空间解析几何与向量代数教案

第七章空间解析几何与向量代数第1页共16页《高等数学A》课程教案第七章空间解析几何一、教学目的与要求1、了解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。3、了解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。4、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。5、了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程6、掌握平面方程和直线方程及其求法。7、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。8、会求点到直线以及点到平面的距离。二、教学内容及学时分配：第一节向量及其线性运算2学时第二节数量积向量积和混合积2学时第三节曲面及其方程2学时第四节空间曲线及其方程2学时第五节平面及其方程2学时第六节空间直线及其方程2学时三、教学内容的重点及难点：重点:向量概念与运算，旋转曲面方程,柱面方程，平面方程直线方程第七章空间解析几何与向量代数第2页共16页难点:向量的数量积与向量积，旋转曲面方程，平面束方程，有关直线与平面的综合题四、教学内容的深化和拓宽：1、空间直角坐标系的作用，向量的概念及其表示。2、向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），两个向量垂直、平行的条件。3、单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法。4、平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。5、曲面方程的概念，常用二次曲面的方程及其图形，五、教学方法与手段启发探索式教学方法，结合多媒体课件教学。第七章空间解析几何与向量代数第3页共16页第一节向量及其线性运算一、内容要点1、向量：有大小、方向的量。向量相等：大小、方向。单位向量、零向量2、向量的坐标表达式及其运算1)向量的加法、减法满足：交换律、结合律。平行四边形、三角形法。2)向量的数乘，满足：结合律、分配律3)两向量平行的充要条件：ab4)空间直角坐标系(右手坐标系)5)利用坐标作向量的线性运算1)向量的坐标向量表示2)对应坐标运算。6)向量的模、方向角、投影向量的模与两点间的距离公式。222ROQOPOMO222212121()()()ABxxyyzzrxoMxcosrycosrzcos1coscoscos222二、教学要求和注意点教学要求：1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。2、掌握向量的线性运算第七章空间解析几何与向量代数第4页共16页第二节数量积向量积和混合积一、内容要点xyzxyzaaiajak{a,a,a}xyzxyzbbibjbk{b,b,b}1）数量积(点积)ababcos(a,b)baabba2z2y2xaaaa性质：zzyyxxbabababa应用：（i）babaarccosba（ii）2aaaa2)向量积cbab,asinbabac　ca,cbaba,abb,即右手定则即0bba0,aba注意abbazyxzyxbbbaaakjiba应用（i）ACAB21SABCΔ第七章空间解析几何与向量代数第5页共16页（ii）0bab//a（iii）如ba//c则,cb,ca即利用向量积求出同时垂直两个已知矢量的矢量。（iv）0baba3)混合积(1)[]xyzxyzxyzaaaabcbbbccc(2)混合积的几何意义(3)三向量共面的充分必要条件为混合积等于零.二、教学要求和注意点教学要求：掌握数量积、向量积、混合积了解两个向量垂直、平行的条件。注意点：本单元内容十分重要,应精讲多练。例1、习题4，1选择题（1）（2）（3）2填空题（3）（4）（5）例2、解：b3a2b3a2b3a2276b9ba2a422∴192b3a2(2)向量积cbab,asinbabac　,bba,ababc,ac即πa5,b2,ab,2a3b2193第七章空间解析几何与向量代数第6页共16页右手定则即0bba0,aba注意abba例3、习题4，5，2(4)例1、设知量b,a满足1,11,ba3,ba，则6πb,a解：33babab,atan∴6πb,a第七章空间解析几何与向量代数第7页共16页第三节曲面及其方程一、内容要点常用二次曲面的方程及其图形1、球面：设0000z,y,xP是球心，R是半径，zy,x,P是球面上任一点，则RPP0，即2202020Rzzyyxx2222Rzyx2、椭球面1czbyax2222223、旋转曲面设L是x0z平面上一条曲线，L绕z旋转一周所得旋转曲面0z,yxf2202220220zz,yxzzyxx0zx,fzzyxx0220代入方程得0z,yxf222222yxaz,yxz称为旋转抛物面旋转双曲面：1czayx22222，(单)22222czayxz4、椭圆抛物面0abbyaxz225、单叶双曲面1czbyax2222226、双叶双曲面1czbyax2222220y0zx,f第七章空间解析几何与向量代数第8页共16页7、二次锥面0czbyax222222圆锥面222222byaxzyxz8、柱面抛物柱面0aaxy2椭圆柱面1byax2222圆柱面222Ryx二、教学要求和注意点教学要求：理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。