留数定理及其在积分中的运用资料

江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文留数定理及其在积分中的运用（ResiduetheoremandtheuseintheCalculus）姓名：刘燕学号：0507010122学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学指导老师：易才凤（教授）完成时间：2009年*月*日留数定理及其在积分中的应用【摘要】本文首先在预备知识中介绍了复函数积分，并介绍了留数的计算方法等。在此基础上，我们叙述并证明了本文的主要内容--留数定理，并得到留数定理的推广。然后利用留数定理探讨分析学中的积分计算问题，并利用积分技巧得到它们的一般计算方法和公式，进而更简捷的解决了分析学中积分的计算问题.【关键词】解析孤立奇点留数留数定理ResiduetheoremandtheuseintheCalculus【Abstract】Thispaper,wefirstintroducethepriorknowledgeofcomplexfunctionCalculus，andintroducethemethodofcalculatingtheresidue,etc.Onthisbasis,Wedescribedandprovedthemaincontentsofthisarticle--theResiduetheorem,andthepromotionoftheResiduetheorem.Thispaperdiscussedthecalculatingproblemsofintgralinanalysiswiththetheoremofresidue,gotthegeneralcomputatingmethodandformulabyusinganalysicalskills,andthenmadeiteasiertoresolvethecalculatingproblems.【Keywords】AnalysisIsolatedsingularpointResidueResiduetheorem目录1引言..................................................2预备知识.......................................2.1复积分.............................................2.2解析函数极点及留数.................................2.3留数的计算方法.................................3留数定理..........................................3.1留数定理........................................3.2留数定理的证明...................................3.3留数定理的推广..............................4应用留数定理计算积分............................4.1复积分的计算.....................................4.2实积分的计算....................................5参考文献6致谢xbzn1nzn22z1z1az0y0图11引言众所周知，在数学分析以及实际应用中，往往要计算一些定积分或反常积分.而这些积分中被积函数的原函数，有时不能用初等函数表示出来，或者即使可以求出原函数，如果用数学分析中的计算积分的方法往往十分局限而且繁琐.因此需要寻求新的计算方法.例如，可以考虑把实积分转化为复积分，以便利用复积分的理论，而留数定理正是这方面的重要工具.在此我们将重点介绍复变函数中运用留数定理计算积分的方法.其基本思想是：为了求实函数)(xf在实数轴上的某一段上的积分，我们在上适当附加某一曲线使其构成一简单闭曲线C，从而将积分转化为复变函数的围线积分，然后再运用留数定理即可解决.留数是复变函数论中重要的基本概念之一，它与解析函数在孤立奇点出的洛朗展开式，柯西复合闭路定理等都有密切的联系.留数定理是复变函数论中的重要定理，它是复积分和复级数想结合的产物，在实际中有重要的应用，特别是它可以为积分的计算提供新的方法，对复变函数论的发展起到一定的推动作用.那么留数定理能不能计算出所有的积分呢？答案是否定的.留数定理在积分中的应用也具有一定的局限性.通过研究留数定理及其在积分中的应用，我们可以更好的理解这一重要定理一节它在积分中的应用.此外，应用留数定理，我们还可以证明重要的辐角原理和儒歇定理等重要定理，利用这些定理可以考察区域内函数的零点分布情况等.2预备知识2.1复积分复变函数积分的定义定义2.1设有向曲线C：)(),(ttzz以为)(za起点，)(zb为终点，)(zf沿C有定义.顺着C从a到b的方向在C上取分点：bzzzzann,,,,110把曲线C分成若干个弧段（如图1）。从1kz到),2,1(nkzk的每一弧段上任取一点k.做和数nkkknzf1)(S，其中1kkkzzz.当分点无限增多，而这些弧段长度的最大值趋于零时，如果和数nS的极限存在且等于J，则称)(zf沿C（从a到b）可积，而称J为)(zf沿C（从a到b）的积分，并以记号cdzzf)(表示：J=cdzzf)(.C称为积分路径.cdzzf)(表示沿C的正方向的积分，cdzzf)(表示沿C负方向的积分.