fxd2-1逻辑斯谛映射

2.1平方映射（逻辑斯谛映射）与倍周期分岔1.平方映射2.平方映射的不动点及其稳定性3.平方映射的周期解及其稳定性4.倍周期分岔的功率谱第二章离散映射物理学上一个动力学系统可以用连续变量表示，也可以用离散数表示。一个以x为连续变量的单参数的动力学系统：这里为系统参数。设系统状态作等间隔t，t+1，t+2，t+3，…变化，则时间演化方程改写为：当时间间隔不取整数，各时刻写成相应的状态为：时间演化方程变成离散方程：数学上称为映射的方程。在非线性发展史上第一个将映射方程用于研究系统进入混沌状态的是美国科学家梅(MayRobert)yfx(,))(nntxx),(1nnxgx映射方程1．平方映射12,,nxxxtnttttttttn00201,,2,xtgxt()(,())1映射方程计算对一个映射的计算采用的是迭代方法。即给定一个初值将其代入映射计算得，将代入映射计算得，由可算得，如此一直计算得：例如：一个简单映射1次迭代：2次迭代：n次迭代：于是有：如果将值看成为一条线上的一个点，则该组数值就构成一条轨道。nnAxx100)(xAAxAAxnn1．平方映射),(1nnxfx01Axx0x1x1x2x3xnx02012)(xAAxAAxxnxxxx,,,321ix2x动力学系统用连续变量表示为微分方程，用离散数表示时为映射(map)，两者对应关系为：映射与微分方程对应关系nnAxx1迭代计算0xAxnnAxdtdx解方程Atexx01．平方映射平方映射导出—生态平衡方程•1838年，生物学家伏埃胡斯脱（Verhulst）在研究生物种群演化时提出一种设想：一个世代交替的生物种群是在一个受制约的环境中生息繁衍的。第n代有:第n+1代有:A如不考虑生存环境对种群生存的影响，第n代与第n+1代有如下关系：当R1，种群数量将线性地无限制增长。B种群受环境制约，数量有最大限额，种群繁殖空间第n代与第n+1代关系1．平方映射nN1nNnnRNN10NnNN0)(01nnnNNRNN)1(01NNNNnnn0NR)1(1nnnxxx0/NNxnn方程展开•xn+1值与xn值是平方关系，称平方映射，文献中称洛吉斯蒂映射(逻辑斯谛映射，logisticmap),该式是抛物线表示式，也称抛物映射。•由于亲、子两代种群数约化值，在0~1间，参数μ取值在[0，4]内：平方映射计算)1(1nnnxxx21)1(nnnnnxxxxx1.平方映射21)21(-4nnxx动力学系统用连续变量表示为微分方程，用离散数表示时为映射(map)，两者对应关系为：其解是一个平凡的S形函数。映射与微分方程对应关系迭代计算0?nnxAx(1-)dxxxdt解方程001(1)ttxexxe1．平方映射)1(1nnnxxx11()1dxdtxx1111tttCexCeeC001xCx澳大利亚数学物理学与生物学家梅（R.May）发现，参量为的平方映射，其解具有非常复杂的形式。1976年，他在《自然》杂志上发表了一篇“具有非常复杂动力学的简单的数学模型”，展现了这个映射如何描述动力系统从规则运动步入混沌运动的过程。•离散映射采用迭代计算。即给定参数值与初始值x0，就有：…•设：各次计算值为：•在此参数下，计算结果趋向一个终值：平方映射计算1.平方映射xxx1100()xxx211()11.0,4.20x1.00x216.0)1.01(1.04.2)1(001xxx578985.03x5859465.04x58227.05x583755.06x583335.0x40642.0)1(112xxx作图计算准备:1.坐标2.作条抛物线：3.作一条的对角线，称恒等线，通过它做投影。1.