大学数学习题十一答案

261阿习题十一1．设L为xOy面内直线x=a上的一段，证明：,d0LPxyx其中P(x,y)在L上连续．证：设L是直线x=a上由(a,b1)到(a,b2)这一段，则L：12xabtbyt，始点参数为t=b1，终点参数为t=b2故221d,dd0d0dbbLbbaPxyxPa,ttPa,ttt2．设L为xOy面内x轴上从点(a,0)到点(b,0)的一段直线，证明：,d0dbLaPxyxPx,x，其中P(x,y)在L上连续．证：L：0xxaxby，起点参数为x=a，终点参数为x=b．故,d,0dbLaPxyxPxx3．计算下列对坐标的曲线积分：(1)22dLxyx，其中L是抛物线y=x2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；(2)dLxyx其中L为圆周(x-a)2+y2=a2(a0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)；(3)ddLyxxy，其中L为圆周x=Rcost，y=Rsint上对应t从0到π2的一段弧；(4)22ddLxyxxyyxy，其中L为圆周x2+y2=a2(按逆时针方向绕行)；(5)2dddxxzyyz，其中Γ为曲线x=kθ，y=acosθ，z=asinθ上对应θ从0到π的一段弧；(6)322d3dxxzyxyz，其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线；(7)dddLxyyz，其中Γ为有向闭拆线ABCA，这里A，B，C依次为点（1,0,0），(0,1,0)，(0,0,1)；(8)222d2dLxxyxyxyy，其中L是抛物线y=x2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧．解：(1)L：y=x2，x从0变到2，26222222435001156dd3515Lxyxxxxxx(2)如图11-1所示，L=L1+L2．其中L1的参数方程为图11-1cos0πsinxaattyatL2的方程为y=0(0≤x≤2a)故12π200π320ππ322003ddd1+costsincosd0dsin1cosdsindsindsinπ2LLLaxyxxyxxyxaataattxatttatttta(3)π20π220π220ddsinsincoscosdcos2d1sin220LyxxyRtRtRtRttRttRt(4)圆周的参数方程为：x=acost，y=asint，t:0→2π．故222π202π220dd1cossinsincossincosd1d2πLxyxxyyxyatatatatatattaata263(5)2π220π3220π3320332dddsinsincoscosdd131ππ3xxzyyzkkaaaakakaka(6)直线Γ的参数方程是32xtytztt从1→0．故32203221031041d3dd27334292d87d1874874xxzyyxyzttttttttt(7)ABBCCA(如图11-2所示)图11-21:0yxABz，x从0→101ddd112ABxyyzdx．0:1xBCyz，z从0→12641010120ddd112d12232BCxyyzzdzzzzz0:1yCAzx，x从0→110ddd1001CAxyyzdx．故dddddd312122LABBCCAxyyzxyyz(8)221224211235412d2d222d224d1415Lxxyxyxyyxxxxxxxxxxxxx4．计算ddLxyxyxy，其中L是(1)抛物线y2=x上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；(2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段；(3)先沿直线从(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线；(4)曲线x=2t2+t+1,y=t2+1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧．解：(1)L：2xyyy，y：1→2，故2221232124321dd21d2d111232343Lxyxyxyyyyyyyyyyyyyy(2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x=3y-2，y：1→2265故2121221dd32332d104d5411Lxyxyxyyyyyyyyyy(3)设从点(1,1)到点(1,2)的线段为L1，从点(1,2)到(4,2)的线段为L2，则L=L1+L2．且L1：1xyy，y：1→2；L2：2xxy，x：1→4；故12122211dd101d1d212Lxyxyxyyyyyyyy24144211dd220d12d22272Lxyxyxyxxxxxx从而12dddd1271422LLLxyxyxyxyxyxy(4)易得起点(1,1)对应的参数t1=0，终点(4,2)对应的参数t2=1，故1220132014320dd32412d10592d10592432323Lxyxyxyttttttttttttttt5．设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由(a,0)沿椭圆移动到B(0,b)，求力所做的功．266解：依题意知F=kxi+kyj，且L：cossinxatyat，t：0→π2π2022π20π222022ddcossinsincosdsin2d2cos2222LWkxxkyykattkbtbttkbattkbatkba(其中k为比例系数)6．计算对坐标的曲线积分：(1)dLxyzz，Γ为x2+y2+z2=1与y=z相交的圆，方向按曲线依次经过第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ封限；(2)222222dddLyzxzxyxyz，Γ为x2+y2+z2=1在第Ⅰ封限部分的边界曲线，方向按曲线依次经过xOy平面部分，yOz平面部分和zOx平面部分．解:(1)Γ：2221xyzyz即2221xzyz其参数方程为：cos2sin22sin2xtytztt：0→2π故：2π02π2202π202π0222dcossinsincosd2222sincosd42sin2d1621cos4d1622π16xyzztttttttttttt(2)如图11-3所示．267图11-3Γ=Γ1+Γ2+Γ3．Γ1：cossin0xtytzt：0→π2，故1222222π2220π3320π320dddsinsincoscosdsincosd2sind24233yzxzxyxyztttttttttt又根据轮换对称性知1222222222222ddd3ddd4334yzxzxyxyzyzxzxyxyz7．应用格林公式计算下列积分：(1)dd24356xyxyxy，其中L为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界；(2)222ddcos2sinesin2exxLxyxyxxyxyxxy，其中L为正向星形线2223330xyaa；(3)3222dd2cos12sin3Lxyxyyxyxxy，其中L为抛物线2x=πy2上由点(0,0)到(π2,1)的一段弧；(4)22ddsinLxyxyxy，L是圆周22yxx上由点(0,0)到(1,1)的一段弧；(5)ddesinecosxxLxyymyym，其中m为常数，L为由点(a,0)到(0,0)经过圆268x2+y2=ax上半部分的路线（a为正数）．图11-4解：(1)L所围区域D如图11-4所示，P=2x-y+4，Q=3x+5y-6，3Qx，1Py，由格林公式得dd24356dd4dd4dd1432212LDDDxyxyxyQPxyxyxyxy(2)P=x2ycosx+2xysinx-y2ex，Q=x2sinx-2yex，则2cos2sin2exPxxxxyy，2cos2sin2exQxxxxyx．从而PQyx，由格林公式得．222ddcos2sinesin2edd0xxLDxyxyxxyxyxxyQPxyxy(3)如图11-5所示，记OA，AB，BO围成的区域为D．（其中BO=-L）图11-5P=2xy3-y2cosx，Q=1-2ysinx+3x2y2262cosPxyyxy，262cosQxyyxx269由格林公式有：dddd0LOAABDQPPxQyxyxy故π21220012202ddddddddππdd12sin3243d12π4π4LOAABOAABPxQyPxQyPxQyPxQyOxyyyyyy(4)L、AB、BO及D如图11-6所示．图11-6由格林公式有ddddLABBODQPPxQyxyxy而P=x2-y，Q=-(x+sin2y)．1Py，1Qx，即，0QPxy于是dddd0LABBOLABBOPxQyPxQy从而22222211220011300ddddsinddddsinsindd1sin131sin232471sin264LLBAOBPxQyxyxyxyxyxyxyxyxyxyyxxyxyy(5)L，OA如图11-7所示．270图11-7P=exsiny-my，Q=excosy-m，ecosxPymy，ecosxQyx由格林公式得：22dddddddd1π22π8LOADDDQPPxQyxyxymxymxyamma于是：220202πdddd8πd0esin00ecos08π0d8π8LOAaxxamaPxQyPxQymaxmmmaxma8．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：(1)星形线x=