数学建模一周论文

数学建模一周论文论文题目：停车场问题姓名1：罗自民学号：09111717姓名2：徐万宝学号：09111720姓名3：张云学号：09111728专业：软件工程班级：091117指导教师：王兵贤2011年6月18日二、问题的重述在NewEngland的一个镇上，有一位于街角处面积100200平方英尺的停车场，场主请你代为设计停车车位的安排方式，即设计在场地上划线的方案。容易理解，如果将汽车按照与停车线构成直角的方向，一辆紧挨一辆地排列成行，则可以在停车场内塞进最大数量的汽车，但是对于那些缺乏经验的司机来说，按照这种方式停靠车辆是有困难的，它可能造成昂贵的保险费用支出。为了减少因停车造成意外损失的可能性，场主可能不得不雇佣一些技术熟练的司机专门停车；另一方面，如果从通道进入停车位有一个足够大的转弯半径，那么，看来大多数的司机都可以毫无困难地一次停车到位。当然通道越宽，场内所容纳的车辆数目也越少，这将使得场主减少收入。我们先来看看生活中非货运车辆大小的种类。根据实际调查和经验数据，这类车辆一般可分为小轿车，中型客车和大型客车三类。其中小轿车约占九成，大型客车约占一成，而中型客车一般不多于1%。根据这样的情况，我们可以免去对中型客车的车位设计，即便有中型客车停车的需要，可以使用大型车的车位，这也符合现实生活中绝大多数停车场的车位设计情况。我们设小轿车所占的比例为0.9,大型客车所占的比例为10.1，当然现实中也有不少全为小轿车设计的停车场，例如小区的地下车库。再来看看车位的大小。根据实际的调查，城市内比较普通的小轿车长度一般不超过4.7米，宽度一般不超过1.7米，而一般大型客车长度不超过12米，宽度不超过2.2米。另外，经实际考察可知，停车场中标志线的宽度大约为0.1米，所以我们可以假设停车场中停放轿车需要的车位长5LC米，宽2.5WC米，这其中包括了0.1米的标志线宽度和至少0.3米的汽车间的横向间距。设停放大客车需要长12.5LB米，宽3WB米，其中包括0.1米的标志线宽度和必要的汽车之间的横向间距。考虑到汽车从通车道驶入车位一般得转弯，所以车辆的最小转弯半径也是停车场设计所要考虑的重要参数。所谓最小转弯半径，就是汽车转弯时转向中心到汽车外侧转向车轮轨迹间的最小距离。根据实际调查，可设小轿车的最小转弯半径为15.5C米，与此同时，汽车转弯时转向中心到汽车内侧转向车轮轨迹间的最小距离为211.73.8CC米，如图1所示。对于大客车，我们设其最小转弯半径为110B米，与此同时，大型车转弯时转向中心到内侧转向车轮轨迹间的最小距离为212.27.8BB米。本文的目的就是讨论应当整体设计车位的排布。对于给定的停车场，我们的目标就是尽可能多地增加车位数，或者说，使每辆车占据的停车场面积尽可能小。一仅有一种车型的局部车位位置大型客车和小轿车在停车时占地面积相差很大，一般都是分区停泊的。现在，让我们先来看看只限于停放小轿车的简单情况，并且先不考虑停车场的实际大小，只是来研究一下应当如何给出局部设计，才能使每辆车占据的停车场地面积最小。对于每一个车位，为了便于该车位上的小轿车自由进出，必须有一条边是靠通道的，设该矩形停车位的长边与通道的夹角为(0)2，其中2便是车辆垂直从通道驶入车位，0就是车辆从通道平行驶入车位，即平时所说的平行泊车。为了留出通道空间和减少停车面积，显然，我们可以假设该通道中的所有车位都保持着和该车位相同的角度平行排列，如图2所示。1C2C图1上图中，小轿车是自东向西行驶顺时针转弯角度驶入车位的。我们来具体研究一下小轿车驶入车位的情况，见图3，其中1C为最小转弯半径，R为通道的最小宽度。我们假定小轿车的最外端在半径为1C的圆周上行驶，且此时轿车的最内端在半径为2C的圆周上随之移动，然后以角度进入停车位，所以通道的最小宽度12cosRCC。