2011西工大数学建模论文

装订线第九届西北工业大学数学建模竞赛暨全国大学生数学建模竞赛选拔赛题目A(B)题密封号2011年5月3日剪切线密封号2011年5月3日学院第队队员1队员2队员3姓名班级装订线摘要近几年，房价过快上涨，使人民群众买房难，因此研究影响房价的主要因素以及房价与其之间的关系十分重要。分析题目，我们分为三个问题进行讨论建模：问题一，房价合理性评判；问题二，未来房价走势；问题三，后期房价的应对。本文针对影响房价的因素，主要考虑以下几点：地价，人均年收入，建材价格，人均GDP、房屋贷款利率和居民消费水平。通过线性拟合，找出各影响因素与房价的关系，确定出主要影响因素为：地价，人均年收入，人均GDP和居民消费水平，进而得出因素与房价之间的互动影响。问题一中针对各代表性城市现今房价是否合理的问题，我们以代表性城市上海、西安为例，采用了经济学领域的关于正态分布的模型，评定房价的合理性，同时根据我们确定出来的数据与世界银行房价评判标准进行进一步评判。针对问题二，鉴于房价所涉及的系统为灰色系统，而影响房价的因素很多，我们利用灰色预测法来作预测，灰色系统，即将杂乱无章的数据列进行整理、生成，将空缺的数据通过计算加以补充，用整理过的数据列建立模型并通过它进行决策和预测，将结构、关系、机制不清楚的对象、过程、系统作灰色预测以进行提前控制。房价变化涉及的系统包含有许多影响因素，多种因素共同作用的结果决定了系统的发展态势。针对问题三，建立适当的模型对各因素与房价的相关性进行检验；至于对经济发展的影响，须考虑房价与各个因素之间的互动性，便于充分利用搜集的相关数据进行模型的检验。利用影响因素，通过对模型的综合分析，我们提出了各种改进措施并得出了对经济影响的一些结论。本文的主要特色为：我们分析了房价变化这一系统的特点，有针对性的构建模型，并抓住了影响房价的主要因素，建立的模型精确实用，而且容易理解。同时我们根据模型对未来代表性城市的房价进行了预测与评估，并提出了合理实用的改进措施，不仅具有研究参考价值，而且对于决策者有很好的指导意义。一．问题重述房价问题事关国计民生，对国家经济发展和社会稳定有重大影响，一直是各国政府大力关注的问题。我国自从取消福利分房制度以来，随着房价的不断飙升，房价问题已经成为全民关注的焦点议题之一，从国家领导人、地方政府官员，到开发商、专家学者、普通百姓通过各种媒体表达各种观点，但对于房价是否合理、未来房价的走势等关键问题，至今尚未形成统一的认识。要求就一下方面进行分析：根据中国国情，收集建筑成本、居民收入等与房价密切相关的数据，选取我国具有代表性的几类城市对房价的合理性及房价的未来走势等问题进行定量分析；根据分析结果，进一步探讨使得房价合理的具体措施，以及可能对经济发展产生的影响，并进行定量分析。根据赛题的要求，我们将题目分割为三部分并分别建模。模型一为房价合理性分析模型，模型二为房价未来走势预测模型，模型三为后期房价应对模型。二、问题分析题目要求依据建筑成本、居民收入等影响房价变化的因素，对具有代表性城市的房价进行合理性定量评估并定量预测房价未来走势、控制合理房价的措施和对经济发展的影响。我们将问题进行分述如下三个部分，并对其分别建模：一、房价合理性分析模型考虑评判房价的合理性，我们首先想到与房价密切相关的各种因素，认为房屋的合理定价应该由房屋所在城市的经济发达程度、环境优美度、居民归属感等生活标准来反应，而这些项目又有很多是难以量化的指标，因此我们采用了城市居民年人均收入刻画生活标准。房屋的价格应该满足本市居民的居住需要，于是这部分我们没有引入投资等市场因素。二、房价未来走势模型房价未来走势受很多因素影响，比如地价、居民平均收入水平、理想房价和市场供求关系等。但是这些因素之间相互作用、相互影响，这些属于系统分析的内容，起初我们考虑将运用数理统计中的回归分析、方差分析、主成分分析等方法来进行房价系统分析。但是由于这些方法必须要有大量的数据，而且要求我们所选取的主要因素即地价、居民平均收入水平、理想房价和市场供求关系等与房价系统之间呈现一定的线性关系且各个因素无相关性，显然，我们所能获得是数据不具备上述特征，因此，我们必须设想利用其它模型。鉴于房价所涉及的系统为灰色系统，而影响房价的因素很多，我们利用灰色预测法来作预测，灰色系统，即将杂乱无章的数据列进行整理、生成，将空缺的数据通过计算加以补充，用整理过的数据列建立模型并通过它进行决策和预测，将结构、关系、机制不清楚的对象、过程、系统作灰色预测以进行提前控制。正如前面所说，房价变化涉及的系统包含有许多影响因素，多种因素共同作用的结果决定了系统的发展态势。因此这部分我们采用了灰色预测模型，避免了考虑单个量对经济走势的影响情况，关注在这些因素共同作用下的经济走势，并对房价的未来变化进行了预测。三、后期房价应对模型要求我们根据前面的分析结果，进一步探讨使得房价合理的具体措施，以及可能对经济发展产生的影响。提出控制房价使之合理的措施，涉及到影响房价的具体因素。所以，我们必须建立适当的模型对各因素与房价的相关性进行检验；至于对经济发展的影响，须考虑房价与各个因素之间的互动性，便于充分利用搜集的相关数据进行模型的检验。三、数学模型的建立及求解3-1城市房价合理性模型与符号说明模型假设：1、本模型主要考虑到应届毕业生等初次购房者的购买情况，不考虑投资购房群体，理由是投资者生活有所保证，投机行为可以由市场进行调节，合理性应该反映房屋真正需求者购房难度。2、本模型假定城市居民收入与收入对应的人口数成正态分布。符号说明：esM:单位面积商品房售价Sqr:当地人均住房居住面积eT:预期使用当年全年收入归还房贷所需年数rM:购买商品房支付的总价:房产税率、贷款利息等附加费用eS:当地人均年收入(1)resMMSqr模型建立若以当地人均年收入eS作为人口收入正态分布模型的x=0，人均年收入的2n倍定为x=n，则x~N(0,1)，函数图象如图3-1(a)所示。