数列逐字稿

数列的概念及表示张婧一．提纲：1.数列概念讲解2.知识点梳理+基础题目讲解3.思想方法总结+能力拓展4.考题讲解+巩固知识点二．教学过程：同学们大家好！在必修5的第二章中我们学习了数列的基本内容，了解了数列的基本概念和几种简单的表示方法，数列这部分内容在高考中也是重要的考点之一。我将带大家用5课时的时间把数列部分的所有内容整体复习一遍，希望大家在课堂上紧跟我的思路做好笔记。首先，让我们一起回忆一下在讲数列时我们都学习过哪些内容：数列的概念、表示方法、等差数列、等比数列、数列求和及一些常用的基本数列。很好，这样我们就有了一个基本的框架，这个框架的基础就是我们今天要复习的数列的基本概念及其表达。那么现在让我们一起想一下数列的概念是什么？【数列的概念】：数列是按一定次序排列的一列数。在函数意义下，数列是定义域为自然数集*N（或他的有限子集{1,2，……,n}）的函数)(nf。由数列的概念引出，我们再一起快速的回忆一下数列的其他基本内容。数列的分类，按项数是否有限来分：有穷数列、无穷数列。按项与项之间大小来分：递增数列、低减数列、摆动数列及常数列，递增数列递减数列又统称单调数列。按绝对值范围来分：有界数列、无界数列。回忆完分类后我们再想一下数列的几种表示方法:a.例举法：如：1、3、5、7…;b.图像法：用),(nan这些孤立点表示；c.解析法：用通项公式表示，如：12nan；d.递推法：一个数列的各项可由它的前n项值及它的相邻n项之间的关系来表示，如：)2(11,111naaann。其中后两种方法是解题时常用的，大家应重点掌握。学习过这些概念后，我们又学习了数列的通项公式，当我们提到一个具体的数列时最基本的方法就是给出它的通项公式，一个数列na的第n项na与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式)(nfan来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。我们在数列概念这一考点中接触的题目均要求我们要熟练掌握数列的通项公式，要学会从通项公式中判断出数列的性质或已知数列性质求数列的通向公式。这也是我们这节课复习的重点内容。现在来看三种求na的常见题型：1.已知nnaS求nS的定义是数列的前n项和，通常我们会直接想到它的最直接表示............321nnaaaaS，但这种表示对我们的解题帮助不是很大，通常我们会反向思考，想到公式1nnnSSa，这也是求通项na的一个主要方法。现在我们先来看这样一道例题，请大家自己动笔解答，然后把答案告诉我，【例题1】已知数列}{na的前n项和为1322nnSn，则它的通项公式na。现在请大家将得出的答案告诉我，我们判断一下哪个是正确答案2,541,054nnnorn。可以看出前一个答案并不严谨，后一个答案才是正确的。已知数列的前n项和公式，求数列的通项公式，我们通常用)2(1nSSannn。这里常常因为忽略了条件2n而出错，由该公式求出的通项是从2开始的自然数，n=1时是否符合该公式我们还需要进一步判断，只有当n=1时11Sa时na才是通项公式，否则就要用分段函数表达：2,1,11nSSnSannn。所以，大家在解如例1的题目时一定要记得判断n=1的具体情况，不要在这一点上失分。下面再看一道例题：【例2】如果数列{na}的前n项和323nnaS，那么这个数列的通项公式为（）A．)1(22nnanB.nna23C.13nanD.nna32解析：看到了这道题后大家首先想到了什么？应该通过已知条件找一下nnaS&的关系，但题中在一个式子中同时给出了nS和na，那怎样解出na呢。想到公式1nnnSSa，然后怎样带入呢？是把1nnnSSa代入323nnaS，还是把nS代入到na中呢？尝试过后我们可以发现第一种方法行不通，并不能得出na，再用第二种方法，我们可得到1112323)323(323nnnnnnnaaaaSSa13nnaa即na为公比为3的等比数列，那我们现在再来求一下该数列的首项1a，由条件所给出的公式可知，当1n时，63231111aaSa所以，可得该数列的通项公式为nnna32361，答案为D.通过这道题我们应该学会将nnSa与熟练地相互转换，现在我们再思考一下，如果看到这道题后我们没能想到直接求解方法，那该怎样判断呢？因为这是一道选择题，这时候我们可以分别分析2&1nn时的情况求出21&aa的值再代入到选项中判断正误，这样用排除法过后也可以确定选项D，且更能保证正确性。因此在做选择题时我们应充分利用题中可求出的特殊值，快速的判断正确选项。下面我们再来看一道大题【例3】（1）在数列na中，已知nnaS23，求na；（2）在数列na中，已知)2(122,121nSSaannn，求na。解析：看到第一小题我们是不是觉得很熟悉，和上面的例2用到的是同一种解题方法，将已知条件nnaS23代入到公式1nnnSSa。这里就不详细解答了，最后可解得)1(231nann。下面我们来看第二问，也是由nS求na的问题，但这次的式子和前面的不太一样，但我们还是可以应用上面的代入思想试一下，,12221nnnnnSSSSa这样如果只看后两个式子，我们可得到一个只含1&nnSS的关系等式212)12)((nnnnSSSS化简可得112nnnnSSSS现在还不能清晰的分析出1&nnSS的关系，应该思考一下怎样处理一下这个等式，我们看到等式的右边是1&nnSS的乘积，左边是两者的差，这时则应想到是不是可以在等式两端同除1nnSS这样可得)2(2111nSSnn这是两个分别只含1nnSS、的两项的关系式，则可知数列nS1为公比为2的等差数列，又11,1111SSa，所以121,122)1(111nSnnSSnn，这样我们就得出了nS的解析式，下面由nS求解na，当1n时，111Sa；当2n时，)32)(12(21)1(211211nnnnSSannn。