平方映射nnxx1nnxx~1平方映射在平面上是一条抛物线，抛物线高度由值决定。nnxx~1)1(1nnnxxx)1(1nnnxxx作图计算•在横坐标x0处作竖直线与抛物线相交，交点为x1。从此点作水平线与对角线相交，此交点横坐标为x1。•由横坐标x1作垂线，与抛物线相交x2，移植到对角线上，得横坐标x2…。•作图过程象结网，趋向于恒等线与抛物线交点B，这是计算的终值。1.平方映射)1(1nnnxxx作图计算1.平方映射nnxx~1)1(1nnnxxx平方映射的不动点通过作图或数值计算表明，计算可以得到一个不变的终值，它被称为映射的不动点。一个映射的不动点就是xi与xi+1相同时的数值，它不再因继续迭代而发生变化。对平方映射，不动点为：解此方程得：即有两个不动点。实际上，两个不动点就是抛物线与迭代线的两个交点A与B。抛物线的高度与μ值有关，最大高度在=1/2处且等于μ/4。如果参数μ较小(1)，抛物线高度较低，它与迭代线只有一个交点，即原点A。在这种情况下，不管初值如何迭代最终趋于原点，原点是唯一的不动点。xxxiii()10ix/)1(ix2.平方映射的不动点平方映射的两个不动点2.平方映射的不动点1时走向不动点A当参数1时，抛物线高度较低，与迭代线只有一个交点A。这时不管初值如何，迭代最终趋于原点，原点是唯一的不动点。图b是随迭代次数n的变化曲线，这是最终衰变到零的指数衰变曲线。在生态上，虽然初始有一定的种群数量，但受到环境的制约最终走向了灭绝。2.平方映射的不动点μ=1~3时走向不动点B当μ1时平方映射会出现第二个不动点。下图值为2.0与1.8时的迭代，可以看到虽然起始值很小，但每次迭代值增加，这是一个指数增长并最终稳定的过程。终值与起始值无关。2.平方映射的不动点3μ2时振荡走向不动点B当值增大到μ2时，迭代结果开始出现振荡起伏，然后逐步稳定在某个数值。例如，当=2.8时，迭代值经过多次衰减振荡后逐步稳定。μ2时通过振荡走向不动点B2.平方映射的不动点不动点的稳定性非线性动力学核心问题之一就是研究系统的稳定性问题。上述计算可见，当μ3时迭代走向不动点，当μ3迭代值出现持续振荡，说明迭代在μ=3附近发生了变化，稳定不动点变得不稳定了。如一维映射具有不动点，即有解设en为对不动点的偏离量，需继续迭代，有：对右边在x*附近展开：略去的高阶小项，利用不动点方程则得：对于稳定的不动点，应有：，即对于不稳定的不动点,应有:，即2.平方映射的不动点),(n1+nxfxxfx(,)),(n1+neexfxn*x=x1+n),(),(eexxfxfx*x=xn1+n),(xxfmeeeen+1n1mn1+neem1*-11-2=1-2=-mx（）（）2迭代经过几次起伏趋近于迭代单调的趋近于对于稳定的不动点，应有,即：不动点的稳定性een+1n1m1m01m10m0mx映射在不动点处斜率为45°x超稳定不动点，最有利的稳定情况，迭代图上对应于2/11nnxx2.平方映射的不动点对于稳定的不动点，应有,即：不动点的稳定性een+1n1m2.平方映射的不动点二周期解当参数从μ=3继续增大时，迭代出现的振荡将维持下去，这种情况称为周期解。图为μ=3.2时迭代情况，取x0=0.04，在迭代进行几次后，其终值在一大一小的两个定值之间跳跃，并与起始值无关，称为周期2轨道运动。3.平方映射的周期解μ=3.2时xn+1在一大一小两个值间跳跃四周期解μ值增大到3.5以上，迭代的终值起伏每隔四次出现重复，称为周期4轨道运动。图为μ=3.52时的xn+1～n曲线，仍取x0=0.2为起始值。μ=3.52xn+1出现4周期循环3.平方映射的周期解倍周期解序列计算表明，随的增加，稳定的周期轨道还在增加，于是可得如下倍周期分岔序列。