在保证车辆能够自由进出的前提下，本着要求通道宽度尽量小的原则，我们来看一下一排车位之间的各个数据，见图4。西东θ图21C2Cθ图3R每辆车均以角度停放，用W表示小轿车停车位宽度，L表示小轿车停车位长度（这里L的最上方并没有取到最上端是考虑到车身以外的小三角形区域可以留给对面停车位使用），oL表示停车位末端的距离，易见他们分别是停车角的函数，且有sinWCW1sincos2LWLCC01(cot)cos2LWLCC11cos2WLC现在按照图4所示，计算一下每辆车占据的停车场面积S.考虑最佳排列的极限情况，假设该排车位是无限长的，可以忽略该排车位两端停车位浪费掉的面积012LL，因为它们被平均到每个车位上去的公摊面积很小，可以不计。从车辆所占的停车位来看，它占据的面积为WL，另外，它所占的通道的面积为WR。考虑到通道对面（也就是图4的下部）也可以有类似的一排车位可以相互借用此通道，所以可以对占用的通道面积减半，于是我们得到：212coscos122sin2sin2sin（1）我们的目标就是求出S的最小值。将15.5C米，23.8C米，5LC米，2.5WC米代人（1）式，可得θLRLCWC0LW图46.8751.625cos12.5sinsinS，21.6256.875cossinS，所以当1.62513cos6.87555，即76.33时，S达到最小，且min19.18S平方米。需要说明的是，当0时车位与车道平行，此时每辆车都得采用平行泊车的方式进入车位，这是现实生活中马路边的停车位常见的情况，在一般的停车场中几乎很少看到。平行泊车对驾驶员的技术要求较高，所以我们不考虑这样的情况。事实上，即便要计算在这种情况下每单位车辆所占据的停车场面积S也不困难，只不过对于平行泊车，所要求的每个车位的长和宽不应再是上面所说的LC和WC，特别是停车位的长度LC将变得更长（否则，停泊的车辆将无法进出），其所要求的行车道的最小宽度也得足够大，以便能让泊车车辆通过，车位图形需按小轿车路线重新绘制，读者可以自行计算并得到这些数据，计算结果表明，平行泊车是每辆车所占的平均面积明显地大于19.18平方米。上述对车位的局部分析表明，当停车位与通道夹角76.33时，可以使每单位车辆占据停车场的面积达到最小。二仅有一种车型的全局车位排列上面的局部分析告诉我们，如果保持一排车位方向一致，且与单向通道的夹角为76.33，可使单位车辆占据的面积最小，此时宽度为R的单向通道分别提供给其两边的停车位使用。在通道两边都各安排一排小轿车车位时，考虑到路线的单行性质，通道两边的停车位角度应该相对，如图5所示。对每一排停车位，其一边为通道，另一边则可以是另一排停车位或者是停车场的边缘。所以停车排数CP最多只能是通道数IP的两倍，即：2CIPP（2）另一方面，如果按照一排停车位，一条通道，一排停车位这样三排一组的形式加以组合，依次排列，确实也可以达到2CIPP。即（2）式中的等号是可以成立的。此时，车位数可以达到停车位位置的最大值，排列情况同样可以见图5.图5显示，在每排车位数相当大或者说，在不考虑整个停车场四角浪费的那些面积时，我们可以使每单位车辆占用的停车场面积最小，并且对于小轿车来说，此最小值在车位角度76.33时达到。我们再来计算一下停泊车辆均为大型客车时的最佳角度，将模型（1）修改为：212coscos2sin2sin2sin（3）并且将相应数据代人（3）得到：157.2cos37.5sinsinS，27.215cossinS取使0S，即7.2cos0.4815，求得当61.31，此时每单位大型客车占据的停车场面积最小，每辆车占据的面积为50.66S（平方米）。综上所述，对于只有一种车型的足够大的停车场，按照现有的车辆尺寸大小图5计算，我们将采用图5的排列方式设计停车位。