而1n时，111Sa不适合上式。2,)32)(12(21,1nnnnan。得出结论时一定要记得讨论n=1的情况，这是一个重要得分点，一定要牢记。像这种已知nS求na的题目希望大家课后继续联系，下面我们来看第二种题型。2.已知数列的递推关系求数列的通项公式有时题目中会给出一些不同形式的数列递推关系，要我们求该数列的通项，求数列通项的方法大致分两类：一类是根据前几项的特点归纳猜想出na的表达式，然后用数学归纳法证明；另一类是将已知递推关系式，用代数的一些变形技巧整理变形，然后采用累差法、累乘法、迭代法、换元法或转化为基本数列等方法求得通项。【例4】在数列中}{na中，若：),1(32,111naaann则该数列的通项na。解析：在题中给出了相邻两项间的关系，需要我们求出通项的表达式。现在将题设条件变形，如下)3(231nnaa由此我们可以发现数列}3{na是以431a为首相，以2为公比的等比数列，32,24311nnnnaa。我们应善于将已知条件做恒等变形，构造出我们所熟悉的基本数列，如等差数列、等比数列。【例5】已知数列}{na满足)2()1(...32,113211nanaaaaann，求}{na的通项na。解析：在我们求通项时主要是注重相邻两项间的递推关系，在已知条件中找出1nnaa及中的恒等关系。在该题中，题目已给出了与na121,...,,naaa间的关系，我们现在要做的就是将该条件简化成只含有1&nnaa的恒等式，这时我们可以先将1&nnaa的表达式列出来，以便于观察它们间的关系，)2()1(...321321nanaaaann)3()2(...3223211nanaaaann经过观察我们可以得出na可以由1na表示出来，即naanaanaannnnnn1111,)1(，我们经计算又可以得出121aa，进一步观察得到的比例式，我们可以想到试用一下累乘法，看能不能得出na，所以当3n时，有2...223211naaaaaaaannnnn，下面要特别注意前两项的讨论，2!1,2!212aa，)2(2!)1(1nnnan在该题中我们用到了累乘法，找出了数列的通项公式。那现在请大家先思考一下当1nnaa与间有什么样的关系时我们可以应用累乘法求解，一会我们将一起总结归纳，现在再来看这样的一道例题，如下：【例6】已知数列}{na中，nnnaZnaaa求),(121,1*11。解析：首先，我们仍然应该想到怎样将已知条件整理变形得到易求解的基本数列，上题中我们先写出了1&nnaa表达式观察可能求出的规律，现在我们仍然是试着找出na与其相邻项的关系，由已知的关系式我们可写出1211nnaa，12121nnaa)3(n两式做差可得)3)((21211naaaannnn，2121}{121qaaaann为首项，是以为公比的等比数列，即121212121nnnnaa，求出这个关系式后我们应进一步思考怎样去掉1na将通项na求出来，这时我们可以尝试应用一下累加法进行消元求解，121112211212)211(2211)21(1121...2121)(...)()(nnnnnnnnnnaaaaaaaa从而解出了na。试想在考试时我们若没有想到累加法，则应该用什么方法呢？这里我们进一步引入方法二：由解法一知1121nnnaa，又1211nnaa，由上两式消去1na，可得1212nna。除了这两种方法外还有没有其他方法了呢？如果我们没能直观的用方法一总结出数列}{1nnaa的规律时，又应怎样求解呢？现在我们来看第三种方法。方法三：由已知等式1211nnaa，1na项前的21，我们可以大胆的假设一下na可以和其他的数字表达式一起构成一个等比数列。令)(211mamann，则)2(212,21nnaam所以可知}2{na是首项为21,121公比为a的等比数列，所以1121-2,212nnnnaa即。本题主要考查了由递推关系式球出数列通项公式的知识，考察转化思想及分析、解决问题的能力，重点要掌握累加法的应用。现在我们来总结一下已知数列的递推关系求数列通项公式的常用技巧和方法。这些方法都应重点掌握，熟练应用到解题中。a.如刚才例5应用到的思想，我们可总结出第一种方法如下：已知1a且),(1nfaann可用“累乘法”即).2(),3(),...,1(),(1223211faafaanfaanfaannnn所有等式左右两边相乘，得)2()3(...)1()(...1223211ffnfnfaaaaaaaannnn，即)()1(...)3()2(1nfnfffaan；b.由例6可总结出第二种常用方法，如下：已知)(11nfaaann且，可以用“叠加法”即)2(),3(),...,1(),(1223211faafaanfaanfaannnn所有等式左右两边分别相加，得)2(...)1()()()(...)()(1223211fnfnfaaaaaaaannnn即)()1(...)3()2(1nfnfffaan。c.回顾例6的第三种方法，可总结出第三点技巧方法，如下：已知首项aa1，递推关系为)(*1Nnbqaann