数学建模结业论文

-1-论文标题:客观、合理的评价学生学习状况的数学模型摘要测试成绩对于学生、教师和教育管理者都很重要。以测试成绩的高低来评价一个学生的学习优劣是传统教育中的一种重要手段。但是，由于现行的评价方式单纯的根据“绝对分数”评价学生的学习状况，忽略了基础条件的差异以及测试成绩本身的局限性，只对基础条件较好的学生起到促进作用，对基础条件相对薄弱的学生很难起到鼓励作用，因此，我那需要建立一种更合理，科学的评价学生学习状况的体系。基于以上考虑，本文试图通过以下几个方面的建模来达到目的：问题一：学生成绩整体情况评价：我认为学生的整体情况包括每个学期整体的平均成绩、及格率、最高分、最低分、方差、标准差等多项指标有关，通过对所给数据的计算，并结全图表，我对学生的整体情况进行全面、直观的说明，得出学生的整体情况为：四个学期的成绩主要分布在60—90分之间，76%同学成绩均在良好分数线以内，及格率也始终保持在90%以上，整体成绩良好。问题二：对于全面、客观、合理的评价学生的学习状况，我采用了二个模型：利用方差控制第i个学生每学期成绩与总体成绩相比的进步成绩来建立模型Zi=jp,1+jp,2+jp,3+5问题三：我采用了一个模型来预测学生后两个学期的学习情况多元线性回归预测模型：分析了四个学期数据的相关性，证明可以运用多元线性回归模型预测，并得到有较好精度的数据。关键词：平均值方差成绩标准化有效成绩多元线性回归-2-1.问题的重述学生的学习状况是体现学生的学习能力和评价学校教学质量的一个重要指标，因此客观、合理的评价学生学习状况建立一种科学的评价方法是十分重要的。目前，世界上通用两种评分制度，一种是原始分制度，一种是标准分制度。通过评价学生学习状况可以激励优秀学生努力学习取得更好的成绩，同时鼓励基础相对薄弱的学生树立信心，不断进步。然而，现行的评价方式单纯的根据“绝对分数”评价学生的学习状况，忽略了学生自身基础条件的差异；只对基础条件较好的学生起到促进作用，对基础条件相对薄弱的学生很难起到鼓励作用。所以简单的通过分数来评价学生的学习状况是不合理的。因此，建立合理的数学模型来解决这类问题是势在必行的，根据题意，本文要解决的问题有：1.请根据附件数据，对612个学生的整体情况进行分析说明；2.请根据附件数据，采用两种及以上合理的数学模型，全面、客观、合理的评价这些学生的学习状况；3.试根据不同的评价模型，预测这些学生后两个学期的学习情况。2.问题的假设和符号设定2.1.问题的假设1．假设影响学生成绩的因素主要有真实成绩与进步程度；2．假设附件数据中的两个零是由特殊情况所致；3.假设附件中所给数据为学生真实考试成绩；2.2.符号的设定nx=学生第n学期的成绩4,3,2,1n-3-nx=学生每学期的进步程度7,6,5njiT,=表示第i个学生第j学期与第1j学期的成绩差jip,=表示第i个学生第j学期与所有同学相比的进步成绩Zi=学生i的综合评定指数ic=第i个学生的四个学期成绩的方差ijS=表示第i个学生第j学期的成绩3.模型的准备为了方便建模，我需要把表格里的统计数据用方程模拟出来，我采用excel作出各表的散点图，并且模拟出对应的方程学生成绩总体分析表第一学期第二学期第三学期第四学期平均分72.5526511874.3735458973.1702586175.06303876最高分89.4590.8518518590.6158490689.625最低分24.34375016.250极差65.1062590.8518518574.3658490689.625中位数74.3163265376.6360389674.1921052676.53886364总分44402.2225345516.61044780.19845938.580方差90.25104542112.305171581.23838736104.9048095标准差9.50005502210.597413439.01323401210.24230489偏度-1.236-1.919-1.944-2.928优秀人数139207131194良好人数275246303287合格人数139109143105不及格人数59503526及格人数553562577586及格率90.36%91.83%94.28%95.75%-4-图1每个学期的成绩分布饼图图3图4第一学期成绩分布图优秀（=80）23%良好(70-80)44%合格(60-70)23%不及格(60)10%优秀（=80）良好(70-80)合格(60-70)不及格(60)第二学期成绩分布图优秀（=80）34%良好(70-80)40%合格(60-70)18%不及格(60)8%优秀（=80）良好(70-80)合格(60-70)不及格(60)第三学期成绩分布图优秀（=80）21%良好(70-80)50%合格(60-70)23%不及格(60)6%优秀（=80）良好(70-80)合格(60-70)不及格(60)第四学期成绩分布图优秀（=80）32%良好(70-80)47%合格(60-70)17%不及格(60)4%优秀（=80）良好(70-80)合格(60-70)不及格(60)-5-图2原始数据的频次直方图学期1学期2学期3学期4学期11.0000.76420.71120.6200学期20.76421.0000.68770.6511学期30.71120.68771.0000.7745学期40.62000.65110.77451.000表2-6-学生序号第5学期成绩第6学期成绩177.87179.008277.91578.552371.63773.403480.73681.620582.47383.219675.49676.557···················60982.08182.97261081.61182.07761184.25285.00861274.80576.412表3图5：未剔除数据前的多元线性回归预测的残差图-7-图6：剔除部分波动较大的数据之后的多元线性回归残差图第5学期第6学期平均分77.19578.389最高分87.95787.944最低分29.67336.781极差58.28451.163中位数77.62178.845总分45158.86845857.280方差41.51332.166标准差6.4435.672偏度-0.4356-0.3725表44.