定轴转动刚体的角动量守恒定律

一、刚体的角动量5-3定轴转动刚体的角动量守恒定律二、转动惯量三、计算转动惯量的三个定理四、定轴转动刚体的角动量定理和转动定理五、刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体可以看作是由无数质点组成的质点组．刚体转动状态发生变化的原因是受到力矩的作用，力矩作用的时间累积效应将是什么？z一、刚体的角动量质点以角速度作半径为r的圆周运动时相对圆心的角动量为ωmrL2刚体可看作是特殊的质点系．对于图示刚体，可看作由许多可视为质点的微元组成．iiiivmrL定轴转动的整个刚体ωrmvmrLiiiiiii2iiirmJ2令5-3定轴转动刚体的角动量守恒定律OimivirωJLAωJL考虑到定轴转动刚体的特征，第i个微元令J=mr2ωrmii22iiirmJ二、转动惯量物理意义：刚体定轴转动惯性大小的量度．质量离散分布刚体的转动惯量2222112rmrmrmJiii转动惯量的计算方法质量连续分布刚体的转动惯量mmmrJJdd25-3定轴转动刚体的角动量守恒定律刚体绕定轴Oz的转动惯量(rotationalinertia)．质量线分布(质量线密度为)：dm=dl质量面分布(质量面密度为)：dm=dS质量体分布(质量体密度为)：dm=dV单位：kg·m2量纲：ML2设棒的线密度为，在距离转轴OO'为r处取线元drrmdd3d202mlrrJl1212d232/2/2mllrrJllrrmrJddd22一质量为m、长为l的均匀细长棒，求：(1)通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量，(2)通过棒端点并与棒垂直的轴的转动惯量．(2)同理，若转轴过端点垂直于棒有5-3定轴转动刚体的角动量守恒定律例2l2lrrdmdrOO'lrrdmdOrO'(1)根据题意作右图．建立Or坐标系．解线元质量线元转动惯量棒的转动惯量5-3定轴转动刚体的角动量守恒定律例mJJd一质量为m、半径为R的均匀细圆环，求通过盘中心O并与环面垂直的轴的转动惯量．建立图示直角坐标系dddRlm线元质量ddd32RmRJ线元绕轴的转动惯量mRO解设圆环线密度为圆环绕轴的转动惯量dπRm2203dR32R2mRxyzld在环上取线元dl5-3定轴转动刚体的角动量守恒定律例5-4mJJd一质量为m、半径为R的均匀圆盘，求通过盘中心O并与盘面垂直的轴的转动惯量．建立图示直角坐标系ddddrrSm面元质量dd2dd32rrmrJ面元绕轴的转动惯量mRO解1设圆盘面密度为，在盘上取面元dS圆盘绕轴的转动惯量rrdrSddxyz2πRmσRrσr0203dd242Rσ221mRmmJJd设圆盘面密度为，在盘上取半径为r，宽为dr的圆环rrmd2d圆环质量rrmrJd2dd32圆环绕轴的转动惯量RrrdO解22πRmσRrσr03d242Rσ221mR圆盘绕轴的转动惯量5-3定轴转动刚体的角动量守恒定律几种常见刚体的转动惯量2mrJrm质量为m的质点绕轴转动质量为m长为l的均匀细棒绕轴转动2121mlJ轴在中心231mlJ轴在一端221mRJRmO质量为m半径为R的均匀圆盘或圆柱体绕轴转动2mRJRmO质量为m半径为R的均匀圆环绕轴转动232mRJ质量为m半径为R的均匀薄球壳绕轴转动RmO252mRJ质量为m半径为R的均匀球体绕轴转动RmO影响因素刚体的总质量：形状、大小和转轴都相同的匀质刚体，总质量越大，则转动惯量越大．刚体质量分布：总质量、形状和转轴都相同的刚体，质量分布离轴越远，转动惯量越大．转轴位置：同一刚体，对不同位置的转轴，其转动惯量不同，转轴离质心越远，转动惯量越大．三、计算转动惯量的三个定理5-3定轴转动刚体的角动量守恒定律质心及其确定方法刚体的运动＝平动＋转动刚体做平动时，刚体上各点运动都相同，可用其上任何一点的运动来代表整个刚体的运动．绝大多数情况下都是用刚体上的一个特殊点——质心的运动代表整个刚体的平动．质心(centerofmass)就是质点系或刚体的质量分布中心．质点系的质心iiiCmrmr直角坐标系中CxkmzmjmymimxmiiiiiiiiiCyCz刚体的质心直角坐标系中mmrrCddCx5-3定轴转动刚体的角动量守恒定律可以证明：质量分布均匀、且为对称性的刚体，其质心在对称面或对称轴上，若有对称中心，它就是刚体的质心．如匀质的细棒、圆盘、圆环、球、平行四边形薄板、矩形薄板等，质心分别在其对称中心．若刚体由几部分组成，要确定其质心，应先求每一部分的质心，并认为每一部分的质量集中在其各自的质心上，再将各部分看作质点系，求其总质心．kmmzjmmyimmxddddddCyCz5-3定轴转动刚体的角动量守恒定律1平行轴定理如图，刚体的质心为C．CD为过质心的轴，MN为与CD平行的任意轴．dm是构成刚体的任一质量元，位于点P．过dm作垂直于二轴的平面与两轴的交点分别为D、M．为dm到MN轴的垂距．为dm到OC轴的垂距．d为两平行轴间距．CPdzxyOmdcrrNMD以O为原点建立图示直角坐标系．