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平面向量（陈）第1页共4页平面向量（测试题）1．已知a＝(x，2)，b＝(2，－1)，且a⊥b，则|a－b|＝________．2．在△ABC中，D为AC的中点，BC→＝3BE→，BD与AE交于点F，若AF→＝λAE→，则实数λ的值为________．3．在△ABC中，AD为BC边上的高，给出下列结论：①AD→·(AB→－AC→)＝0;②|AB→＋AC→|≥2|AD→|；③AC→·AD→|AD→|＝|AB→|sinB.其中正确的是________．(填命题序号)4．定义：|a×b|＝|a|·|b|·sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于________．5．已知向量a是与单位向量b夹角为60°的任意向量，则对任意的正实数t，|ta－b|的最小值是________．6．已知a、b为平面向量，若a＋b与a的夹角为π3，a＋b与b的夹角为π4，则|a||b|＝________．7．已知OA→＝1，OB→＝2，∠AOB＝2π3，OC→＝12OA→＋14OB→，则OA→·OC→＝________．8．已知正三角形OAB中，点O为原点，点B的坐标是(－3，4)，点A在第一象限，向量m＝(－1，0)，记向量m与向量OA→的夹角为α，则sinα的值为________．9．若函数f(x)＝2sinπ6x＋π3(－2＜x＜10)的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B，C两点，则(OB→＋OC→)·OA→＝________．10．如图，已知圆M：(x－3)2＋(y－3)2＝4，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E，F分别为边AB，AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，ME→·OF→的最大值是________．11．如图，圆O的内接△ABC中，M是BC的中点，AC＝3，若AO→·AM→＝4，则AB＝________．12．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，|OB→|＝|OC→|＝|OD→|＝1，OB→＋OC→＋OD→＝0，A(1，1)，则AD→·OB→的取值范围是________．13．设互不相等的平面向量组ai(i＝1，2，3，…)，满足：①|ai|＝2；②ai·ai＋1＝0，若Tm＝a1＋a2＋…＋am(m≥2)，则|Tm|的取值集合为________．14．已知向量a，b是单位向量，若a·b＝0，且|c－a|＋|c－2b|＝5，则|c＋2a|的取值范围是________．15．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝1，且对于任意实数x，不等式|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，设a，b的夹角为θ，则sinθ＝________.16．在△ABC中，已知AB→·AC→＝tanA，当A＝π6时，△ABC的面积为________．17．设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定m，n之间的一种运算“⊗”为m⊗n＝(ac－bd，ad＋bc)．若a＝(－1，－2)，a⊗b＝(4,5)，则b＝________.18．已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若3OA→＋4OB→＋5OC→＝0，则△AOC的面积为________．19．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若平面向量a，b满足|a|≥|b|0，a与b的夹角θ∈0，π4，且a∘b和b∘a都在集合n2|n∈Z中，则a∘b＝________.平面向量（陈）第2页共4页20．已知O是△ABC所在平面内一点，动点P满足OP→＝OA→＋λ(AB→|AB→|cosB＋AC→|AC→|cosC)，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的________心．21．设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成．若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为________．22．若函数f(x)＝2sin(π6x＋π3)(－2x10)的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与f(x)的图象交于B、C两点，O为坐标原点，则(OB→＋OC→)·OA→＝________.23．已知向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，p＝(x，y)，定义新运算mD○×n＝(ac＋bd，ad＋bc)，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．如果对于任意向量m都有mD○×p＝m成立，则向量p＝________.二、解答题(本大题共2小题，共30分)24．在平面直角坐标系xOy中，已知向量a＝(1，0)，b＝(0，2)．设向量x＝a＋(1－cosθ)b，y＝－ka＋1sinθb，其中0＜θ＜π.(1)若k＝4，θ＝π6，求x·y的值；(2)若x∥y，求实数k的最大值，并求k取最大值时θ的值．25．已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cosx，－3sin2x)，b＝(cosx，1)，x∈R.(1)求函数y＝f(x)单调递减区间；(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝7，且向量m＝(3，sinB)与n＝(2，sinC)共线，求边长b和c的值．26．在△ABC中，AC＝10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD＝5，且满足AD→＝511DB→.(1)求|AB→－AC→|；(2)存在实数t≥1，使得向量x＝AB→＋tAC→，y＝tAB→＋AC→，令k＝x·y，求k的最小值．平面向量（陈）第3页共4页答案1.102.343．①②③4．85.326.637.148.4＋33109．3210．611.712.－12－2，－12＋213．{0，2，22}14.655，315.6316.1617．(－145，35)18.2519.3220．垂心21.π322．3223．(1,0)24．解(1)当k＝4，θ＝π6时，x＝(1，2－3)，y＝(－4，4)，则x·y＝1×(－4)＋(2－3)×4＝4－43.(2)依题意，x＝(1，2－2cosθ)，y＝－k，2sinθ，因为x∥y，所以2sinθ＝－k(2－2cosθ)，整理得，1k＝sinθ(cosθ－1)，令f(θ)＝sinθ(cosθ－1)，则f′(θ)＝cosθ(cosθ－1)＋sinθ(－sinθ)＝2cos2θ－cosθ－1＝(2cosθ＋1)(cosθ－1)．令f′(θ)＝0，得cosθ＝－12或cosθ＝1，又0＜θ＜π，故θ＝2π3.列表如下：θ0，2π32π32π3，πf′(θ)－0＋f(θ)极小值－334当θ＝2π3时，f(θ)min＝－334，此时实数k取最大值－439.25．解(1)f(x)＝2cos2x－3sin2x＝1＋cos2x－3sin2x＝1＋2cos2x＋π3，令2kπ≤2x＋π3≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)，∴函数y＝f(x)的单调递减区间为kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z)．(2)∵f(A)＝1＋2cos2A＋π3＝－1，∴cos2A＋π3＝－1，又π3＜2A＋π3＜7π3，∴2A＋π3＝π，即A＝π3.∵a＝7，∴由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc＝7.①∵向量m＝(3，sinB)与n＝(2，sinC)共线，∴2sinB＝3sinC，由正弦定理得2b＝3c，②由①②得b＝3，c＝2.26．解(1)由AD→＝511DB→，且A，B，D三点共线，可知|AD→|＝511|DB→|.又AD＝5，所以DB＝11.平面向量（陈）第4页共4页在Rt△ADC中，CD2＝AC2－AD2＝75，在Rt△BDC中，BC2＝DB2＋CD2＝196，所以BC＝14.所以|AB→－AC→|＝|CB→|＝14.(2)由(1)知|AB→|＝16，|AC→|＝10，|CB→|＝14，在△ABC中，由余弦定理得cosA＝|AC→|2＋|AB→|2－|CB→|22|AB→|·|AC→|＝12.由x＝AB→＋tAC→，y＝tAB→＋AC→，知k＝x·y＝(AB→＋tAC→)·(tAB→＋AC→)＝t|AB→|2＋(t2＋1)AC→·AB→＋t|AC→|2＝256t＋(t2＋1)×16×10×12＋100t＝80t2＋356t＋80.由二次函数的图象，可知该函数在[1，＋∞)上单调递增，所以当t＝1时，k取得最小值516.