注意点：本单元教师应在黑板做好图形,或者用多媒体课件.应用旋转曲面讲好多数二次曲面.第七章空间解析几何与向量代数第9页共16页第四节空间曲线及其方程一、内容要点空间曲线及曲线在三个坐标面上投影方程一般式参数式:()()()xxtyytzzt在三坐标面上投影方程在x0y面上投影曲线方程：在0zy,x,F0zy,x,F21中消去z，再与z=0联立。其他坐标平面上的投影曲线方程求法类似。二、教学要求和注意点教学要求：理解空间曲线的参数方程和一般方程。解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。例1、求两球面1222zyx，1)1()1(222zyx的交线在xoy面上的投影。解：交线方程为1)1()1(1222222zyxzyx消去z得2121222yx——椭圆柱面故投影方程为02121222zyx——椭圆例2、求由球面224yxz和锥面223yxz所围成的立体在xoy面上的投影。0zy,x,F0zy,x,F21第七章空间解析几何与向量代数第10页共16页解：交线c的方程为222234yxzyxz消去z得122yx——圆柱面故交线c在xoy面上的投影（曲线）方程为0122zyx——圆从而该立体在xoy面上的投影为0122zyx——圆域第七章空间解析几何与向量代数第11页共16页第五节平面及其方程一、内容要点已知平面过点M0（x0、y0、z0），n(,,)ABC为的法矢量。1点法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=02一般式：Ax+By+Cz+D=0，A、B、C不全为零。3截距式：1zcbyax，a，b，C分别为平面在x轴、y轴、z轴上的截距。1π⊥2π1n⊥2n1π∥2π1n∥2n点M0(x0、y0、z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为222000CBADCzByAxd二、教学要求和注意点教学要求：本单元为重点,应多做习题注意点：本单元习题习题7-5全作例1、求通过点P（2,-1,-1），Q（1,2,3）且垂直于平面2x+3y-5z+6=0的平面方程。解：k9j3i27532431kjinQP143,1,QP，已知平面的法矢量5,3,2n1取3,1,9n所求平面为：9(x-2)-(y+1)+3(z-1)=0即：9x-y+3z-16=0例2、第七章空间解析几何与向量代数第12页共16页解：(1)解法一：设平面方程：x+By+D=0将点M1(2,-1,0)，M2(3,0,5)分别代入得∴平面方程为：x–y–3=0解法二：kn，21MMnji511100kjiMMk21取1,1n-(x–2)+(y+1)=0得平面方程：x–y–3=0(2)设平面方程为y+Cz+D=01CDzDy即2CD5D∴得5D25C　∴010-5z2y05z25y3D0D31B0DB2第七章空间解析几何与向量代数第13页共16页第六节空间直线及其方程一、内容要点1空间直线的一般方程L：0DzCyBxA0DzCyBxA222211112点向式（对称式）直线过点M0(x0、y0、z0)，pn,m,s为L方向向量则L：pzznyymxx0003参数式L：ptxzntyymtxx000t为参数L1∥L21s∥2sL1⊥L21s⊥2s直线与平面关系1L∥πs⊥n即0ns2L⊥πs∥npCnBmA3点P到直线L的距离，L的方向向量pn,m,s，M0为L上一点ssPMd04平面束方程直线L：0022221111DzCyBxADzCyBxA则0)DzCyBxA(DzCyBxA22221111第七章空间解析几何与向量代数第14页共16页为过直线L的除平面0DzCyBxA2222外的平面束方程二、教学要求和注意点教学要求：本单元为重点,与难点,有全章的综合题注意点：习题7-61.3.4.5.7.8.10.11.13.14.15..16例一平面过直线L：07205243zyxzyx，且在z轴有截距3，求它的方程解：过直线L的平面束方程为:0)7zy2x(5z2y4x3即057z)2(y)24(x)3(据题意4113257411代入平面束方程，得：057z19y38x习题4,2,(9)例已知两直线方程130211:1zyxL11122:2zyxL，则过1L且平行2L的平面方程是02zy3x解：0204:1yzxL1,0,1s过1L的平面束方程：0)2y(4zx第七章空间解析几何与向量代数第15页共16页即1,,1024nzyx由平行2L∴0ns得3所求方程为：02zy3x例已知平面02z2y:直线