刚体对MN轴的转动惯量为mmJd2drrrCDCDCP，mCPmmrdmdd2d2mcmCPmrrmrdd质量为m的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为JC，则对任一与该轴平行，相距为d的转轴的转动惯量为JC+md2——平行轴定理2mdJJCCJJminmmdd2mmmmdmdmd2dd22=JC=md2mcmmrmrddmcmmrmmrmdd0ccrmrm=0CPrCPrr2=x2+y2Oz设有如图所示薄板状刚体．5-3定轴转动刚体的角动量守恒定律2正交轴定理yxmdr过板上任一点O建立直角坐标系Oxyz，薄板在Oxy平面内．取质量元dm，位置如图．xy薄板绕Ox轴的转动惯量：mmxxmyJJdd2薄板绕Oy轴的转动惯量：mmyymxJJdd2薄板绕Oz轴的转动惯量：mzzJJdyxzJJJ薄板状刚体绕对于板面内的两条正交轴的转动惯量之和，等于薄板对过该二轴交点且垂直于板面的那条轴的转动惯量——正交轴定理．mmrd2mmmymxdd22xJyJmOR5-3定轴转动刚体的角动量守恒定律例半径为R，质量为m的匀质圆盘，求(1)通过圆盘边缘且与盘面垂直的轴的转动惯量，(2)通过圆盘直径轴的转动惯量．利用转动惯量的定义求解J解1(1)建立图示直角坐标系Oxyz，原点在盘心，Oxy与盘同面．md任取质量元dm，位置如图由转动惯量的定义有mmmmmmdrmdmrmdrmrJd2dddd2222rxyzr2221dmRJmrozm222dmRmdmdm0dddcmmmrdmmmrmdmrdmdr22223021mRmRmRJd过盘边缘且垂直于盘面的轴如图，设盘对它的转动惯量J．mOR5-3定轴转动刚体的角动量守恒定律(2)建立图示直角坐标系Oxyz，原点在盘心，Oxy与盘同面，Ox和Oy都是过圆盘直径的轴．rmddrrd取质量元dm，位置如图Smdd由转动惯量的定义有2420032200224141ddsinddsindmRRrrrrrmyJRRmx由题意有2RmsindddryrrS，又同理可得2241dmRmxJmyxyzRmO5-3定轴转动刚体的角动量守恒定律利用平行轴定理和正交轴定理求解．(1)由平行轴定理得2mdJJCRdmRJC，2212222321mRmRmRJdJCJ(2)建立图示坐标系，原点位于盘心，盘面与Oxy同平面．RmOCJxyz221mRJJCz由正交轴定理得yxzJJJ由质量分布对称性有yxJJ241mRJJyx对Oz轴有解xyOz5-3定轴转动刚体的角动量守恒定律例一质量为m、长为L的均匀细棒放在Oxy平面内，棒与x轴成角，其中心在O点．求棒对x、y和z轴的转动惯量．细棒的质量密度为lmdd在细棒上取长为dl的质量元由正交轴定理LmmxxJJd22232222cos121cos121dcosddmLLlllxJJLLmmyy2121mLJJJyxzldxlymlyd2222dsinLLll23sin121L22sin121mL解5-3定轴转动刚体的角动量守恒定律例解1半径为R，质量为m的匀质圆环，求通过沿圆环直径的轴的转动惯量．环的质量密度为Rm2dmdr在环上取质量元dmddRmdm到转轴的距离为cosRrRmmrJd2解2利用转动惯量的定义求解利用正交轴定理求解对过环心并与环垂直的轴的转动惯量为222ddmRmRmRJmmO由对称性有221mRJJyxmdROyx由正交轴定理有yxOJJJ202dcosRR2023dcosR3R221mR设有如图所示刚体，由圆板A、细杆B及矩形板C组成．5-3定轴转动刚体的角动量守恒定律3组合定理刚体对过圆心O且垂直于圆板的轴的转动惯量为CBAJJJJ由几个部分组成的刚体对某轴的转动惯量，等于刚体各部分对该轴的转动惯量之和——转动惯量的组合定理．ABCO2iirmJ2222211kkrmrmrm2222221nnkkkkrmrmrm2222221ssnnnnrmrmrmABCCCiCiBBiBiAAiAirmrmrm222iJJ一般地5-3定轴转动刚体的角动量守恒定律例一质量为M、半径为R的均匀圆盘，沿其直径对称地挖出半径为r的两个圆孔，孔心距为R．求剩余部分对过盘心且与盘面垂直的轴的转动惯量．采用补偿法，挖孔后的圆盘可看作由三部分组成：ROrOrOR半径为R的匀质圆盘O，质量为半径为r的匀质圆盘O，质量为半径为r的匀质圆盘O，质量为解MRM212222RMrrM2223RMrrM圆盘质量分布的面密度为2RM5-3定轴转动刚体的角动量守恒定律ROrOrOR由平行轴定理，匀质圆盘O和O对过O且垂直于盘面的轴的转动惯量分别为21222222222RrMrRMJJCO21212222321RrMrMRJJJJOOCO22112121MRRMJC24222221RMrrMJC它们对各自质心轴(垂直于盘面)的转动惯量分别为24233221RMrrMJC由组合定理，挖孔后的盘对过O且与盘面垂直的轴的转动惯量为21222222333RrMrRMJJCOz5-3定轴转动刚体的角动量守恒定律四、定轴转动刚体的角动量定理和转动定理iiniiexiMMM2ddddiiiirmttLM如图，第i个微元定轴转动刚体的角动量定理iniexiiMMMJttLMdddd刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚体绕此定轴的角动量随时间的变化率——刚体定轴转动的角动量定理(微分形式)．OimivirA对整个刚体而言