2019名校联盟第三次联考数学(理)试题与答案

绝密★启用前2019年卓越·名校联盟第三次联考理科数学参考答案1.C由题意得{0,2}M，(0,]Ne，故MN[0,]e2.D由题意得21iz，故2121i(1i)i1i2zz.3.C2log164||3xx,运行一次1|43|122xy.4.A由题知(1,2)abm，于是b()ab112(2)0m32m.5.B将数据从小到大排列，最中间两个数为46,47，所以中位数为464746.52.出现次数最多的是48，共三次.极差为721260.6.A题知()()sin2()sin(2)sin222gxfxxxx，1()()sin2hxgxx，于是()sin()cos22hxxx.因此函数()2hx是偶函数且在[0,]单调递增.7.A如图，作出该几何体的直观图.该几何体为图中四面体ABCD,其中,ADBADC为直角，体积1132444323V.8.D设班车到达车站的时间为x，爱丽丝到达车站的时间为y.(,)xy可看成平面中的点.记事件A“爱丽丝在班车到达车站之前到达车站”，这是一个几何概型.试验的全部结果构成的区域为5.56.5{(,)|}67xxyy，面积为111S,所构成的区域为{(,)|5.56.5}67yxAxyxy,其面积为11112228AS.所以1()8ASPAS.9.C设00()fxy，则00()fyx，所以点00(,)xy和点00(,)yx同时在原函数图象和反函数图象上，故选项C正确.又因为函数()fx具有反函数，所以函数满足一一对应关系，故选项A、D不正确.设()(0)fxxx，可知选项B不正确.10.B解设切点分别为,,MTN,由题知12||cos2FPFPIPM,由椭圆定义知1224PMMFPNNFa，且PMPN,11FTFM,22FTFN,1222FTFTc,由以上式子知12||cos12FPFPIPMac.yxTNMIF1OF2PBDAC11.A记1(),()2sin1fxgxxx，将问题转化为求函数(),()fxgx图像交点的横坐标之和.首先注意到当xR时，()2singxx为奇函数，周期为2，其对称中心为(,0)(Z)kk.11()11fxxx,其对称中心为(1,0)，因此当20182020x时，两个函数图像同时关于(1,0)中心对称,且有4040个公共点，构成2020对.如(,)AA，其横坐标之和为2，因此此方程的所有实根之和为4040.12.B方法一如图，以B为原点建系.(0,0),(2,0)BC.设(,3)Axx，则2(,3)(2,3)422ABACxxxxxx,解得12x或1x，进一步分析可知63A.方法二由条件得3B，2,cos2abcA.由余弦定理得2242cos2(1cos)bcbcAbcA.故414(1cos)coscos2AAA,所以63A.13.448.由于488318832(2)rrrrrrrTCxCxx，令48433rr，故4x的系数为338(2)856448C.14.12.曲线在0x处的切线方程为1yx，围成的区域如图所示，易知当31,22xy时，max12z.15.8423.设四个实心铁球的球心为1234,,,OOOO，其中12,OO为下层两球的球心，,,,ABCD分别为四个球心在底面的射影.则ABCD是一个边长为2的正方形.所以注水高为22.故应注水23482(22)4142333cm.yx12A'CBA16.322.设双曲线的实轴长2a，焦距为2c，则5210,4cca，从而4a.又由垂径定理，有PMPB，从而，根据双曲线定义，28AMPAPMPAPBa.在等腰MOA中，12,8OMOAMA，所以边MA上的高2212482h.13222MOASMAh.17．解（1）由条件可得：26107aaa，即2111(5)(9)(6)adadad…………………………（2分）又13a且0d，解得23d……………………………………………………………………（4分）所以，213(1)(211)33nann.……………………………………………………………（5分）（2）由（1）知123,3ad，故321(1)110()233nnnnSnnadnn………………（7分）构造函数32110()33fxxx，运用导数知识可得当203x处取得极小值，…………………（10分）由于n为正整数，又当6n时，6648S;而7n时，7749S，故min()49nnS.……………（12分）18.解（1）如图，在平面DEF内过P作直线EF∥EF,则平面EFCB即为截面.…………………………………………（3分）理由如下：根据棱台的定义知平面DEF∥平面ABC，平面DEF平面BCEFEF,平面ABC平面BCEFBC,所以EF∥BC.又EF∥EF，所以EF∥BC,即EF，BC确定平面EFCB.因此该平面即为所求.………………………………………………（6分）（2）延长,,ADBECF,根据棱台的定义知三线交于一点，记为S.因为平面BCFE平面ABC，平面BCFE平面ABCBC,ACBC,所以AC平面BCFE.又知BCS为等边三角形．取BC的中点O，则SOBC，又平面BCFE平面ABC，所以，SO平面ABC．……（7分）如图，以点O为原点，以OB所在直线为x轴，以过O平行于AC的直线为y轴，以OS所在的直线为z轴建立空间直角坐标系Oxyz．