直线、平面平行的判定及其性质-习题(含答案)

试卷第1页，总6页直线、平面平行的判定及其性质习题（含答案）一、单选题1．已知直线和不同的平面，下列命题中正确的是A．𝛼⊥𝛽𝑚⊥𝛽}⇒𝑚//𝛼B．𝛼⊥𝛽𝑚⊂𝛼}⇒𝑚⊥𝛽C．𝑚//𝛼𝑚//𝛽}⇒𝛼//𝛽D．𝛼//𝛽𝑚⊂𝛼}⇒𝑚//𝛽2．已知直线1:3lyax与2l关于直线yx对称，2l与3:210lxy垂直，则a（）A．12B．12C．-2D．23．已知𝛼，𝛽是两个不同的平面，𝑚，𝑛是异面直线且𝑚⊥𝑛，则下列条件能推出𝛼⊥𝛽的是（）A．𝑚//𝛼，𝑛//𝛽B．𝑚⊥𝛼，𝑛//𝛽C．𝑚//𝛼，𝑛⊥𝛽D．𝑚⊥𝛼，𝑛⊥𝛽4．设𝑚，𝑛是不同的直线，𝛼，𝛽，𝛾是不同的平面，有以下四个命题：①𝛼∥𝛽𝛼∥𝛾}⇒𝛽∥𝛾；②𝛼⊥𝛽𝑚∥𝛼}⇒𝑚⊥𝛽；③𝑚⊥𝛼𝑚∥𝛽}⇒𝛼⊥𝛽；④𝑚∥𝑛𝑛∥𝛼}⇒𝑚∥𝛼．其中正确的命题是（）．A．①②B．①③C．②④D．③④5．如图，在棱长为2的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴1𝐵1的中点是𝑃，过点𝐴1作与截面𝑃𝐵𝐶1平行的截面，则该截面的面积为()A．2√2B．2√3C．2√6D．46．下列命题正确的是A．四边形确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．经过三点确定一个平面D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面试卷第2页，总6页7．四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，5PA，E为PC的中点，则异面直线BE与PD所成角的余弦值为（）A．1310B．155C．1339D．15398．直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐴𝐵⊥𝐴𝐶，𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐴𝐴1，则直线𝐴1𝐵与𝐴𝐶1所成角的大小为A．30°B．60°C．90°D．120°9．如图，在正四棱台𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，上底面边长为4，下底面边长为8，高为5，点𝑀,𝑁分别在𝐴1𝐵1,𝐷1𝐶1上，且𝐴1𝑀=𝐷1𝑁=1.过点𝑀,𝑁的平面𝛼与此四棱台的下底面会相交，则平面𝛼与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为A．18√7B．30√2C．6√61D．36√3二、填空题10．如图,在直四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中,底面𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形,𝐴𝐴1=√3𝐴𝐵.记异面直线𝐴𝐵1,与𝐵𝐷所成的角为𝜃,则cos𝜃的值为_________.11．如图所示的正方体中，P，Q，M，N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________（把正确图形的序号都填上）.试卷第3页，总6页12．空间四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=𝐶𝐷，且异面直线𝐴𝐵与𝐶𝐷所成的角为40°，𝐸、𝐹分别为𝐵𝐶和𝐴𝐷的中点，则异面直线𝐸𝐹和𝐴𝐵所成角的大小是_________________．13．正方体1111ABCDABCD中，直线1BC与直线1AB所成角的大小为__________.14．在正四面体P-ABC，已知M为AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为____.15．若直线120axy与直线1xay互相平行，则实数a______,若这两条直线互相垂直，则a______.16．如图，长方体1111ABCDABCD中，12,1AAABAD，点EFG、、分别是11DDABCC、、的中点，则异面直线1AE与GF所成的角是__________．