图3-1(a)令Te年内可用全年工资购买人均住房面积住房的下限倍率为Br。22(1)log()log[]esrreeeeMSqrMBSTST根据假设一，本模型考虑对象为应届毕业生等初次购房者，国家对于这些群体的税费及银行贷款的政策都有相应的优惠，故这些因素暂予以忽略，对Br进行了简化：2log()esreeMSqrBTSP=1()rB一．以上海市区居民购房为例（数据见表3-1-1）表3-1-1令能够使用Te年全年收入购买人均住房面积住房的人口比例为P，假设5年为合理还贷期，通过查阅标准正态分布表，得到的年份、Br值及P值如表3-1(a)所示。年份住房面积（2m）商品房销售均价(元每平方米)人均年收入(元)200213.1553913250200313.8603214867200414.8664017175200515.5695218645200616810220668200716.51029323623200816.91365926675200917.21546728838201017.81916831838从表中可以看出，从2002年以来，在不计算贷款利率及房产税率的情况下，能够用5个整年工资来购买人均住房面积住房的上海市区居民的比例一直低于50%，并且每年都呈下降趋势，特别是在2006年炒房潮爆发以后，比例加速下降，直到2010年竟然下降到13.6%。作者查询了相关的资料，发现加拿大等欧美国家的房屋均价折合成人民币和上海现在的房价相差无几，但收入水平却远高于上海市民的收入水平，于是造成了加拿大居民和上海居民的生活水平的巨大差距。同时，资料显示，加拿大中产阶级房屋贷款限额是年收入的3倍，这个比例对于上海中产阶级来说，可能都难以支付房屋购买的首付。随着上海的发展及其成为了亚洲第一大港，房屋价值的增长也是正常的现象，但房屋价格的高速增长不符合上海本地居民的人均收入水平，因此我们认为2006年以来上海高速增长的房价是不合理的。表3-1-1(a)二．以西安市区居民购房为例（数据如表3-1-2所示）表3-1-2西安市区居民购房情况表采用了2008至2009年度的数据。同样以五年作为合理还贷期，计算得到表3-1-2(a)。年份BrP20020.1310.44820030.1630.43520040.1950.42320050.2080.41720060.3270.37220070.5230.29820080.7910.21420090.8840.18920101.10.136年份住房面积单位面积住宅销售价格西安市人均年收入200817.0439715207200917.6491318963201018.2539821807年份BrP表3-1-2(a)从表中我们可以看到，西安的房价从2008年到2010年有上涨，但是城市居民收入水平也有了比较大的提高，使得能够使用5年全年工资还清购房债务的人口比例保持稳定并有所上升。这说明西安的房价比较稳定合理。三．使用世界银行房价收入比进行判断aM：每户住房总价Sqr：人均住房面积P：每户家庭平均人口数hP：单位面积住宅平均销售价格aI：每户家庭年总收入I：家庭人均全部年收入：收入房价比ahhaMSqrPPSqrPIPII以上海为例，可计算出其2002-2010年的房价收入比，见表3-1-1-3(a)。年份房价收入比20025.4720035.620045.7220055.522008-0.020.5082009-0.1330.5532010-0.150.5620066.2720077.1920088.6520099.23201010.72表3-1-1-3(a)从表中我们也可以发现房价收入比从2006年开始超出了正常标准3到6，出现了畸形的房市过热现象。和项目所建合理性模型显示的2006年后城市居民住房购买力下降的现象吻合。而西安市2002年至2010年的房价收入比，如表3-1-1-3(b)所示，相对较为稳定，在3到6倍的正常范围内。表3-1-1-3(b)三．结果分析对房价合理性的分析应该从当地居民能够用合理的资金购买到合理面积、合理地段住房的角度入手，而不像房价预测一样需要考虑市场等因素，因此我们选取了人均收入和人均住房居住面积来刻画某地房价的合理性。这点我们的模型和世界银行的房价收入比模型有着相似之处。经过我们对各类型城市通过建立的模型进行分析，如果某地区能够用5年当年全年工资购买当地人均住房居住面积住房的居民的比例小于1/3，则说明该城市的房市已经出现过热（房价收入比已经大于6），房价不合理。3-2未来房价变化的灰色预测模型模型假设年份房价收入比20084.9120094.5620104.511.本模型不考虑未来突发事件，如经济低迷或举办大型活动，如奥运会、世博会等因素对房价产生的影响。2.城市年平均房价的预测为基于历史情况的变化。3.不考虑政府政策调控引起房价的大起伏变化。符号说明(0)x----为原始房价数据；(1)x----为累加生成房价数据；ix----为九个代表性城市的房价（i=1,2,…,9）；t----为时间变量；k----为与时间有关的常量；模型建立我们搜集到2001~2010年10年间，各代表性城市的房价变化数据如表3-1-2所示：2001200220032004200520062007200820092010北京4210459849625161527658496232132221505122310上海5531600369547938841185478627140991540419168深圳4321452648755170561955496037111431475816978西安2000300931203491300032553599435749135398东莞2000302532883336371041885148568366087023青岛896214442005167500051424639652783018962潍坊120116901630