期中考试复习讲义导数

1期中考试复习讲义导数考点一、导数的基本运算【备考知识梳理】1．常见函数的求导公式．(1)0)(C（C为常数）；(2)1)(nnxnx；(3)xxcos)(sin；（4）xxsin)(cos；（5）'lnxxaaa；（6）'xxee；（7）1log'(0lnaxaxa且1)a；（8）1ln'xx．2．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：(.)'''vuvu法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uvvuuv若C为常数,则'''''0)(CuCuCuuCCu.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(''CuCu法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：vu‘=2''vuvvu（v0）．3.（理科）形如y=fx()的函数称为复合函数．复合函数求导步骤：分解—求导—回代．法则：y＇|=y＇|·u＇|【规律方法技巧】2(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．【考点针对训练】1.求下列函数的导数（1）)11(32xxxxy；（2）2cos2sinxxxy；（3）y=xxsin2；(4)y=ln(2x-1)+cos2x.2.已知函数ln,0,fxaxxx,其中a为实数,fx为fx的导函数,若13f,则a的值为．考点二、导数的几何意义【备考知识梳理】函数yfx在点0x处的导数的几何意义是曲线yfx在点00,Pxfx处的切线的斜率．也就是说，曲线yfx在点00,Pxfx处的切线的斜率是0fx．相应地，切线方程为000yfxfxxx．3【规律方法技巧】求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数yfx在0xx的导数，即曲线yfx在点00,Pxfx处切线的斜率；（2）在已知切点00,Pxfx和斜率的条件下，求得切线方程000yfxfxxx特别地，当曲线yfx在点00,Pxfx处的切线平行于y轴时（此时导数不存在），可由切线的定义知切线方程为0xx；当切点未知时，可以先设出切点坐标，再求解.【考点针对训练】1.曲线21yxx在点（1，2）处的切线方程为______________．2.曲线()lnfxxx在点(1,0)P处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是．3.点P是曲线xxyln2上任意一点，则点P到直线04yx的距离的最小值是.4.已知函数1xfxxae，曲线yfx上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数的取值范围是．（备用题）5.若曲线21:(0)Cyaxa与曲线2:xCye存在公共切线，则的取值范围为．4考点三、借助导数研究函数单调性【备考知识梳理】一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(,)ab内，如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间内单调递增；如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间内单调递减；【规律方法技巧】求函数单调区间的一般步骤.（1）求函数()fx的导数()fx（2）令()0fx解不等式，得的范围就是单调增区间;令()0fx解不等式，得的范围就是单调减区间（3）对照定义域得出结论.【考点针对训练】1.函数2()2lnfxxx的递增区间是___________.2.若函数21()2fxaxx在区间0,1上增函数，求a的取值范围___________.3.已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)0，若f(－1)＝0，那么关于x的不等式xf(x)0的解集是________．4，已知定义在R上的可导函数fx的导函数为fx,满足fxfx,且2fx为偶函数,41f,则不等式xfxe的解集为________．5.已知函数2xfxexx，2,,Rgxxaxbab．（Ⅰ）当1a时，求函数Fxfxgx的单调区间；（Ⅱ）若曲线yfx在点0,1处的切线与曲线ygx切于点1,c，求,,abc的值；56.讨论函数22e1xfxxax的单调性．7.设,abR，||1a.已知函数32()63(4)fxxxaaxb，()e()xgxfx.（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）已知函数()ygx和exy的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，求证：()fx在0xx处的导数等于0；6考点四、借助导数研究函数的极值【备考知识梳理】若0x满足0)(0xf，且在0x的两侧)(xf的导数异号，则0x是)(xf的极值点，)(0xf是极值，并且如果)(xf在0x两侧满足“左正右负”，则0x是)(xf的极大值点，)(0xf是极大值；如果)(xf在0x两侧满足“左负右正”，则0x是)(xf的极小值点，)(0xf是极小值【规律方法技巧】求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x).(2)求方程f′(x)=0的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.【考点针对训练】1.函数lnfxaxx在1x处取得极值，则a的值为_____________.2.函数f（x）＝x3＋3ax2＋3[（a＋2）x＋1]有极值，则a的取值范围是_____________.3.若函数3212113xxxfxememe有两个极值点，则实数m的取值范围是_____________.74.已知函数f(x)＝x4＋ax－lnx－32，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．5.已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋1(a∈R)．(1)若在f(x)的图象上横坐标为23的点处存在垂直于y轴的切线，求a的值；(2)若f(x)在区间(－2,3)内有两个不同的极值点，求a的取值范围；(3)在(1)的条件下，是否存在实数m，使得函数g(x)＝x4－5x3＋(2－m)x2＋1的图象与函数f(x)的图象恰有三个交点？若存在，求出实数m的值，若不存在，说明理由．8考点五、借助导数研究函数最值【备考知识梳理】求函数最值的步骤：（1）求出()fx在(,)ab上的极值.（2）求出端点函数值(),()fafb.（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.【规律方法技巧】1、利用导数研究函数的最值问题是要养成列表的习惯，这样能使解答过程直观条理；2、会利用导函数的图象提取相关信息；3、极值点不一定是最值点，最值点也不一定是极值点，但若函数在开区间内只有一个极值点，则这个极值点也一定是最值点.【考点针对训练】1.函数21()2ln2fxxx在1,e上的最大值_______,最小值_____．2.已知函数lnfxx，则函数'gxfxfx在区间2,e上的最大值为__________．3.若函数f(x)＝xx2＋a(a0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a的值为________．4.函数f(x)=3x-3x在区间（2a-xx,a）有最小值，则a的取值范围________．95已知函数1exfxx，若对任意Rx，fxax恒成立，则实数a的取值范围是________．6.设函数3()(0)fxaxbxa的图象在点（1，f（1））处的切线与直线076yx垂直，导函数()fx的最小值为—xx。（1）求a、b的值；（2）求函数()fx的单调递增区间；（3）求函数()fx在3,1上最大值和最小值。107.设函数22()ln(0)afxaxax.（Ⅰ）已知曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线l的斜率为23a，求实数a的值；（Ⅱ）讨论函数()fx的单调性；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x，都有()3fxx．118.已知函数2lnxfxaxxab（，bR，1a），是自然对数的底数．（Ⅰ）当ae，4b时，求函数fx的零点个数；（Ⅱ）若1b，求fx在1,1上的最大值．9.已知函数3211()()32fxxaxaaR．12（Ⅰ）若1,a求函数fx在[0,2]上的最大值；（Ⅱ）若对任意0,x，有()0fx恒成立，求a的取值范围．xx.已知f(x)=ax-lnx,x(0,e),g(x)=lnxx,其中e是自然常数，aR(1)讨论a=1时，函数f(x)的单调性和极值；（2）求证：在（1）的条件下，f(x)g(x)+1213xx.已知函数2,lnafxxgxxxx,其中0a.(Ⅰ)若1x是函数hxfxgx的极值点,求实数a的值;(Ⅱ)若对任意的12,1,xxe(为自然对数的底数)都有12fxgx成立,求实数的取值范围14