《平面向量》章末复习(创新设计)

知识网络知识网络要点归纳第二章平面向量题型研修高中数学·必修4·北师大版章末复习知识网络知识网络要点归纳第二章平面向量题型研修要点归纳知识网络要点归纳第二章平面向量题型研修1．平面向量的基本概念主要应掌握向量的概念、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念，这些概念是考试的热点，一般都是以选择题或填空题出现，尤其是单位向量常与向量的平行与垂直的坐标形式结合考查，往往一些学生只求出一个而遗漏另一个．要点归纳知识网络要点归纳第二章平面向量题型研修2．向量的线性运算主要应掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则，甚至推广到向量加法的多边形法则；掌握向量减法的三角形法则；数乘向量运算的性质和法则及运算律．同时要灵活运用这些知识解决三点共线、两线段相等及两直线平行等问题．要点归纳知识网络要点归纳第二章平面向量题型研修3．向量的坐标运算主要应掌握向量坐标运算的法则、公式进行向量加、减与数乘运算；能用向量共线的坐标表示证明两向量平行或证明三点共线；能用平面向量基本定理和基底表示平面内任意一个向量．要点归纳知识网络要点归纳第二章平面向量题型研修4．平面向量的数量积平面向量的数量积是向量的核心内容，主要应掌握向量的数量积的定义、法则和公式进行相关运算，特别是向量的模、夹角、平行与垂直等运算；能用向量数量积的坐标形式求向量的模、夹角，证明向量平行或垂直，能解答有关综合问题．要点归纳知识网络要点归纳第二章平面向量题型研修5．平面向量的应用一是要掌握平面几何中的向量方法，能用向量证明一些平面几何问题、能用向量求解一些解析几何问题；二是能用向量解决一些物理问题，如力、位移、速度等问题．题型研修知识网络要点归纳第二章平面向量题型研修题型一向量的共线问题运用向量平行(共线)证明常用的结论有：(1)向量a、b(a≠0)共线⇔存在唯一实数λ，使b＝λa；(2)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0；(3)向量a与b共线⇔|a·b|＝|a||b|；(4)向量a与b共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0.判断两向量所在的直线共线时，除满足定理的要求外，还应说明此两直线有公共点．题型研修知识网络要点归纳第二章平面向量题型研修例1设坐标平面上有三点A、B、C，i、j分别是坐标平面上x轴，y轴正方向的单位向量，若向量AB→＝i－2j，BC→＝i＋mj，那么是否存在实数m，使A、B、C三点共线．解法一假设满足条件的m存在，由A、B、C三点共线，即AB→∥BC→，∴存在实数λ，使AB→＝λBC→，i－2j＝λ(i＋mj)，λ＝1，λm＝－2，∴m＝－2，∴当m＝－2时，A、B、C三点共线．题型研修知识网络要点归纳第二章平面向量题型研修法二假设满足条件的m存在，根据题意可知：i＝(1,0)，j＝(0,1)，∴AB→＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，BC→＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)，由A、B、C三点共线，即AB→∥BC→，故1·m－1·(－2)＝0，解得m＝－2，∴当m＝－2时，A、B、C三点共线．题型研修知识网络要点归纳第二章平面向量题型研修跟踪演练1如图所示，在△ABC中，AN→＝13NC→，P是BN上的一点，若AP→＝mAB→＋211AC→，则实数m的值为________．答案311解析设BP→＝λBN→，则BP→＝BA→＋AP→＝－AB→＋mAB→＋211AC→题型研修知识网络要点归纳第二章平面向量题型研修＝(m－1)AB→＋211AC→.BN→＝BA→＋AN→＝－AB→＋14AC→.∵BP→与BN→共线，∴14(m－1)＋211＝0，∴m＝311.题型研修知识网络要点归纳第二章平面向量题型研修题型二向量的夹角及垂直问题1．求两个向量的夹角主要利用两个公式：(1)cosθ＝a·b|a||b|，求解的前提是：求出这两个向量的数量积和模．(2)cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22，求解的前提是：可以求出两个向量的坐标．题型研修知识网络要点归纳第二章平面向量题型研修2．解决垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一样，若向量能用坐标表示，将它转化为“x1x2＋y1y2＝0”较为简单．3．用向量方法解决平面几何中的夹角与垂直问题的关键在于：选用适当向量为基底，把所要研究的问题转化为两向量的夹角与垂直问题，再利用向量知识求角．题型研修知识网络要点归纳第二章平面向量题型研修例2已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．