《导数的几何意义》教案全面版

《导数的几何意义》教案教学目标：1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题.教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义.教学难点：导数的几何意义.教学过程：一、创设情景(一)平均变化率、割线的斜率(二)瞬时速度、导数我们知道,导数表示函数)(xfy在0xx处的瞬时变化率,反映了函数)(xfy在0xx附近的变化情况,导数0()fx的几何意义是什么呢？二、新课讲授(一)曲线的切线及切线的斜率如图3.1-2,当(,())(1,2,3,4)nnnPxfxn沿着曲线()fx趋近于点00(,())Pxfx时,割线nPP的变化趋势是什么？我们发现,当点nP沿着曲线无限接近点P即0x时,割线nPP趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.问题:(1)割线nPP的斜率nk与切线PT的斜率k有什么关系？(2)切线PT的斜率k为多少？图3.1-2容易知道,割线nPP的斜率是00()()nnnfxfxkxx,当点nP沿着曲线无限接近点P时,nk无限趋近于切线PT的斜率k,即0000()()lim()xfxxfxkfxx说明:(1)设切线的倾斜角为,那么当0x时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质—函数在0xx处的导数.(2)曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.(二)导数的几何意义函数)(xfy在0xx处的导数等于在该点00(,())xfx处的切线的斜率,即0000()()()limxfxxfxfxkx说明:求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P点的坐标;②求出函数在点0x处的变化率0000()()()limxfxxfxfxkx得到曲线在点00(,())xfx的切线的斜率;③利用点斜式求切线方程.(三)导函数由函数)(xfy在0xx处求导数的过程可以看到,当0xx时,0()fx是一个确定的数,那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为)(xf的导函数.记作:()fx或y,即0()()()limxfxxfxfxyx.注:在不致发生混淆时,导函数也简称导数.(四)函数()fx在点0x处的导数0()fx、导函数()fx、导数之间的区别与联系(1)函数在一点处的导数0()fx,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数.(2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的,就是函数)(xf的导函数.(3)函数()fx在点0x处的导数'0()fx就是导函数()fx在0xx处的函数值,这也是求函数在点0x处的导数的方法之一.三、典例分析例1(1)求曲线1)(2xxfy在点)2,1(P处的切线方程.(2)求函数23xy在点(1,3)处的导数.解:(1)222100[(1)1](11)2|limlim2xxxxxxyxx所以,所求切线的斜率为2因此,所求的切线方程为22(1)yx即20xy(2)因为222211113313(1)|limlimlim3(1)611xxxxxxyxxx所以,所求切线的斜率为6,因此,所求的切线方程为36(1)yx即630xy例2如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2()4.96.510hxxx,根据图像,请描述、比较曲线()ht在0t、1t、2t附近的变化情况.解:我们用曲线()ht在0t、1t、2t处的切线,刻画曲线()ht在上述三个时刻附近的变化情况.(1)当0tt时,曲线()ht在0t处的切线0l平行于x轴,所以,在0tt附近曲线比较平坦,几乎没有升降.(2)当1tt时,曲线()ht在1t处的切线1l的斜率1()0ht,所以,在1tt附近曲线下降,即函数2()4.96.510hxxx在1tt附近单调递减.(3)当2tt时,曲线()ht在2t处的切线2l的斜率2()0ht,所以,在2tt附近曲线下降,即函数2()4.96.510hxxx在2tt附近单调递减．从图3.1-3可以看出,直线1l的倾斜程度小于直线2l的倾斜程度,这说明曲线在1t附近比在2t附近下降的缓慢.例3如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度()cft(单位:/mgmL)随时间t(单位:min)变化的图象.