1.003.00周期1轨道(不动点)3.003.4495周期2轨道3.44953.5541周期4轨道3.55413.5644周期8轨道3.56443.5688周期16轨道通常在确定的μ值下，迭代会进入一个周期p的重复循环，即在次数i≥n后迭代有：xn，xn+1，…，xn+p-1xn+p，xn+p+1，…，xn+2p-1重复相同的值，称为周期p轨道。如P=1，称周期1轨道，为不动点；p=2为周期2轨道，p=4为周期4轨道。迭代也会进入轨道点xi永不重复情况，即无周期状态。但若每迭代一定次数，轨道点虽没有准确回到某个初始点xk，但与该点非常接近，则这种情况称为准周期轨道。它可看作无限长周期轨道。3.平方映射的周期解参数μ的变化引起轨道的周期性发生变化，类似于不动点的稳定性，映射的周期解也有一个稳定性问题。平方映射在μ=3.3时，对周期1轨道是不稳定的，但对周期2轨道来说可满足稳定性条件。对于周期2轨道：代入映射方程：复杂的表达式作图出来很清楚，这是一条M形曲线。上图为曲线,下图为曲线。周期2的稳定性3.平方映射的周期解xxn+2n,4333232222221n1n1nn2)()()(),()),((nnnnnnnnxxxxxxxxxxxfxfffx()n)((nxff周期2的稳定性周期轨道与不动点之间具有类似性。根据上述对的计算：体系有一个周期2轨道体系应有两个不动点。对μ=3.3，f(f(,xn)有四个不动点：其中与是的不动点，对应周期1轨道；剩下两个点即是周期2轨道点。),(n1+nxfxxffxnn((,))ffx((,))n01x479.02x697.03x01x697.03x823.04xfx()n3.平方映射的周期解多周期轨道的稳定性已知的不动点稳定性条件为：即在不动点处斜率小于45°。对于周期2轨道，设有解。则在的不动点处应有：结论：周期2的不动点的稳定性决定于两点处函数斜率的积。推广到任意的周期轨道，即从求出周期n轨道的不动点。然后由m判定其稳定性。)),((nxffxn*x),(n1xfxn1),(*x=xn1+nxxfmee)),((n2xffxn1))((**)(*xnxxfndxdfdxdfdxxfdfm3.平方映射的周期解复合函数导数链法则次nnn))(((xfffx1))((**)(*xnxxfndxdfdxdfdxxffdfm1))((*xnndxxfdf4.倍周期分岔道路对平方映射的计算表明，随着参数μ的增长，平方映射发生一系列的倍周期分岔。但倍周期分岔在一临界点μc=3.5699…时终止。此后，每次迭代得到的值是随机地出现的。μ=3.7时，每次迭代计算得到的xn值既不趋向于零或稳定值，也不是重复，而是随机地出现。随迭代计算将无限地延续下去，迭代值偶尔出现先前得到过某个迭代值点附近，但并没有准确相同，于是在继续迭代计算中又很快地分离开来了，说明系统已从周期运动进入到了非周期运动或称混沌运动。临界点以上的迭代计算平方映射的分岔图平方映射的分岔序列：分岔是在μ=1处开始的，从这里迭代由零值进入到单周期运动，出现一次霍夫分岔；随后在＝3处开始了倍周期分岔：3.0003.4495，二周期循环；3.44953.5441，四周期循环；3.54413.5644，八周期循环；3.56443.5688，十六周期循环……...如此一直分岔下去，每次分岔运动周期增加一倍，直到c为止。此后迭代得到的值随机地出现，进入混沌。4.倍周期分岔道路倍周期分岔李氏指数当c以后，映射迭代的终态值已无周期，进入了混沌状态。进入混沌后，从图象的深浅程度上仍可区分出不同的区域，说明混沌不是混乱一片，而存在着一定层次；倍周期分岔序列与李氏指