17．在平面直角坐标系xOy中，双曲线22:1(0)4xyCmm的一条渐近线与直线210xy垂直，则实数m的值为__________．18．已知𝑚,𝑛是两条不重合的直线𝛼,𝛽,𝛾是三个两两不重合的平面给出下列四个命题:(1)若𝑚⊥𝛼,𝑚⊥𝛽,则𝛼//𝛽(2)若𝛼⊥𝛾,𝛽⊥𝛾,则𝛼//𝛽(3)若𝑚⊂𝛼,𝑛⊂𝛽,𝑚//𝑛,则𝛼//𝛽(4)若𝑚//𝛽，𝛽//𝛾，则𝑚//𝛾其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)三、解答题19．如图，𝑃𝐴⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，𝐷𝐸//𝐴𝑃,𝐴𝑃=𝐴𝐷=2𝐷𝐸=2.试卷第4页，总6页(Ⅰ)证明：平面𝐷𝐶𝐸//平面𝐴𝐵𝑃；(Ⅱ)求直线𝐶𝑃与平面𝐷𝐶𝐸所成角的余弦值.20．如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃𝐴⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐷⊥𝐴𝐵，𝐴𝐵//𝐷𝐶，𝐴𝐷=𝐷𝐶=𝐴𝑃=2，𝐴𝐵=1，点𝐸为棱𝑃𝐶的中点．(1)（理科生做）证明：𝐵𝐸⊥𝐶𝐷；（文科生做）证明：𝐵𝐸//平面𝑃𝐴𝐷；(2)（理科生做）若𝐹为棱𝑃𝐶上一点，满足𝐵𝐹⊥𝐴𝐶，求二面角𝐹−𝐴𝐵−𝑃的余弦值．（文科生做）求点𝐵到平面𝑃𝐶𝐷的距离.21．如图所示的几何体中，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，𝐴𝐷𝑁𝑀是矩形，平面𝐴𝐷𝑁𝑀⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，点𝑃为𝐷𝑁的中点，点𝐸为𝐴𝐵的中点.(1)求证：𝐵𝐷⊥𝑀𝐶；(2)求证：𝐴𝑃//平面𝑁𝐸𝐶.22．如图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中,PA平面ABCD，60,2ABCPAAB，点EF、分别为BCPD、的中点，设直线PC与平面AEF交于点Q.试卷第5页，总6页（1）已知平面PAB平面PCDl，求证：//ABl.（2）求直线AQ与平面PCD所成角的正弦值.23．如图所示,𝐶𝐶1⊥平面𝐴𝐵𝐶,平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1⊥平面𝐴𝐵𝐶,四边形𝐴𝐵𝐵1𝐴1⊥为正方形，∠𝐴𝐵𝐶=60∘,𝐵𝐶=𝐶𝐶1=12𝐴𝐵=2,点𝐸在棱𝐵𝐵1上.(1)若𝐹为𝐴1𝐵1的中点𝐸为𝐵𝐵1的中点,证明:平面𝐸𝐶1𝐹∥平面𝐴1𝐶𝐵；(2)设𝐵𝐸⃑⃑⃑⃑⃑=𝜆𝐵𝐵1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑,是否存在𝜆,使得平面𝐴1𝐸𝐶1⊥平面𝐴1𝐸𝐶?若存在,求出𝜆的值;若不存在,说明理由.24．如图，在底面边长为𝑎的正三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐵𝐵1=√𝑎，D是AC的中点。（1）求证：𝐴𝐵1//平面𝐷𝐵𝐶1；（2）求正三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的体积及表面积。25．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，60DAB，PD平面ABCD，2PDAD，点E、F分别为AB和PD的中点.试卷第6页，总6页（1）求证：直线//AF平面PEC；（2）求点A到平面PEC的距离.26．如图，三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，四边形𝐴1𝐶1𝐶𝐴为菱形，∠𝐵1𝐴1𝐴=∠𝐶1𝐴1𝐴=600,𝐴𝐶=4,𝐴𝐵=2，平面𝐴𝐶𝐶1𝐴1⊥平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1，𝑄在线段𝐴𝐶上移动，𝑃为棱𝐴𝐴1的中点.