参数方程与极坐标模块常见题型全归纳

1参数方程与极坐标模块常见题型全归纳目录一、第一问破解方法：1参数方程化普通方程的方法（1）代入消参法与和差消参法（2）恒等式消参法与平方消参法;2应用极坐标的基本定义进行极坐标与直角坐标的互化（1）曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;（2）曲线的直角坐标方程化为极坐标方程;二、第二问破解方法：3坐标系与参数方程的最值（取值范围）问题的求解方法（1）应用曲线的参数方程进行三角代换求最值（取值范围）；（2）化归为二次函数，运用二次函数的特性求最值（取值范围）问题；（3）运用圆的几何特性求最值（取值范围）问题；4直线的标准式参数方程中参数t的几何意义的应用（1）以定点为起点的线段的四则运算求值问题；（2）参数t形式的弦长公式的运用；5极坐标方程中的几何意义的应用（1）以原点O为起点的线段的四则运算求值问题；（2）应用的几何意义表示两点间距离；6剥去参数方程与极坐标的外壳，将图形关系代数化——“数形结合思想”的运用（1）考查圆特有的的弦长公式222ABrd；（2）通过图形关系分析代数关系；7求曲线的极坐标方程（1）应用平面直角坐标系内求轨迹方程的基本思想求极坐标方程；（2）运用利用极坐标和直角坐标的特殊关系求极坐标方程.1参数方程化普通方程的方法1.1代入消参法与和差消参法【例1】直线42,3xtyt（t为参数）的普通方程为_____________.【解析】方法一：代入消参法由3yt得3ty，代入42xt整理得220xy.方法二：和差消参法2将3yt乘以2与42xt作差可得220xy.【评注】代入消参法与和差消参法源于我们初中学过的解方程组的思想，其目的在于消去参数t.【变式1】潜在的参数范围的影响曲线42,3xtyt（t为参数）的普通方程为____________.【解析】由消参法可得220xy，因为0t≥，故424xt≤，所以曲线42,3xtyt（t为参数）的普通方程为2204xyx≤.【变式2】曲线2tan,tanxy（为参数）的普通方程为______________.【解析】tanR，所以xR，故曲线2tan,tanxy（为参数）的普通方程为2yx【变式3】注意tan和sin消参的区别曲线2sin,sinxy（为参数）的普通方程为______________.【解析】1sin1≤≤，所以11x≤≤，故曲线2tan,tanxy（为参数）的普通方程为2yx(11)x≤≤.【变式4】只有一个式子有参数直线1,sinxy（为参数，R）的普通方程为_____________.【解析】siny,所以11y≤≤，故直线1,sinxy（为参数，R）的普通方程为1x(11)y≤≤.1.2恒等式消参法与平方消参法【例2】参数方程2cos,sinxy（为参数）的普通方程为_____________.3【解析】由2cos,sinxy得cos2,sinxy因为22sincos1，故参数方程2cos,sinxy（为参数）的普通方程为22(2)1xy.【评注】本题采用22sincos1这一恒等式消参，高中阶段常用的恒等式还有：（1）10,1xxaaaa且；（2）222211122tttttt；（3）2sincos1sin2.【变式1】给参数范围的消参参数方程cos,sinxy（为参数，0,π）化为普通方程为_____________.【解析】由0,π可知11x≤≤，01y≤≤，故该参数方程的普通方程为221xy(01)y≤≤【变式2】平方消参法参数方程sincos,sincosxttytt（t为参数）的普通方程为_____________.【解析】方法一：由sincosxtt得212sincosxtt，同理212sincosytt，故该参数方程的普通方程为222xy.方法二：由sincos,sincosxttytt得sin,2cos.2xytyxt又22sincos1tt，故该参数方程的普通方程为222xy.【变式3】注意隐藏的x的范围参数方程sincos,sin2xy（为参数）的普通方程为_______________.【解析】因为πsincos2sin()4x，所以2,2x，又因为2sincos1sin2，故21xy，所以参数方程sincos,sin2xy4（为参数）的普通方程为21xy(2,2)x.【变式4】恒等式消参法与平方消参法对比参数方程,2ttttxeeyee（t为参数）的普通方程为____________________.【解析】方法一：22ttttxeeee≥，由,2ttttxeeyee得2,22.2ttyxeyxe，因为1ttee，故该参数方程的普通方程为221(2)416xyx≥.方法二：由,2ttttxeeyee平方得2222222,2.4ttttxeeyee，两式作差可得221416xy，又22ttttxeeee≥，故该参数方程的普通方程为221(2)416xyx≥.2应用极坐标的基本定义进行极坐标与直角坐标的互化2.1曲线的极坐标方程化为直角坐标方程【例3】只有和的极坐标方程将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程（1）1；【解析】因为1，所以21，又222xy，故直角坐标方程为221xy.（2）π3.