如果J存在，我们一般不能把J写成badzzf)(的形式，因为J的值不仅和a,b有关，而且与积分路径C有关.显然，)(zf沿曲线C可积的必要条件为)(zf沿C有界.此外，，我们还有下面可积的充分条件和计算复积分的一种表达式.定理2.1]1[若函数),(),()(yxivyxuxf沿曲线C连续，则)(zf沿C可积，且cccudyvdxivdyudxdzzf)(.这个定理说明，复变函数积分的计算问题，可以化为其实，虚部两个二元实函数曲线积分的计算问题.除此之外，复积分的计算方法还有很多，比如莱布尼兹公式，柯西定理，柯西公式，以及我们后面要重点介绍的运用留数定理计算复积分等.2.2函数极点及留数2.2.1解析函数的极点定义2.2若函数)(zf在点0z不解析，但在0z的任一邻域内总有)(zf的解析，点，则称0z为函数)(zf的奇点.定义2.3如果函数)(zf在点a的某一去心邻域RazaK0:}{（即除去圆心a的某圆）内解析，点a是)(zf的奇点，则称a为)(zf的一个孤立奇点.孤立奇点是解析函数的奇点中最重要的一种类型.以解析函数的洛朗展式为工具，我们能够在孤立奇点的去心邻域内充分研究一个解析函数的性质.我们知道，如a为函数)(zf的孤立奇点，则)(zf在a点的某去心领域}{Ka内可以展成洛朗级数nnnazczf)()(.实际上，非负幂部分nnnazc)(0表示在点a的邻域K：Raz内的解析函数，故函数)(zf在点a的奇异性质完全体现在洛朗级数的负幂部分nnnazc)(1，其负幂部分又称为)(zf在点a的主要部分.根据其主要部分的性质，孤立奇点可分为可去奇点，极点及本质奇点。在此我们重点介绍极点.定义2.4如果)(zf在点a的主要部分为有限多项，设为)0()()(11)1(mmmmmcazcazcazc，则称a为)(zf的m阶极点。一阶极点也称为单极点.定理2.2]1[如果函数)(zf以点a为孤立奇点，则下列三条是等价的。因此，它们中的任何一条都是m阶极点的特征.（1）)(zf在点a的主要部分为)0()()(11)1(mmmmmcazcazcazc（2）)(zf在点a的某去心邻域内能表成mazzzf)()()(，其中)(z在点a邻域内解析，且0)(a；（3）)(1)(zfzg以点a为m阶零点（可去奇点要当做解析点看，只要令0)(zg）定理2.3]1[函数)(zf的孤立奇点a为极点的充要条件是)(limzfaz.定理2.4函数)(zf的孤立奇点a为可去奇点的充要条件是)()(lim为有限数bbzfaz.定理2.3函数)(zf的孤立奇点a为本质极点的充要条件是)(limzfaz不存在.2留数如果函数)(zf在点a是解析的，周线C全在点a的某邻域内，并包围点a，则根据柯西积分定理0)(dzzfc.但是，如果a是)(zf的一个孤立奇点，且周线C全在a的某个去心邻域内，并包围点a，则积分cdzzf)(的值，一般说来，不再为零.并且利用洛朗系数公式很容易计算出它的值来。概括起来，我们有定义2.5设函数)(zf以有限点a为孤立奇点，即)(zf在点a的某去心邻域Raz0内解析，则称积分)0,:()(21Razdzzfi为)(zf在点a的留数（residue），记为)(Rzfesaz.由柯西积分定理知道，当R0，留数的值与无关，利用洛朗系数公式有1)(21cdzzfi，即1)(Reczfsaz；这里1c是)(zf在az处的洛朗展式中az1这一项的系数.由此可知，函数在有限可去奇点处的留数为零.§2.3留数的计算方法为了应用留数定理求周线积分，首先应掌握求留数的方法.在计算孤立奇点a的留数时，我们只关心其洛朗展式中的az1这一项的系数，所以应用洛朗展式求留数是一般方法；对于n阶极点处的留数，为避免每求一个极点处的留数都要去求一次洛朗展式，可以运用下面的定理中的公式来求.定理2.4]1[设a为)(zf的n阶极点，nazzzf)()()(，其中）（z（由极点性质知）在点a解析，0）（a，则)!1()()(R)1(nazfesnaz.这里符号）（）（a0代表）（a，且有)(lim)()1(1zanazn）（.推论2.5]1[设a为)(zf的一阶极点，)()(zfaza）（，则)()(Razfesaz.推论2.6]1[设a为)(zf的二阶极点，)()(2zfazz）（，则)()(Re'azfsaz.定理2.7]1[设a为)()()(zzzf的一阶极点（只要）（z及）（z在点a解析，且（0)(,0)(,0)'aaa（），则)()()(R'aazfesaz.例2.1求下列函数在指定奇点处的留数.（1）2)1)(1()(zzzzf在1z.（2）zzfsin1)(在),1,0(nnz.（3）nnzzzf)1()(2在z=1.解(1)显然z=1为函数)(zf的一阶极点，z=-1为二阶极点.由推论2.5,121)1()(Rzzzzzfes;由推论2.6,1'1)1()(Rzzzzzfes.(2)显然),1,0(nn,n均为函数)(zf的一阶极点，若令,sin)(,1)(zzz则.0)1(,0)(,1)(nnnn）（且‘由推论2.5，nnznznzzzfes)1(cos1)()()(R'.(3)显然z=1为函数)(zf的n阶极点，若令nzz2）（，则）（z在点z=1解析，且01）（，由推论2.4，)!1()!1()!2()!1(1)!1()()(R12)1(1nnndzdznnazfesznnz.3留数定理§3.1留数定理定理3.1（留数定理）]1[)(zf在周线或复周线C所范围的区域D内，除21,aa…na外解析，在闭域CDD上除21,aa…na外连续，则（“大范围”积分）nkazczfsidzzfk1)(Re2)(.（3.1）证明以ka为心，充分小的正数k为半径画圆周),,2,1(:nkazkkk