四川省成都市九校联考高一(下)期中数学试卷(理科)

第1页（共19页）四川省成都市九校联考高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）数列1，﹣4，9，﹣16，25…的一个通项公式为（）A．an＝n2B．an＝（﹣1）nn2C．an＝（﹣1）n+1n2D．an＝（﹣1）n（n+1）22．（5分）计算2sin275°﹣1的值等于（）A．B．C．D．3．（5分）已知实数列﹣1，x，y，z，﹣2成等比数列，则xyz等于（）A．﹣4B．±4C．﹣2D．±24．（5分）等于（）A．﹣1B．1C．D．﹣5．（5分）如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝200米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A．100米B．50（+1）米C．米D．200米6．（5分）若α，β为锐角，且满足cosα＝，cos（α+β）＝，则sinβ的值为（）A．﹣B．C．D．7．（5分）《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为（）A．B．C．D．第2页（共19页）8．（5分）在△ABC中，cos2＝，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形9．（5分）已知△ABC中，∠A＝30°，2AB，BC分别是、的等差中项与等比中项，则△ABC的面积等于（）A．B．C．或D．或10．（5分）若，且，则cos2α的值为（）A．B．C．D．11．（5分）设等差数列{an}满足＝1，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n＝9时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．（，）B．[，]C．（，）D．[，]12．（5分）在锐角三角形△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，（a+b+c）（a+c﹣b）＝，则cosA+sinC的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知函数f（x）＝sinx+cosx，则f（x）的最大值为．14．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝8，则S6等于．15．（5分）已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC＝2sinA，则△ABC的面积为．16．（5分）已知数列满足：a1＝1，an+1＝，（n∈N*），若bn+1＝（n﹣λ）（+1），b1＝﹣λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为．第3页（共19页）三、解答题：本大题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝+n，求数列{bn}的前n项和Sn．18．（12分）（1）设α，β为锐角，且，求α+β的值；（2）化简求值：．19．（12分）已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期和函数的单调递增区间；（2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求AB．20．（12分）已知数列{an}前n项和（1）求数列{an}的通项公式；（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．第4页（共19页）21．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA•cosC﹣cos（A+C）＝sin2B．（Ⅰ）证明：a，b，c成等比数列；（Ⅱ）若角B的平分线BD交AC于点D，且b＝6，S△BAD＝2S△BCD，求BD．22．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且（n+1）an＝2Sn（n∈N*），数列{bn}满足，，对任意n∈N*，都有．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）令Tn＝a1b1+a2b2+…+anbn．若对任意的n∈N*，不等式λnTn+2bnSn＜2（λn+3bn）恒成立，试求实数λ的取值范围．第5页（共19页）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）数列1，﹣4，9，﹣16，25…的一个通项公式为（）A．an＝n2B．an＝（﹣1）nn2C．an＝（﹣1）n+1n2D．an＝（﹣1）n（n+1）2【分析】观察分析可得通项公式．【解答】解：经观察分析数列的一个通项公式为：an＝（﹣1）n+1n2故选：C．【点评】本题考查数列的通项公式的写法，属于基础题．2．（5分）计算2sin275°﹣1的值等于（）A．B．C．D．【分析】利用二倍角的余弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：2sin275°﹣1＝﹣（1﹣2sin275°）＝﹣cos150°＝cos30°＝，故选：D．【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．3．（5分）已知实数列﹣1，x，y，z，﹣2成等比数列，则xyz等于（）A．﹣4B．±4C．﹣2D．±2【分析】根据等比数列的性质得到xz的乘积等于y的平方等于（﹣1）×（﹣2），开方即可求出y的值，然后利用zx的积与y的值求出xyz即可．【解答】解：∵xz＝（﹣1）×（﹣2）＝2，y2＝2，∴y＝﹣（正不合题意），∴xyz＝﹣2．故选：C．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道中档题．4．（5分）等于（）A．﹣1B．1C．D．﹣第6页（共19页）【分析】根据正切的和与差的公式求解即可．【解答】解：由tan45°＝tan（17°+28°）＝，∴＝．故选：B．【点评】本题考查了正切的和与差的公式的运用．属于基础题．5．（5分）如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝200米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A．100米B．