根据图像,估计0.2,0.4,0.6,0.8t时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).解:血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度()ft在此时刻的导数,从图像上看,它表示曲线()ft在此点处的切线的斜率.如图3.1-4,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率,可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.作0.8t处的切线,并在切线上去两点,如(0.7,0.91),(1.0,0.48),则它的斜率为0.480.911.41.00.7k,所以(0.8)1.4f下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:t0.20.40.60.8药物浓度瞬时变化率'()ft0.40-0.7-1.4四、课堂练习1.求曲线3)(xxfy在点(1,1)处的切线.2.求曲线yx在点(4,2)处的切线.五、回顾总结1.曲线的切线及切线的斜率.2.导数的几何意义.六、布置作业只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于“我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局，或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少，走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！一生有多少属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时光不会因你而停留，你却会随着光阴而老去。有些事情注定会发生，有的结局早已就预见，那么就改变你可以改变的，适应你必须去适应的。面对幸与不幸，换一个角度，改变一种思维，也许心空就不再布满阴霾，头上就是一片蔚蓝的天。一生能有多少属于我们的时光，很多事情，很多人已经渐渐模糊。而能随着岁月积淀下来，在心中无法忘却的，一定是触动心灵，甚至是刻骨铭心的，无论是伤痛是欢愉。人生无论是得意还是失意，都不要错过了清早的晨曦，正午的骄阳，夕阳的绚烂，暮色中的朦胧。经历过很多世态炎凉之后，你终于能懂得：谁会在乎你？你又何必要别人去在乎？生于斯世，赤条条的来，也将身无长物的离开，你在世上得到的，失去的，最终都会化作尘埃。原本就不曾带来什么，所以也谈不到失去什么，因此，对自己经历的幸与不幸都应怀有一颗平常心有一颗平常心，面对人生小小的不如意或是飞来横祸就能坦然接受，知道人有旦夕祸福，这和命运没什么关系；有一颗平常心，面对台下的鲜花掌声和头上的光环，身上的浮名都能清醒看待。花不常开，人不常在。再热闹华美的舞台也有谢幕的时候；再奢华的宴席，悠扬的乐曲，总有曲终人散的时刻。春去秋来，我们无法让季节停留；同样如同季节一样无法挽留的还有我们匆匆的人生。谁会在乎你？生养我们的父母。纵使我们有千般不是，纵使我们变成了穷光蛋，唯有父母会依然在乎！为你愁，为你笑，为你牵挂，为你满足。这风云变幻的世界，除了父母，不敢在断言还会有谁会永远的在乎你！看惯太多海誓山盟的感情最后星流云散；看过太多翻云覆雨的友情灰飞烟灭。你春风得意时前呼后拥的都来锦上添花；你落寞孤寂时，曾见几人焦急赶来为你雪中送炭。其实，谁会在乎你？除了父母，只有你自己。父母待你再好，总要有离开的时日；再恩爱夫妻，有时也会劳燕分飞，孩子之于你，就如同你和父母；管鲍贫交，俞伯牙和钟子期，这样的肝胆相照，从古至今有几人？不是把世界想的太悲观，世事白云苍狗，要在纷纷扰扰的生活中，懂得爱惜自己。不羡慕如昙花一现的的流星，虽然灿烂，却是惊鸿一瞥；宁愿做一颗小小的暗淡的星子，即使不能同日月争辉，也有自己无可取代的位置其实，也不该让每个人都来在乎自己，每个人的人生都是单行道，世上绝没有两片完全相同的树叶。大家生活得都不容易，都有自己方向。相识就是缘分吧，在一起的时候，要多想着能为身边的人做点什么，而不是想着去得到和索取。与人为善，以直报怨，我们就会内心多一份宁静，生活多一份和谐没有谁会在乎你的时候，要学会每时每刻的在乎自己。在不知不觉间，已经走到了人生的分水岭，回望过去生活的点滴，路也茫茫，心也茫茫。少不更事的年龄，做出了一件件现在想来啼笑皆非的事情：斜阳芳草里，故作深沉地独对晚风夕照；风萧萧兮，渴望成为一代侠客；一遍遍地唱着罗大佑的《童年》，期待着做那个高年级的师兄；一天天地幻想，生活能轰轰烈烈。没有刀光剑影，没有死去活来，青春就在