（1）若𝑄为线段𝐴𝐶的中点，𝐻为𝐵𝑄中点，延长𝐴𝐻交𝐵𝐶于𝐷，求证：𝐴𝐷//平面𝐵1𝑃𝑄；（2）若二面角𝐵1−𝑃𝑄−𝐶1的平面角的余弦值为√1313，求点𝑃到平面𝐵𝑄𝐵1的距离.27．如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，底面𝐴𝐵𝐶𝐷为梯形，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐵𝐴𝐷=60∘，𝑃𝐷=𝐴𝐷=𝐴𝐵=2，𝐶𝐷=4，𝐸为𝑃𝐶的中点．（1）证明：𝐵𝐸∥平面𝑃𝐴𝐷；（2）求三棱锥𝐸−𝑃𝐵𝐷的体积．答案第1页，总19页参考答案1．D【解析】【分析】对各个选项逐一进行分析即可【详解】𝐴，若𝛼⊥𝛽，𝑚⊥𝛽，则有可能𝑚⊂𝛼，故𝐴错误𝐵，若𝛼⊥𝛽，𝑚⊂𝛼，则𝑚与𝛽不一定垂直，可能相交或平行，故𝐵错误𝐶，若𝑚//𝛼，𝑚//𝛽则推不出𝛼//𝛽，面面平行需要在一个面内找出两条相交线与另一个平面平行，故𝐶错误𝐷，若𝛼//𝛽，𝑚⊂𝛼，则有𝑚//𝛽，故𝐷正确故选𝐷【点睛】本题考查了线面平行与面面平行的判断和性质，在对其判定时需要运用其平行的判定定理或者性质定理，所以要对课本知识掌握牢固，从而判断结果2．B【解析】直线1l关于直线yx对称的直线，即是交换,xy位置所得，即2:3lxay，23,ll相互垂直，故斜率乘积1111,22aa.点睛:本题主要考查了直线关于直线yx对称直线的方程，考查了直线与直线垂直的概念与运用.点,xy关于直线yx的对称点为,yx，故1:3lyax关于yx对称的直线即是交换,xy的位置得到，也即2:3lxay，再根据23,ll相互垂直，故斜率乘积为1可求得a的值.3．D【解析】分析：根据线面垂直的判定定理求解即可.详解：A.𝑚//𝛼，𝑛//𝛽，此时𝛼，𝛽两平面可以平行，故错误；B.𝑚⊥𝛼，𝑛//𝛽，此时𝛼，𝛽两平面可以平行，故错误；C.𝑚//𝛼，𝑛⊥𝛽，此时𝛼，𝛽两平面仍可以平行，故错误，故综合的选D.点睛：考查线面垂直的判定，对答案对角度，多立体的想象摆放图形是解题关键，属于中档题.答案第2页，总19页4．B【解析】分析：由题意和线面垂直，平行的定义，对答案逐一验证，即可找出答案．详解：①．由面面平行的性质可知，𝛼∥𝛽，𝛼∥𝛾，则𝛽∥𝛾，故①正确；②．若𝛼⊥𝛽，𝑚∥𝛼，则𝑚∥𝛽或𝑚与𝛽相交，故②错误；③．若𝑚∥𝛽，则存在𝑚′⊂𝛽，且𝑚′∥𝑚，又𝑚⊥𝛼，得𝑚′⊥𝛼，所以𝛼⊥𝛽，故③正确；④．若𝑚∥𝑛，𝑛∥𝛼，则𝑚⊂𝛼或𝑚∥𝛼，故④错误．故选B．点睛：本题考查了线面垂直和平行的关系，对判定定理的熟悉是解题关键，属于中档题．5．C【解析】【分析】在棱长为2的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴1𝐵1的中点是𝑃，过点𝐴1作与截面𝑃𝐵𝐶1平行的截面，则该截面是一个对角线分别为正方体体对角线和面对角线的菱形，进而得到答案【详解】在棱长为2的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴1𝐵1的中点是𝑃，过点𝐴1作与截面𝑃𝐵𝐶1平行的截面，则该截面是一个对角线分别为正方体体对角线和面对角线的菱形，如下图所示：则𝐸𝐹=2√2，𝐴1𝐶=2√3，𝐸𝐹⊥𝐴1𝐶则截面的面积𝑆=12𝐸𝐹⋅𝐴1𝐶=2√6故选𝐶【点睛】本题主要考查的知识点是空间立体几何中截面的形状的判断，面面平行性质，四棱柱的结构特征，解答本题的关键是画出截面，并分析其几何特征，属于中档题。答案第3页，总19页6．D【解析】四边形有可能是空间四边形,故A选项错误.如果点在直线上,就不能确定一个平面,故B选项错误.如果三个点在同一条直线上,则无法确定一个平面,故C选学校错误.综上所述,D选项正确.7．C【解析】如图所示，延长AD到H，使ADDH，过P作PGAHPGAH，，F为PG的中点，连接BF，FH，BH，则BFH为异面直线BE与PD所成的角或者补角，在BFH中，由余弦定理得1392013cos392133BFH，故选C．点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．8．B【解析】【分析】作出异面直线所成的角，然后求解即可．【详解】答