积分1154xdxx417、已知平面过点(1,2,1)M及直线134:213xyzl，求过点(3,2,1)平行于平面，又与直线232:43xtlytzt垂直的直线方程。18、设(2,2)zxyfxyyx，其中f具有二阶连续偏导数，求2zxy19、计算二重积分22Dxydxdyxy，其中22,,14,0Dxyyxxyx520、已知二阶常系数线性齐次方程0yayby的通解为12()xyccxe，求微分方程yaybyx满足条件(0)2,(0)0yy的特解。四、证明题21、设是一个常数，且01，证明：对任意的0x，有11(1)xx22、设函数()fx在0x的某邻域内有定义，且(0)0f，201cos1lim()2(1)xxxfxxe，证明：()fx在0x处可导，且(0)1f6五、综合题23、设抛物线2yaxbxc过点(0,0)点，当01x时，0y，又已知它和直线1,0xy所围成的图形面积是12，求,,abc的值，使该图形绕x轴旋转而成的旋转体体积最小。24、求满足下列条件的最低次多项式：当1,3xx时，分别取得极值6和3。7江苏省2014年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷解析（六）高等数学一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前得字母填在题后的括号内）。2、当0x时，2cosaxbxcx是比2x高阶的无穷小，则常数,,abc的值为（）B.1,0,12abcB.1,0,02abcC.1,0,12abcD.1,0,02abc解析：由题意可得，220coslim0xaxbxcxx从而可推出分子2cosaxbxcx该题中有三个待定的未知数，如何求解呢？三个未知数，必须利用三个等量关系列出方程，解出未知数。这就需要熟悉无穷小量阶的比较理论和罗比达法则。因为220coslim0xaxbxcxx从而该极限的分子也必定是无穷小量。从而20lim(cos)0xaxbxcx，由此可得1c再使用罗比达法则可得02sinlim02xaxbxx，因为分母为无穷小量，故0lim(2sin)0xaxbx，由此可得0b对02sinlim02xaxbxx继续使用罗比达法则，可得02coslim02xax，由此解得12a本题答案选择（C）2、曲线22132xyxx的渐近线共有（）8A．1条B.2条C.3条D.4条解析：渐近线有三种，水平，铅直和斜渐近线若lim()xfxA，表明()yfx有水平渐近线yA若0lim()xxfx，表明()yfx有铅直渐近线0xx若()limxfxkx存在，且lim[()]xfxkxb表明()yfx有斜渐近线ykxb因为221(1)(1)()32(1)(2)xxxyfxxxxxlim()1xfx，从而1y是水平渐近线。2lim()xfx，从而3x是铅直渐近线。1lim()2xfx，从而1x不是渐进线。因为()lim0xfxx，从而没有斜渐近线。该题有两条渐近线答案选B3、设11()xxfxedxec，则()fx（）A．21xB.21xC.32xD.32x解析：本题考察导数与积分的关系对11()xxfxedxec两边关于x求导，可得1121()()xxfxeex解得：21()fxx两边关于x再求导可得32()fxx4、设2xe是()fx的一个原函数，则0(2)()limxfxxfxx（）A.24xeB.24xeC.28xeD.28xe解析：该题考察导数定义0()()()limhfxhfxfxh9式子当中的h应当理解为中间变量，看成文字。(2)0[(2)]()()lim(2)xfxxfxfxx解得20(2)()lim2()4xxfxxfxfxex5、交换二重积分10022(,)ydyfxydx的积分次序得（）A．01220(,)xdxfxydyB.00212(,)xdxfxydyC.01220(,)xdxfxydyD.00212(,)xdxfxydy解析：写出积分区域01220yyx，转化为x型积分区域为201012xyx从而原积分转化为01220(,)xdxfxydy答案选择（A）6、下列级数中条件收敛的是（）A.1(1)3nnnnB.21(1)1nnnnC.11(1)sinnnnD.331(1)(11)nnnn解析：下面的四个级数都是交错级数，需要判断何时条件收敛，需要判断哪些级数绝对发散；111(1)33nnnnnnnnnu，正项级数比式判别法11lim3nnnuu，原级数绝对收敛21(1)1nnnn的通项2(1)limlim101nnnnnun，不符合级数收敛必要条件；1111111(1)sinsin~nnnnnnunnn，原级数不绝对收敛；由莱布尼兹判别法知级数11(1)sinnnn收敛。（C）正确10333331111222(1)(11)~11nnnnnnunnnnn，级数发散；二、填空题7、设函数21(cos)0()0xxxfxax在0x处连续，则a解析：函数在0x处连续，等价于0lim()(0)xfxf，即210lim(cos)xxxa；2211cos11cos1200lim(cos)lim[1(cos1)]xxxxxxxxe8、设1x是函数2()2xeafxxx的可去间断点，则a解析：1x是函数2()2xeafxxx的可去间断点，说明2111lim()limlim2(2)(1)xxxxxeaeafxxxxx当中分子分母皆为无穷小量，且该极限还要存在，故有1lim()0xxea，得到ae。进一步地，可求得1111(1)(1)limlimlim(2)(1)(2)(1)(2)(1)3xxxxxeeeeexexxxxxx9、设函数221()sinxtxetdt，则()x解析：变上限函数的求导公式，对于很多同学可能会觉得不容易记牢在记忆时不彷考虑牛顿莱布尼兹公式辅助记忆()()()()()()[()][()]bxbxaxaxftdtFtFbxFax()()(())([()][()])(())()(())()bxaxftdtFbxFaxfbxbxfaxax22442221()(sin)sin()2sinxtxxxetdtexxxex10、设5a，1b，3ab，则ab解析：cos51cos3abab，解得3cos5，则114sin5（两向量之间的夹角介于0与之间，从而正弦值为正）4sin5145abab11、设ln()2yzxx，则(1,0)dz解析：zzdzdxdyxy；(1,0)(1,0)(1,0)2212()(1)12222xzyxyxyxxxyxxx，(1,0)(1,0)(1,0)21211()()22222yzyxxyyxxyxxx(1,2)12dzdxdy12、设D是由0xy，0xy及1x所围成的平面区域，则2(2sin)Dxydxdy解析:该题的区域是关于x轴对称的区域，在对称的区间内找一对对称点(,)xy和(,)xy，函数2(,)sinfxyxy，22(,)sin()sinfxyxyxy从而2sin0Dxydxdy，原积分等于222DDdxdyS三、计算题13、求极限22lnsinlim(2)xxx解析：原式222coscos1limlimlim4(2)sin4(2)sinxxxxxxxxx22cossin1limlim4(2)88xxxxx1214、设函数()yyx由方程1yyxe所确定的函数，求22dydx解析：对方程1yyxe所两边关于x求导，可得yyyexey对上式两边关于x再求导，可得yyyyyeyeyxeyyxey整理可得2332(1)yyyexeyxe15、求不定积分2(arcsin)xdx解析：该题可直接使用分布积分，但是反三角函数有时积分比较繁琐，为此，可使用换元法将反三角函数转换为三角函数处理分设arcsintx，则sinxt，原积分转化为22222(arcsin)sinsinsinsin2sinxdxtdttttdtttttdt22sin2cossin2[coscos]tttdttttttdt22sin2cossin2[cossin]tttdttttttc换元可得，22(arcsin)2[1arcsin]Ixxxxxc16