概率与统计专题19题练习含答案

1．基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验．某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：月份2017.82017.92017.102017.112017.122018.1月份代码x123456市场占有率%y111316152021（1）请在给出的坐标纸中作出散点图，并用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系；（2）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2018年2月份的市场占有率；（3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的A，B两款车型报废年限各不相同．考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据．如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？参考数据：62117.5iixx，6135iiixxyy，133036.5．参考公式：相关系数12211niiinniiiixxyyrxxyy；回归直线方程为ˆˆˆybxa，其中121ˆniiiniixxyybxx，ˆˆaybx．1．【答案】（1）见解析；（2）ˆ29yx，23%；（3）见解析．【解析】（1）散点图如图所示：···········1分111316152021166y，∴62176iiyy，∴12211niiinniiiixxyyrxxyy3535350.9636.517.5761330，所以两变量之间具有较强的线性相关关系，···········3分故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．（2）12131ˆ527.5niiiniixxyybxx，···········4分又1234563.56x，∴16ˆ59ˆ23.aybx，···········5分∴回归直线方程为ˆ29yx．···········6分2018年2月的月份代码7x，∴27923y，所以估计2018年2月的市场占有率为23%．···········7分（3）用频率估计概率，A款单车的利润X的分布列为：∴5000.100.35000.410000.2350EX（元）．···········9分B款单车的利润Y的分布列为：∴3000.152000.47000.3512000.1400EY（元）．······11分以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择B款车型．········12分18.2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占23，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额．（1）完成22列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男55女合计（2）若将频率视为概率，现再从该校一年级全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取1名学生，抽取5次，记被抽取的5名学生中对冰球有兴趣的人数为x，若每次抽取的结果是相互独立的，求x的分布列，期望和方差．附表：20()PKk0.1500.1000.0500.0250.0100k2.0722.7063.8415.0246.63522()()()()()nadbcKabcdacbd18.解：（1）根据已知数据得到如下列联表有兴趣没有兴趣合计男451055女301545合计7525100根据列联表中的数据，得到所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”。（2）由列联表中数据可知，对冰球有兴趣的学生频率是43，将频率视为概率，即从大一学生中抽取一名学生对冰球有兴趣的概率是43，由题意知），（435~BX，从而X的分布列为X012345P10241102415102490102427010244051024243415435)(npXE，3315()(1)5(1)4416DXnpp.18．中华民族是一个传统文化丰富多彩的民族，各民族有许多优良的传统习俗，如过大年吃饺子，元宵节吃汤圆，端午节吃粽子，中秋节吃月饼等等，让人们感受到浓浓的节目味道，某家庭过大年时包有大小和外观完全相同的肉馅饺子、蛋馅饺子和素馅饺子，一家4口人围坐在桌旁吃年夜饭，当晚该家庭吃饺子时每盘中混放8个饺子，其中肉馅饺子4个，蛋馅饺子和素馅饺子各2个，若在桌上上一盘饺子大家共同吃，记每个人第1次夹起的饺子中肉馅饺子的个数为X，若每个人各上一盘饺子，记4个人中第1次夹起的是肉馅饺子的人数为Y，假设每个人都吃饺子，且每人每次都是随机地从盘中夹起饺子．（1）求随机变量X的分布列；（2）若X,Y的数学期望分别记为EX、EY，求EXEY．18．【答案】（1）见解析；（2）4．【解析】（1）随机变量X的可取值为0，1，2，3，4···········1分044448CC10C70pX；···········2分134448CC1681C7035PX；···········3分224448CC36182C7035PX；···········4分314448CC1683C7035PX；·········5分404448CC14C70pX．···········6分故随机变量X的分布列为:X01234P1708351835835170···········7分（2）随机变量X服从超几何分布：4428Ex，···········9分随机变量14,2YB，1422EY．···········11分224EXEY．···········12分19.（12分）一只药用昆虫的产卵数y（单位：个）与一定范围内的温度x（单位：℃）有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表所示.经计算得26666111111=26,33,55766iiiiiiiiiixxyyxxxyyxx，84，6213930iiyy，线性回归模型的残差平方和621236.64,iiiyy8.06053167e，其中,iixy分别为观测数据中的温度和产卵数，1,2,3,4,5,6.i（1）若用线性回归模型，求yx与的回归方程ybxa（结果精确到0.1）.（2）若用非线性回归模型预测当温度为35℃时，该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.附：一组数据1122,,,,,,nnxyxyxy，其回归直线ybxa的斜率和截距的最小二乘估计分别为2121122111,;1nniiiiinniiixxyyyybaybxRxxyy.18．高二某班共有20名男生，在一次体检中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm）的茎叶图如下：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm的7名男生中随机选出2名男生参加篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于)180,170[（单位：cm）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于)180,175[（单位：cm）的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.18．(1)第一组学生身高的中位数为1742176172，第二组学生身高的中位数为5.1742175174；（2）记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件A，761)(2723CCAP，∴这2名男生至少有1人来自第二组的概率为76；（3）X的所有可能取值是0，1，2，3101)0(23252223CCCCXP，52)1(23251223221213CCCCCCCXP，3013)2(23251213122222CCCCCCCXP，151)3(23251222CCCCXPX的分布列为X0123P1015230131511522151330132521)(XE.19.某大型商场去年国庆期间累计生成万张购物单，从中随机抽出张，对每单消费金额进行统计得到下表：消费金额（单位：元）购物单张数25253021000,200200,400400,600600,800800,1000由于工作人员失误，后两栏数据无法辨识，但当时记录表明，根据由以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等.用频率估计概率，完成下列问题：（1）估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费额超过元的概率；（2）为鼓励顾客消费，该商场计划在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过元者，可抽奖一次.抽奖规则为：从装有大小材质完全相同的个红球和个黑球的不透明口袋中，随机摸出个小球，并记录两种颜色小球的数量差的绝对值，当时，消费者可分别获得价值元、元和元的购物券.求参与抽奖的消费者获得购物券的价值的数学期望.19.解：（1）因消费额在区间的频率为，故中位数估计值为.设所求概率为，而消费额在的概率为.故消费额在区间内的概率为.因此消费额的平均值可估计为.令其与中位数相等，解得.（2）根据题意，，.设抽奖顾客获得的购物券价值为，则的分布列为420500200100故（元）.19.某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70800600554X4,2,0X5002001000,4000.5400p0,6000.8600,8000.2p1000.253000.255000.37000.2900pp4000.05p44554101412CCPXC1331555541010221CCCCPXC225541010021CCPXCYYXYP12110211021110105005002001002121213EY小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y（百斤）与使用某种液体肥料x（千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算相关系数r并加以说明（精确到0.01）；（若||0.75r，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制，并有如表关系：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：相关系数公式12211()()()()niiinniiiixxyyrxxyy，参考数据0.30.55，0.90.95．19.解：（1）由已知数据可得2456855x，3444545y，因为51()()(