ASK-FSK-PSK频谱特性分析

数字ASK、FSK、PSK调制的频谱分析摘要：信号频谱是信号区别于其他信号一项非常基本的特征。将信号进行傅里叶变换（能量有限）或者傅里叶级数展开（能量无限），可以得到每一个频率点上信号功率的分布。各类调制的实质是将基带信号的低通频谱搬移到高频载波频率上，使得所发送的频带信号的频谱匹配于频带信道的带通特性。关键字：ASKFSKPSK频谱数字基带信号通过正弦波调制成为带通型的频带信号，即调制器将二进制符号序列映射到与信道匹配的频带上去。数字调制的基本原理是用数字基带信号去控制正弦型载波的某参量，如：控制载波的幅度，称为振幅键控（ASK）；控制载波的频率，称为频率键控（FSK）；控制载波的相位，称为相位键控（PSK）。带通型数字调制有二进制及M进制（M2）之分。二进制数字调制是将每个二进制符号映射为相应的波形之一，如2ASK。在M进制数字调制中，将二进制数字序列中每K个比特构成一组，对应于M进制符号之一（M=2K），如MFSK。一、二进制启闭键控（OOK）1、OOK信号的产生二进制启闭键控(OOK：On-OffKeying)又名二进制振幅键控(2ASK)，它是以单极性不归零码序列来控制正弦载波的开启与关闭。上图中，{na}的取值为1或0，bT为二进制符号间隔，发送脉冲成形低通滤波器的冲激响应为)(tgT，)(tgT可能是升余弦滚降滤波器的冲激响应，现暂设其为矩形不归零脉冲。二进制序列通过脉冲成形低通滤波器后的限带信号为)()(bTnnnTtgatb其中)(tb为单极性不归零脉冲序列。将此)(tb与载波相乘，得到2ASK信号：tnTtgaAtscbTnnASKcos)]([)(2若)(tgT是矩形不归零脉冲，在bTt0期间，2ASK信号也可表示为如下形式空号）传号）((0)(cos)()(212tstAtstscASKbTt02、数字OOK调制信号的功率谱密度数字调制信号s(t)的带通随机样本函数：])(Re[)(tjwcetAbts式中的)(tAb是带通型数字调制信号的复包络。带通信号)(ts的自相关函数为])(cos)(]}[)(Re[])(Re[)]()([),())(()(2ttsetbetbEAtstsEttRctjtjscc]),(Re[2})]()([Re{222ccjbjettRAetbtbEA由上式可以看出，若),(ttRb是周期为bT的周期函数，则),(ttRs也是周期为bT的周期函数。若数字基带信号或等效基带信号)(tb是广义循环平稳过程，则带通型数字调制信号)(ts也是广义的循环平稳过程。)(ts的平均自相关函数为])()([4),(1)(22/2/ccbbjbjbTTsbseReRAdtttRTR其中dtttRTRbbTTbbb2/2/),(1)()(ts的平均功率谱密度（对平均互相关函数求傅里叶变换）为)]()([4)()(22cbcbfjssffPffPAdeRfP其中)(bR的傅里叶变换为)(fPb。由于)(tb的平均功率谱密度)(fPb是频率f的实偶函数，所以)()()(fPfPfPbbb，故)]()([4)(2cbcbsffPffPAfP又因为单极性不归零矩形脉冲序列)(tb的平均功率谱密度为)(41)(41)(2fRfSaRfPbbb其中bRsbfT1为码速度。故OOK信号的平均功率谱密度为)()(161))(())((161)(22ccbcbcbsffffRffSaRffSaRfP由)(fPb，)(fPs绘得功率谱如下对于数字基带信号)(tb，其双边平均功率谱密度只能够含有离散的直流分量及连续谱，如上图（a）所示。对于OOK调制信号，其双边平均功率谱密度只是将复包络)(tb的平均功率谱密度搬移到载频cf上，如上图（b）所示。其中，离散谱由载波分量确定，连续谱由数字基带信号波形)(tgT确定，OOK信号的带宽是数字基带信号波形带宽bR的两倍,即)(2主瓣宽度bOOKRB，其带宽利用率为HzsbitBROOKbOOK/5.0。二、二进制移频键控（2FSK）用二进制数字基带信号去控制正弦载波的载频称为二进制移频键控（2FSK）。1、2FSK信号的产生1）相位不连续的2FSK信号如下图左，用二进制数字基带信号去控制电开关，分别接入两载频振荡器之一，可产生相位不连续的2FSK信号。相位不连续2FSK信号的数学表达式为2）相位连续的2FSK信号将二进制数字信号对单一的载频振荡器进行调频，可以得到相位连续的2FSK信号。如下图右。相位不连续2FSK信号的数学表达式为])(2cos[)(tfcFSKdbKtAts2FSK信号的产生2、2FSK两信号波形的互相关系数考虑)(1ts)(2ts的相关性。