高中数学竞赛定理

1重心定义：重心是三角形三边中线的交点，可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。求证：F为AB中点。证明：根据燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BOC，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4、三角形内到三边距离之积最大的点。5、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((321xxx)/3,(321yyy)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(321xxx)/3纵坐标：(321yyy)/3竖坐标：（321zzz）/3外心定义：外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点，该点叫做三角形的外心。外心性质：三角形的外心是三边中垂线的交点,且这点到三角形三顶点的距离相等。设1d,2d,3d分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积1c=2d3d，2c=1d3d，3c=1d2d；c=1c+2c+3c重心坐标：((32cc）/2c，(31cc)/2c，(21cc)/2c)垂心定义：三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。性质：锐角三角形垂心在三角形内部直角三角形垂心在三角形直角顶点钝角三角形垂心在三角形外部2设1d,2d,3d分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积。1c=2d3d，2c=1d3d，3c=1d2d；c=1c+2c+3c垂心坐标：(1c/c，2c/c，3c/c)九点圆三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点〕九点共圆，这个圆为九点圆〔或欧拉圆或费尔巴哈圆.）九点圆性质：1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;即九点圆r：外接圆r=2：12.九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;3.三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切设1d,2d,3d分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积1c=2d3d，2c=1d3d，3c=1d2d；c=1c+2c+3c垂心坐标：：((3212ccc)/4c，(3212ccc)/4c，(3212ccc)/4c)欧拉线定义：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。欧拉线定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。欧拉线的性质：1、在任意三角形中，以上四点共线。2、欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。3欧拉线的证法1如图作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G’∵BD是直径∴∠BAD、∠BCD是直角∴AD⊥AB，DC⊥BC∵CH⊥AB，AH⊥BC∴DA//CH，DC//AH∴四边形ADCH是平行四边形∴AH=DC∵M是BC的中点，O是BD的中点∴OM=21DC∴OM=21AH∵OM//AH∴△OMG’∽△HAG’∴GMAG=12∴G’是△ABC的重心∴G与G’重合∴O、G、H三点在同一条直线上欧拉线的证法2如图设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。连接AG并延长交BC于D,则可知D为BC中点。连接ODO为外心∴OD⊥BC连接AH并延长交BC于EH为垂心∴AE⊥BC∴OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。连接CG并延长交BA于F则可知F为AB中点同理，OF//CM∴∠OFC=∠MCF连接FDFD//AC,DF:AC=1:2∴∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC4∴△OFD∽△HCA∴OD:HA=DF:AC=1:2又GA:GD=2:1∴OD:HA=GA:GD=2:1又∠ODA=∠EAD∴△OGD∽△HGA∴∠OGD=∠AGH又连接AG并延长∴∠AGH+∠DGH=180°∴∠OGD+∠DGH=180°即O、G、H三点共线欧拉线的证法3设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.则OH=OA+OB+OCOG=（OA+OB+OC）/3，3×OG=OH∴O、G、H三点共线(注：OH,OA,OB,OC,OG均为向量）费马点定义：在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。费马点的判定（1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则E为费马点。（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。费马点性质：（1）平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。（2）.特殊三角形中，三内角皆小于120°的三角形，分别以AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.(3).特殊三角形中，若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是费马点(4)特殊三角形中，当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合5证明(1)费马点对边的张角为120度在BCC1和BAA1中BC=1BA,BA=1BC,1CBC=∠B+60=1ABA,∴BCC1和BAA1是全等三角形∴∠PCB=BPA1同理可得∠CBP=PCA1由BPA1+PCA1=60，得∠PCB+∠CBP=60,∴∠CPB=120同理,∠APB=120，∠APC=120(2)PA+PB+PC=1AA将△BPC以点B为旋转中心旋转60与1BDA重合，连结PD，则△PDB为等边三角形∴∠BPD=60又∠BPA=120因此A、P、D三点在同一直线上又∠CPB=DBA1=120，∠PDB=60，PDA=180∴A、P、D、1A四点在同一直线上故PA+PB+PC=1AA(3)PA+PB+PC最短在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转60与1BGA重合，连结AM、GM、GA1(同上)，则1AAA1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A、B、C的距离最短。6梅涅劳斯定理内容：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么FBAF×DCBD×EACE=1。或设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是ZBAZ×XCBX×YACY=1证明一：如图过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,则FBAF=BDAG,DCBD=DCBD,EACE=AGDC。三式相乘得：FBAF×DCBD×EACE=BDAG×DCBD×AGDC=1证明二：过点C作CP∥DF交AB于P，则DCBD=PFFB，EACE=AFPF∴FBAF×DCBD×EACE=FBAF×PFFB×AFPF=1它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足FBAF×DCBD×EACE=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。证明三：过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC'，∴AD：DB=AA'：BB'，BE：EC=BB'：CC'，CF：FA=CC'：AA'∴FBAF×DCBD×EACE=17在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是L、M、N三点共线的充要条件是λμν=1。第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：若E，F，D三点共线，则FCBACFsinsin×DACBADsinsin×ABECBAsinsin=1即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积第二角元形式的梅涅劳斯定理在平面上任取一点O，且EDF共线，则DOBAOFsinsin×DOCBODsinsin×AOECOAsinsin=1。(O不与点A、B、C重合)塞瓦定理内容:在△ABC内任取一点O直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1证法:（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：∵△ADC被直线BOE所截∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1①而由△ABD被直线COF所截∴(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1（Ⅱ）也可以利用面积关系证明∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC③同理CE/EA=S△BOC/S△AOB④AF/FB=S△AOC/S△BOC⑤③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，根据塞瓦定理逆定理，∵(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1，∴三条高CD、AE、BF交于一点。可用塞瓦定理证明的其他定理;8三角形三条中线交于一点（重心）:如图5D,E分别为BC,AC中点∴BD=DCAE=EC所以BD/DC=1CE/EA=1∵AF=BF∴AF/FB=1∴AF=FB∴三角形三条中线交于一点可用定比分点来定义塞瓦定理：在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=1。塞瓦定理推论:1.设E是△ABD内任意一点，AE、BE、DE分别交对边于C、G、F，则(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1∵(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）∴(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（K为未知参数）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K为未知参数）又由梅涅劳斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1∴(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=12.塞瓦定理角元形式AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是(sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1由正弦定理及三角形面积公式易证3.如图，对于圆周上顺次6点A,B,C,D,E,F，直线AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证4..还能利用塞瓦定理证三角形三条高交于一点设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，根据塞瓦定理逆定理，∵(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(AE*ctgB)]=1，∴三条高CD、AE、BF交于一点。9燕尾定理燕尾定理，因此图类似燕尾而得名，是一个关于三角形的定理（如图△ABC，D、E、F为BC、CA、AB上的点，AD、BE、CF交于O点）S△ABC中，S△AOB：S△AOC=S△BDO：S△CDO=BD：CD同理，S△AOC：S△BOC=S△AFO：S△BFO=AF：BFS△BOC：S△BOA=S△CEO：S△AE