模型建立4.1.问题一：学生成绩总体分析首先，利用附件所提供的数据进行统计分析，得到了学生成绩总体分布的情况。再运用Excel来对这些数据进行加工处理与计算，可知612名学生的四个学期的成绩数据都完好。数据处理时把成绩分为四个等级，80分及以上的为优秀，70分到80分之间的为良好，60分到70分之间的为合格，小于60分的为不及格。则从处理结果可以看出，四个学期的学习成绩总体良好，每学期都约有接近50%的学生成绩为良好，每学期的及格率都在90%以上，平均成绩也均在73分左右，中位数均在75分左右，最高分也都在90分左右。利用Excel对所给学生的成绩进行数据分析与计算得到的“学生成绩总体分析表”通过“学生成绩总体分析表”偏度值均为负值说明该分布为非正态分布并且偏度绝对值越来越大，说明偏离正态分布越严重，一方面表明评价体系难度减弱，另一方面还可能由于学生的整体水平的上升而导致的。峰度值均为正值，同时随着学期的增长越来越大，-8-说明其尾部越来越粗，表明学生在高成绩部分分布数量增多。同时我还可以得出以下结论：（1）、四个学期的总平均成绩为73.5左右，学生的总体学习情况良好。（2）、四个学期中，学生的及格率都在90%以上，说明大部分学生都能够投入学习当中；另一方面，学生的及格率不断增大。（3）、四个学期的平均分存在微小的差异，第一、第三学期的成绩分布比较集中，而第二、第四学期相对比较分散。再由“学生成绩总体分析表”在Excel中可以绘制出每个学期的成绩分布饼图，如图1所示由图1可知，四个学期的90分以上所占总人数的比率非常小，说明学校应该加大对优秀学生的培养；四个学期中，均有部分学生成绩在60分以下，需要学校对这部分学生进行基础培养，以在后两学期内提高成绩。四个学期的成绩主要分布在60—90分之间，76%同学成绩均在良好分数线以内，及格率也始终保持在90%以上，整体成绩良好。这四学期的学习总体情况为：第四学期较前三个学期低分人数过多，但分布较为均衡，第二、第三学期成绩连续性较好。第一学期和第三学期学生成绩整体波动较小，而第二学期和第四学期学生成绩整体波动较大。同时，我还对原始成绩分布进行频次分析，如图2中直方图所示。其中实线表示正态分布曲线。容易看出，图1中四个学期的成绩频次直方图均明显偏离正态分布曲线，同时结合表一结论可以知道，四个学期的成绩数据分布呈现绩负偏态分布，而非平常我所认为的正态分布。4.2.问题二利用模型公式Zi=jp,1+jp,2+jp,3+5计算每人综合评定指数当Zi0时，则说明该同学学习状况较好当Zi=0时，则说明该同学学习状况一般当Zi0时，则说明该同学学习状况较差4.3.问题三：预测学生后两学期的学习状况模型一：多元线性回归法预测模型先算得四个学期的成绩之间的相关系数如表2所示由表2数据可发现，相关系数均大于0.5，说明不同学期之间的成绩具有高相关度，说明可以进行线性回归预测。假设同学成绩无太大的波动性，波动范围合理。记,ijx为第i个学生第j学期的预测成绩，建立如下多元线性回归方程：000,,1,2,3ijijijijxaxbxcxd利用附件提供的前三个学期的成绩，可以算得第四个学期的成绩的预测值，所以，用最小二乘拟合求解系数a,b,c,d.。再分别取j=5和j=6，就可以预测算得第5，6学期的学生成绩。运用MATLAB软件对这些数据进行分析系数的求解(程序见附件),所得回归方程为-9-000,,1,2,20.6961*0.2068*0.0225*7.119ijijijijxxxx从上式可发现，系数值依次递减，说明第4学期的成绩受第3学期影响最大，随时间差的增大，影响力减小。图4给出了采用前三学期原始成绩预测的第四学期成绩的残差，可见大部分预测值与真实值之间的偏差小于10分，只是对于极少部分成绩较差的学生预测的偏差还较大，因为这部分同学的成绩波动较大，不能按照线性回归来预测其成绩。为了更精确的预测学生成绩，我剔除一些成绩波动较大的学生的成绩，然后再次进行多元线性回归预测。如成绩变化太过悬殊及出现成绩为0的都先不考虑。最终我剔除了序号为8，11，26，43，62，67，90，121，181，231，249，264，267，273，288，301，307，466，491，536，557，565这些同学的成绩数据，再求解线性回归方程的系数，求得的多元线性回归方程如下并得残差分析图6：（求解的程序见附件）000,,1,2,20.6205*0.2164*0.0034*14.2833ijijijijxxxx运用此式可以计算出第5，6学期的学生成绩，如表3由图6可以明显发现预测值与真实值之间的偏差几乎都小于10分，没有波动很大的成绩出现，说明该线性回归的精度在一定程度上满足要求。由下表的数据，可看出学生总体的成绩是在不断提高的，成绩为优秀和良好的同学占得比例越来越大，同时不及格的同学正在逐渐减少，学生总体的学习状况良好。5.模型求解5.1.问题一612名学生的四个学期的成绩数据都完好。数据处理时把成绩分为四个等级，80分及以上的为优秀，70分到80分之间的为良好，60分到70分之间的为合格，小于60分的为不及格。则从处理结果可以看出，四个学期的学习成绩总体良好，每学期都约有接近50%的学生成绩为良好，每学期的及格率都在90%以上，平均成绩也均在73分左右，中位数均在75分左右，最高分也都在90分左右。5.2.问题二根据模型计算由表中数据绘出簇装条形图（图3）其中学习状况较好的同学421人