对于小轿车，设计车位角度为76.33，单位车辆占据的停车场面积为19.18平方米。对于大型客车，设计的车位角度为61.31，单位车辆占据的停车场面积为50.66平方米。三两种车型的停车场设计的理想情况对于两种车型，即小轿车和大型客车同时存在的情况，如果对于足够大的停车场地，我们可以根据:(1)9:1的比例要求，计算出所需的小轿车车位排数和大型客车车位排数，以及每排的停车数目。根据第二部分的讨论，我们可以按一排停车位，一行通车道，一排停车位这样三排为一组的方式组合出停车场的结构，设小轿车有gC组，大型客车有gB组，每组的一排长度为G米。根据第一部分，对于小轿车的停车位置宽度2.52.573sinsin76.33WCW（米），而对于大型客车，其停车位置的宽度33.420sinsin61.31WBW（米）。所以，对于小轿车，每一组可以停放的车辆数目为22.537G，该停车场中总共可以停放22.537gCG辆小轿车，而对于大型客车，同样可以得总车位数为23.420gBG。根据22:9:12.5373.420ggCGBG的比例要求，我们可以得到:6.77:1ggCB。综上所述，对于足够大的停车场地，我们可以用一排停车位，一条通车道，一排停车位为一组的形式来平行设计车位，大体结构可参见图5.至于小轿车组和大型客车组的比例，可以按照近似于6.77：1的形式，例如，取近似值7：1，13：2，20：3,27：4，34：5等比例建造。四具体停车场车位设计上面我们讨论的都是理想情况，现实中很多停车场的占地面积并不一定很大，而且从图5的设计安排来看，理想情况下的每一组车位都必须为车辆能够自由进出而设置一个入口和一个出口，这样的设计既不经济也不安全。特别是对于某些收费的停车场或者要重点考虑安全设施的停车场，将不得不在众多的出入口设置收费点或关卡而增加成本，这显然不是最好的安排，那么对于一个具体形状和面积给定的停车场，我们将根据前面理想情况的讨论做出改进，以得到更合理的设计规划。图6为某公共场所附设的停车场，它是一个长90米，宽45米的矩形区域，该矩形区域的四个角落有照明灯设置，其占据矩形角上的形状为边长2.5米正方形，见图6的星号区域。区域南边，西边，北边是围墙，东边是马路，这是可以作为停车场出入口的唯一的一条边。根据对当地实际情况的调查，该停车场位设计应考虑5至6个大型客车车位，其余都作为小轿车车位设计。现在我们就按照上述要求来对这块停车场进行车位的具体安排。90米的停车场长边可以当作足够长的边来看待，我们将90米为一排来设计小轿车的车位，即每排车位与矩形的长边平行。在理想情况下，根据第一部分讨论可知，最佳设计下的车位长度为：1sincos5sin76.331.25cos76.335.1542LWLCC（米）停车场通道宽度为：12cos5.53.8cos76.334.602RCC（米），所以，理想情况下的一组（即两排车位中间加一条行通车道）的宽度约为：214.91LR（米）于是，45米宽可以考虑安置三组这样的车位，如图6的Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ。北455Ⅳ90图6在小轿车的总体布局确定下来后，我们再来具体确定大型客车的车位。考虑到大型车的转弯半径比较大，借用专门为小轿车车位设计的通道是肯定不行的。相对来说，大型客车停车位只占总停车位的很小一部分，在设计停车场的位置市，为了节省面积以增加车位数，应该将所有大客车位置放在一块，同样以矩形并排的形式放置。大客车在停车场中的停放方式也可以采用直角停放的停车方式，并按照其特殊的位置设置特殊宽度的通道。另外考虑到其进出上的困难情况，一般可安置在停车场的出口部分，例如，将其安排在东边靠马路处（注：东边临街，没有围墙），且垂直东边的马路横向占用小轿车的车位设置6个大型客车车位，大客车可直接由