(1)求证：AB⊥AD；(2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．(1)证明∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴AB→＝(1,1)，AD→＝(－3,3)．∵AB→·AD→＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB→⊥AD→，即AB⊥AD.题型研修知识网络要点归纳第二章平面向量题型研修(2)解∵AB→⊥AD→，四边形ABCD为矩形，∴AB→＝DC→.设C点坐标为(x，y)，则DC→＝(x＋1，y－4)，∴x＋1＝1，y－4＝1.解得x＝0，y＝5.∴点C坐标为(0,5)．从而AC→＝(－2,4)，BD→＝(－4,2)，且|AC→|＝25，|BD→|＝25，AC→·BD→＝8＋8＝16，题型研修知识网络要点归纳第二章平面向量题型研修设AC→与BD→的夹角为θ，则cosθ＝AC→·BD→|AC→|·|BD→|＝1620＝45.∴矩形ABCD的两条对角线所夹锐角的余弦值为45.题型研修知识网络要点归纳第二章平面向量题型研修跟踪演练2已知向量OB→＝(2,0)，OC→＝(2,2)，CA→＝(2cosα，2sinα)，则OA→与OB→夹角的范围是()A.0，π4B.π4，5π12C.π12，5π12D.5π12，π2答案C题型研修知识网络要点归纳第二章平面向量题型研修解析建立如图所示的直角坐标系．∵OC→＝(2,2)，OB→＝(2,0)，CA→＝(2cosα，2sinα)，∴点A的轨迹是以C(2,2)为圆心，2为半径的圆．题型研修知识网络要点归纳第二章平面向量题型研修过原点O作此圆的切线，切点分别为M，N，连接CM、CN，如图所示，则向量OA→与OB→的夹角范围是∠MOB≤〈OA→，OB→〉≤∠NOB.∵|OC→|＝22，∴|CM→|＝|CN→|＝12|OC→|，知∠COM＝∠CON＝π6，但∠COB＝π4.∴∠MOB＝π12，∠NOB＝5π12，故π12≤〈OA→，OB→〉≤5π12.题型研修知识网络要点归纳第二章平面向量题型研修题型三向量的长度(模)与距离的问题向量的模不仅是研究向量的一个重要量，而且是利用向量的方法解决几何问题的一个交汇点．一般地，求向量的模主要利用公式|a|2＝a2，将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和运算性质进行展开、合并，使问题得以解决，或利用公式|a|＝x2＋y2，将它转化为实数问题，使问题得以解决．题型研修知识网络要点归纳第二章平面向量题型研修例3设|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值．解法一∵|3a－2b|＝3，∴9a2－12a·b＋4b2＝9.又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝13.∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2＝9＋6×13＋1＝12.∴|3a＋b|＝23.题型研修知识网络要点归纳第二章平面向量题型研修法二设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．∵|a|＝|b|＝1，∴x21＋y21＝x22＋y22＝1.∵3a－2b＝(3x1－2x2,3y1－2y2)，∴|3a－2b|＝3x1－2x22＋3y1－2y22＝3.∴x1x2＋y1y2＝13.∴|3a＋b|＝3x1＋x22＋3y1＋y22＝9＋1＋6×13＝23.题型研修知识网络要点归纳第二章平面向量题型研修跟踪演练3设0|a|≤2，f(x)＝cos2x－|a|sinx－|b|的最大值为0，最小值为－4，且a与b的夹角为45°，求|a＋b|.解f(x)＝1－sin2x－|a|sinx－|b|＝－sinx＋|a|22＋|a|24－|b|＋1.∵0|a|≤2，∴当sinx＝－|a|2时，|a|24－|b|＋1＝0；当sinx＝1时，－|a|－|b|＝－4.题型研修知识网络要点归纳第二章平面向量题型研修由|a|24－|b|＋1＝0，－|a|－|b|＝－4得|a|＝2，|b|＝2.∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2×2×2cos45°＋22＝8＋42，∴|a＋b|＝8＋42＝22＋2.题型研修知识网络要点归纳第二章平面向量题型研修1．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题．2．向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．知识网络知识网络要点归纳第二章平面向量题型研修再见