则它们的互相关系数为因为12bcT，所以上式第二项0)2(cos)(bcbcbcTSaTTSa，所以])2(2[)2(12bbTfSaTSa根据互相关系数与频差2f的函数，得二者关系图如下在12=0时，表示)(1ts与)(2ts正交，此时的两载频的最小频率间隔为1122()cos2()0()cos2FSKbstAftsttTstAft“传号”“空号”1212001().()2[cos()cos()](2)()cosbbcbcbTbTccbbststdtEttttdSaTTTSaTt1222()fff22121bbRTff若频差很大，两函数近似正交。3、2FSK信号的功率谱密度及其信号带宽对于相位不连续的2FSK信号，可以将其看做两个OOK信号的叠加，表达式如下)cos()()cos()()(21nbnnnnbnFSKtnTtgatnTtgats其中na对应二进制序列，na对应于二进制序列的反码。12为不同载波的载频。nn为对应不同载波的初始相位，可以忽略。ttsttssFSK22112cos)(cos)(故相位不连续的2FSK信号的平均功率谱密度为)]()([41)]()([41)(221122221ffPffPffPffPfPssssFSK其中)(1fPs)(2fPs分别为数字基带信号)(1ts)(2ts的双边平均功率谱密度。故2FSK信号的平均功率谱密度为)()()()(161)])(())(())(())(([161)(2211222212122ffffffffRffSaRffSaRffSaRffSaRfPbbbbbFSK由此式可得相位不连续的2FSK信号的单边平均功率谱密度图如下a.bsRfff7.07.012b.bsRfff12c.bsRfff2212对于相位不连续的2FSK信号的功率谱由离散谱和连续谱所组成。其中，离散谱位于两个载频1f和2f处，连续谱由两个中心位于1f和2f处的双边谱叠加形成。若两个载波频差小于bR（如bsRfff7.07.012），则连续谱在1f和2f的中点处出现单峰，如上图a所示；若载频差大于等于bR（如bsRfff2212），则连续谱出现双峰，如上图b,c所示。若以2FSK信号功率谱第一个零点之间的频率间隔计算其带宽，则2FSK信号的带宽为bFSKRffB2122。实际应用中一般bRff221，取bRff)5~3(12，故bbbFSKRRRB)7~5()5~3(22，其带宽利用率为HzsbitBRFSKbFSK/014~2.022。据分析，连续相位2FSK信号的平均功率谱密度随着频率f偏离cf，其旁瓣按4/1f衰减，而相位不连续2FSK信号的旁瓣按2/1f衰减，前者的旁瓣衰减速度快；同时，两者带宽和频带利用率基本相同，所以常用连续相位的2FSK调制方式。三、二进制移相键控（2PSK或BPSK）用二进制数字信号控制正弦载波的相位称为二进制移相键控。1、2PSK信号的产生其中{na}的取值为1或-1，两个电平等概率出现，符号间互不相关，最终得到2PSK信号为ncbTnPSKtnTtgaAtscos)]([)(2亦可写作bbbbccPSKTktkTTktkTttts)1(0()1(1(coscos)(2）空号）传号2、2PSK信号的功率谱密度2PSK信号的功率谱密度采用与求OOK信号功率谱密度相同的方法。故)]()([4)(22cbcbPSKffPffPAfP其中)(fPb为双极性不归零序列脉冲的平均功率谱密度，)()(2bbbfTSaTfP则2PSK信号的功率谱密度为])([])([4)(2222bcbcbPSKTffSaTffSaTAfP由)(fPb，)(fPs绘得功率谱如下由于在传号与空号等概率出现时，双极性不归零脉冲序列的平均功率谱密度中无离散的直流分量，所以2PSK信号的平均功率谱中无离散的载频分量，仅有连续谱。2PSK信号的带宽是数字基带信号波形带宽bT1的两倍,即bbPSKRTB222，其带宽利用率为HzsbitBRPSKbPSK/5.022。四、结论OOK信号的带宽是数字基带信号波形带宽bR的两倍,即)(2主瓣宽度bOOKRB，其带宽利用率为HzsbitBROOKbOOK/5.0；2FSK信号的带宽为bFSKRffB2122，其带宽利用率为HzsbitBRFSKbFSK/5.022；2PSK信号的带宽是bbPSKRTB222，其带宽利用率为HzsbitBRPSKbPSK/5.022。2FSK频带带宽最大，利用率最低，OOK、2PSK相同，故后二者有效性优于前者。从整体看来，OOK、2PSK等二进制数字调制系统频带利用率较低，使其在实际应用中受到一些限制。在信道频带受限时，为了提高频带利用率，通常采用多进制数字调制系统。其代价是增加信号功率和实现上的复杂性。)(log2BMRRbB可见，在信息传输速率不变的情况下，通过增加进制数M，可以降低码元传输速率，从而减小信号带宽，节约频带资源，提高系统频带利用率。