二项式定理的性质

二项式定理的性质复习回顾:二项式定理及展开式:二项式系数1rnrrrnTCab(0,1,,)rnCrn通项011*()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6======a+ba3+3a2b+3ab2+b3a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6a2+2ab+b2(a+b)1=1a+1b(a+b)2=1a2+2ab+1b2(a+b)3=1a3+3a2b+3ab2+1b3(a+b)4=1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4(a+b)5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5(a+b)6=1a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+1b6(a+b)7=?(a+b)8=?…………(a+b)n=?(a+b)1___(a+b)2___(a+b)3___(a+b)4___(a+b)5___(a+b)6___……(a+b)n___(a+b)n+1__111211331146411510105116152015611C…CC……C11n1rnrn1nn1C……C……C111nrn1nn1……杨辉三角(a+b)1___(a+b)2___(a+b)3___(a+b)4___(a+b)5___(a+b)6___……(a+b)n___(a+b)n+1__111211331146411510105116152015611C…CC……C11n1rnrn1nn1C……C……C111nrn1nn1……杨辉三角《详解九章算法》中记载的表这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似左面的表：11121133114641151010511615201561与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等性质1：对称性mnnmnCC二项式系数的性质kknkkknnnnknkn1C)!1()1()2)(1(C1由于：所以相对于的增减情况由决定．knC1Cknkkn1性质2：增减性与最大值2111nkkkn由：21nk可知，当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。例1：求(1+2x)8的展开式中二项式系数最大的项解：已知二项式幂指数是偶数８，展开式共９项，依二项式系数性质中间一项的二项式系数最大，则：T5=C84(2x)4=70×16x4=1120x4解：依题意,n为偶数，且若将“只有第10项”改为“第10项”呢？例2已知展开式中只有第10项系数最大，求第五项。nxx43118,1012nn4434184181451)(xxCTT43060x当n=6时,其图象是7个孤立点f（r）r63O615201nnnnnnCCCCba，，，，展开式的二项式系数是）（210nrfrCrn，，，，其定义域是），（为自变量的函数可看成是以从函数的角度看，210f（r）rnO6152012n2n212n20103035Onf（r）n为奇数212n当n是偶数时，中间的一项取得最大值；2nnC当n是奇数时，中间的两项和相等，且同时取得最大值。21nnC21nnCn为偶数在二项式定理中，令，则：1bannnnnn2CCCC210这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：nba)(n2同时由于，上式还可以写成：1C0n12CCCC321nnnnnn这是组合总数公式．性质3：各二项式系数的和性质4:在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.)()()1()11(31203210nnnnnnnnnnnnccccccccc3120nnnncccc即：3120nnnncccc例6、若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求a0＋a2＋a4的值为例7、已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,则(1)a1+a2+a3+…+a7=_______(2)a1+a3+a5+a7=_________2、在(a＋b）10展开式中，二项式系数最大的项是()1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同的项是().AA.第6项B.第7项C.第6项和第7项D.第5项和第7项CA.第15项B.第16项C.第17项D.第18项此种类型的题目应该先找准r的值，然后再确定第几项。注：练习3.(a+b)n展开式中第四项与第六项的系数相等，则n为A.8B.9C.10D.114.二项式(1-x)4n+1的展开式系数最大的项是（）A.第2n+1项B.第2n+2项C.第2n项D第2n+1项或2n+2项5.若(a+b)n的展开式中，各项的二项式系数和为8192，则n的值为（）A16B.15C.14D.13AAD6已知(2x+1)10=a0x10+a1x9+a2x8+……+a9x+a10,(1)求a0+a1+a2+……+a9+a10的值(2)求a0+a2+a4+……+a10的值（2）数学思想：函数思想a图象、图表；b单调性；c最值。（3）数学方法：赋值法、递推法（1）二项式系数的三个性质对称性增减性与最大值各二项式系数和小结二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。