不妨设1BE,则由题意得(1,0,0),(0,0,3)BS,(1,3,0)A,13(,0,)22E,13(,0,)22F,(1,3,3),(2,3,0)ASAB………………………………（8分）设平面ABS的法向量为1(,,)nxyz，由1100ASnABn,得330230xyzxy，取3x,则2y，3z，即1(3,2,3)n………………………（9分）取平面BSC的法向量2(0,1,0)n……………………………………………………………（10分）故12122221221cos,2||||3(2)(3)nnnnnn，……………………………………（11分）因为二面角AEBC为锐二面角.F'E'FEBCADPzyxOFEACBSD所以二面角BADF的大小为3.……………………………………………………………（12分）19.解（1）若按分层抽样，则需选258540名男同学，3名女同学．……………………………（2分）因此，共有532515CC个不同的样本（此处只需给出组合数即可）．………………………………（4分）（2）（i）由于数学成绩为优秀的只有3位同学，所以他们必定是题设中的3位同学．因此，只需求这3位同学的物理成绩均为优秀的概率，设这一事件为A．那么，34381()14CPAC==．所以，这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率为114．…………………………………（6分）（ⅱ）①y与x之间是正相关.………………………………………………………………………（7分）②根据条件知12xyxxlbl，从而由ybxa=+可得48a=．所以，y与x的线性回归方程为1482yx=+.……………………………………………………………………………………（10分）因为编号为1的学生在下次测试中的数学成绩最高为100分，所以预测他的物理成绩最高为98分.(12分）20.（1）如图（1）据题意，W到点(,0)Aa的距离与到定直线:lxa的距离相等，故根据抛物线的定义知：W构成的集合是以A为焦点，l为准线的抛物线.可知2pa，2pa，所以的方程为24(0)yaxa.……………………………………………………………………………………（4分）（2）当1a时，的方程为24yx.方法一如图（2）记圆心(5,0)G，设22(4,4),(4,4)SssTtt（,0,stst）当5r时，都存在0st的两个解（垂直与x的两条切线），因此只需要考虑0st的情形.（6分）此时，直线ST的斜率为2244144ststst，由于22(2(),2())Hstst，GH的斜率为222()2()5stst.因为ST与圆G切于点H，故2212()12()5ststst.所以2232st①…………………（9分）于是2222222[2()5][2()0]44()rGHststst.由均值不等式知2220()2()3stst.……………………………………………………（10分）得2416r，即24r.………………………………………………………………………（11分）另一方面，对(2,4)内的任意实数r，方程组22223244()ststr必然有四组解，它们对应2条不同的直线l.综上，所求r的取值范围是(2,4).……………………………………………………(12分)方法二（1）当斜率不存在时，有两条.（2）当斜率存在时，设1122(,),(,)SxyTxy,由点差法得124kyy，设00(,)Hxy，即02ky……………………………………………………………………………………………………①又GHST.所以1GHkk，于是005kyx.…………………………………………………②由①②得03x.则点H在直线3x上.将3x代入抛物线，得到212y.所以2012y.又因为点H在圆上，所以22200(5)xyr，所以220416rx，又2044y，所以24r.21.（1）当2a时，1()21fxx，即证12ln21xx……………………………………(1分)令1()2ln(1)1gxxxx，则222221252(21)(2)()(1)(1)(1)xxxxgxxxxxxx，…(3分)当12x时，()0gx，当2x时，()0gx，所以函数()gx在(1,2)内单调递减，在(2,)内单调递增,故min()(2)2ln21ln41ln12gxge.证毕………………………(5分)（2）先分析端值,当0x时，lnx，111aax，要使1()ln11axx，需有10a，即1a；当x时，lnx，11aax，要使1()ln11axx，需有0a；故必须有01a.………………………………………………………………………（6分）由1(1)111axaxx知其分子恒正，令1()ln(1)1xxxax，于是问题等价于当1x时，()0x；当01x时，()0x.注意到(1)0.…………………………（7分）222[(1)](1)()[(1)]axaxxxaxa,……………………………………………………………………（7分）（ⅰ）当0a时1()xxx，此时当1x时，()0x，()x在(1,)单调递减，于是()(1)0x，这不符合题意；当0a时，由()0x，得21211,1xxa.………………………………………………（8分）（ⅱ）当12a时，12xx