【解析】因为π3，所以tan3，又tanyx，故直角坐标方程为3yx.【评注】在进行极坐标与直角坐标的互化时，下列公式必不可少：（1）222xy；（2）tanyx；（3）cosx；（4）siny.【变式1】极坐标方程中的和在“=”的同侧将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程（1）cossin1；5【解析】由cosx和siny得该曲线的直角坐标方程为10xy.（2）πcos13；【解析】因为πcos13，所以13cossin122，由cosx和siny得该曲线的直角坐标方程为320xy.【变式2】极坐标方程中的和在“=”的两侧将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程（1）2cos2sin；【解析】由2cos2sin得22cos2sin，又因为222xy，cosx，siny，所以该曲线的直角坐标方程为22220xyxy.（2）π2sin3；【解析】由π2sin3得2sin3cos，又因为222xy，cosx，siny，所以该曲线的直角坐标方程为2230xyxy.（3）8cos1cos2.【解析】由8cos1cos2得2sin4cos，即22sin4cos，又因为222xy，cosx，siny，所以该曲线的直角坐标方程为24yx.2.2曲线的直角坐标方程化为极坐标方程【例4】将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程（1）yx；【解析】将cosx，siny代入yx得sincos，故所求极坐标方程为π4.（2）222310xyxy；【解析】将222xy,cosx，siny代入222310xyxy得22cos3sin10,故所求极坐标方程为22cos3sin10.【评注】将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程只需将222xy,cosx，6siny代入直角坐标方程适当化简即可.【变式1】将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程（1）22122xy；【解析】22122xy可化为222430xyxy将222xy,cosx，siny代入上式得22cos4sin30.（2）22134xy.【解析】将cosx，siny代入22134xy得22cossin134,即2222cossin134.3坐标系与参数方程的最值问题（取值范围）的求解方法该题型是高考中的常考题型，在各类模拟试卷中也频繁出现，求解此类最值问题关键在于巧妙的构建不等关系，依据高中阶段建立不等关系的常用方法(利用三角函数有界性求取值范围，利用二次函数的单调性求最值，利用圆的几何对称性求最值)可分为三种类型求解.3.1应用曲线的参数方程进行三角代换求最值（取值范围）【例5】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为5cos,(3sinxy为参数）.（I）求过椭圆C的右焦点，且与直线42,3xtyt(t为参数）平行的直线l的普通方程；（II）求椭圆C的内接矩形ABCD面积的最大值.【解析】（I）由椭圆C的参数方程5cos,(3sinxy为参数）化为普通方程为221259xy，故椭圆C的右焦点为(4,0).直线42,3xtyt(t为参数）化为普通方程为220xy，因为直线l过椭圆C的右焦点，且与直线220xy平行，所以由直线的点斜式方程得1(4)2yx，故直线l的方程为240xy.（II）因为椭圆C的参数方程为5cos,(3sinxy为参数），7不妨设(5cos,3sin)A，则椭圆C的内接矩形ABCD面积15sin2=45cos3sin430sin230.2S≤故椭圆C的内接矩形ABCD面积的最大值为30.【评注】本题关键在于利用椭圆的参数方程将解析几何的最值问题转化为三角函数的最值问题进行求解，其中利用椭圆的内接矩形的对称性巧妙转化四个小矩形是本题的思维难点.本题第二问可推广为：椭圆22221(0)xyabab的内接矩形的最大面积为2ab.【变式1】恒成立问题转化为求最值已知点(,)Pxy是圆222xyy上的动点.（I）求2xy的取值范围；（II）若0xya≥恒成立，求实数a的取值范围.【解析】（I）将222xyy化为圆的标准方程得22(1)1xy，其参数方程为cos,1sin.xy（为参数），故(cos,sin1)P，所以22cossin1xy5sin()1（tan2）,因为1sin()1≤≤，所以2xy的取值范围为15,15.（II）0xya≥恒成立等价于()axy≥恒成立.()(cossin1)xyπ2sin()14，所以()xy的最大值为21，所以21a≥.【变式2】非特殊角求点已知曲线1C的参数方程为：4cos,3sintxty（t为参数），曲线2C的参数方程为：8cos,3sinxy（为参数）.（I）化曲线1C，2C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；8（II）若1C上的点P对应的参数为π2t，Q为2C上的动点，求PQ中点M到直线332,:2xtCyt（t为参数）距离的最