50（+1）米C．米D．200米【分析】直角△ABC与直角△ABD有公共边AB，若设AB＝x，则在直角△ABC与直角△ABD就满足解直角三角形的条件，可以用x表示出BC与BD的长，根据BD﹣BC＝CD，即可列方程求解．【解答】解：设AB＝x米，在直角△ACB中，∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝x米．在直角△ABD中，∠D＝30°，BD＝x，∵BD﹣BC＝CD，∴x﹣x＝200，解得：x＝100（+1）．故选：C．【点评】本题主要考查了解直角三角形的方法，解决的关键是注意到两个直角三角形有公共的边，利用公共边表示其它的量，从而把问题转化为方程问题．6．（5分）若α，β为锐角，且满足cosα＝，cos（α+β）＝，则sinβ的值为（）A．﹣B．C．D．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、sin（α+β）的值，再利用两角和差的正弦公式求得sinβ＝sin[（α+β）﹣α]的值．第7页（共19页）【解答】解：∵α，β为锐角，且满足cosα＝，cos（α+β）＝，∴sinα＝，sin（α+β）＝，∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝﹣＝，故选：B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．7．（5分）《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为（）A．B．C．D．【分析】易得中间的那份为20个面包，设最小的一份为a1，公差为d，由题意可得a1和d的方程，解方程可得．【解答】解：由题意可得中间的那份为20个面包，设最小的一份为a1，公差为d，由题意可得[20+（a1+3d）+（a1+4d）]×＝a1+（a1+d），解得a1＝，故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式，属基础题．8．（5分）在△ABC中，cos2＝，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【分析】利用二倍角公式代入cos2＝求得cosB＝，进而利用余弦定理化简整理求得a2+b2＝c2，根据勾股定理判断出三角形为直角三角形．第8页（共19页）【解答】解：∵cos2＝，∴＝，∴cosB＝，∴＝，∴a2+c2﹣b2＝2a2，即a2+b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．故选：B．【点评】本题主要考查了三角形的形状判断．考查了学生对余弦定理即变形公式的灵活利用．9．（5分）已知△ABC中，∠A＝30°，2AB，BC分别是、的等差中项与等比中项，则△ABC的面积等于（）A．B．C．或D．或【分析】由等差中项与等比中项的定义求出AB＝，BC＝1，由余弦定理得AC＝1或AC＝2，由此能求出△ABC的面积．【解答】解：△ABC中，∠A＝30°，2AB，BC分别是、的等差中项与等比中项，∴，解得AB＝，BC＝1，∴由余弦定理得：，解得AC＝1或AC＝2，当AC＝1时，△ABC的面积S＝＝＝．当AC＝2时，△ABC的面积S＝＝＝．故选：D．【点评】本题考查三角形面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比中项、等差中项、余弦定理的合理运用．10．（5分）若，且，则cos2α的值为（）A．B．C．D．第9页（共19页）【分析】利用二倍角公式及正弦函数两角差公式得到cosα+sinα＝，从而求出sin2α＝﹣，由此能求出cos2α．【解答】解：∵，且，∴3（cos2α﹣sin2α）＝sincosα﹣cossinα，即3（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）＝（cosα﹣sinα），∴cosα+sinα＝，∴1+sin2α＝，∴sin2α＝﹣，∵，∴cos2α＝﹣＝﹣．故选：A．【点评】本题考查三角函数的余弦值的求法，考查二倍角公式、正弦函数两角差公式、同角三角函数关系式，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．11．（5分）设等差数列{an}满足＝1，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n＝9时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．（，）B．[，]C．（，）D．[，]【分析】由已知条件推导出sin（a3﹣a6）＝1，或sin（a3+a6）＝0，由仅当n＝9时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值，推导出．由此能求出该数列首项a1的取值范围．【解答】解：∵等差数列{an}满足＝1，∴（sina3cosa6﹣sina6cosa3）（sina3cosa6+sina6cosa3）＝sin（a3+a6）＝（sina3cosa6+sina6cosa3），∴sina3cosa6﹣sina6cosa3＝1，即sin（a3﹣a6）＝1，或sin（a3+a6）＝0（舍）第10页（共19页）当sin（a3﹣a6）＝1时，∵a3﹣a6＝﹣3d∈（0，3），a3﹣a6＝2kπ+，k∈Z，∴﹣3d＝，d＝﹣．∵＝+（a1﹣）n，且仅当n＝9时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值，∴﹣＝9，化为．∴＝．故选：C．【点评】本题综合考查了等差数列的通项公式及其性质、三角函数的平方关系和倍角公式、特殊角的三角函数等基础知识与基本技能方法，属于难题．12．（5分）在锐角三角形△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，（a+b+c）（a+c﹣b）＝，则cosA+sinC的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】由已知利用余弦定理可求cosB，结合B是锐角，可求B，进而可得，利用三角函数恒等变换的应用化简可求cosA+sinC＝，由已知可求范围，利用正弦函数的图象和性质即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：由：（a+b+c）（a+c﹣b）＝，可得：，根据余弦定理得：，∵B是锐角，∴．∴，即，第11页（共19页）＝，又△ABC是锐角三角形，∴，即，∴，∴，∴．故选：B．【点评】本题主要考查了余