高等代数2试题B及答案

1高等代数（2）试题B卷（第二学期）一、设向量r,,,21线性无关，而,,,,,21r线性相关。证明：或者与中至少有一个可以由r,,,21线性表示，或者向量组},,,,{21r与向量组},,,,{21r等价。（8分）二、设],[,,32baCeeexxx证明：xxxeee32,,线性无关。（8分）三、设WVf:是向量空间V到向量空间W的一个同构映射，1V是V的一个子空间。证明：)(1Vf是W的一个子空间。（6分）四、设A是一个m行矩阵，秩,rA从A中任意取s行，作一个s行矩阵.B证明：秩.msrB（6分）五、设,是向量空间V的线性变换，且.证明：)Im(和)(Ker都在之下不变。（8分）六、设A与B是复数域上n阶矩阵。证明：AB与BA有相同的特征根，并且对应的特征根的重数也相同。（8分）七、设V和W都是数域F上的向量空间，且,dimnV令是V到W的一个线性映射，如果选取V的一个基：,,,,,,,121nss使得s,,,21是)ker(的一个基，证明：（1）)(,),(1ns组成)Im(的一个基；（2）.)Im(dim)(dimnKer（8分）八、设U是一个正交矩阵。证明：（1）U的行列式等于1或-1；（2）U的特征根的模等于1；（3）如果是U的一个特征根，则1也是U的一个特征根；（4）U的伴随矩阵*U也是正交矩阵。（16分）九、设是n维欧氏空间V的一个线性变换。证明：如果满足下列三个条件中的任意两个，则它必然满足第三个：（1）是正交变换；（2）是对称变换；（3）2是单位变换。（12分）十、满足何条件时，实二次型224133221232221222)(xxxxxxxxxx是正定的？（6分）十一、用正交变换化二次型323121232221321484363),,(xxxxxxxxxxxxq为标准形式，并判定此二次型是否是正定的。（14分）3高等代数（2）试题答案B卷（第二学期）一、证由,,,,,21r线性相关，知存在不全为零的数cbaaar,,,,,21使(*)01cbariii.显然cb,不全为零。否则raaa,,,21中必有一个不为零，(*)式成为01riiia,说明r,,,21线性相关。所以有下面三种情况：(1).0,0cb此时可由,,,,21r线性表示，也可由,,,,21r线性表示。所以{,,,,21r}与{,,,,21r}等价。（2）0,0cb.此时,11rbabar可由r,,,21线性表示。（3）.0,0bc此时,2121rcacacar可由r,,,21线性表示。8分二、证设存在数321,,kkk使得,033221xxxekekek依次求导1，2，3次，得关于321,,kkk的线性方程组0278094032332213322133221xxxxxxxxxekekekekekekekekek其系数矩阵为012941321111322789432632323232xxxxxxxxxxxxxeeeeeeeeeee所以xxxeee32,,线性无关。8分三、证取),(,12Vf则存在,,121V使得,)(,)(2211ff故)()()()(1221122112211Vfbbffbfbbb这是因为12211Vbb。从而)(1Vf是W的子空间。6分4四、证因为秩rA，所以存在r个行向量r,,,21线性无关。在A中划去sm行而得到11,AA的行向量组的极大无关组所含向量个数(*))(1smrr。因此1A中存在1r个线性无关的列向量1,,,21r。在1A中划去tn个列向量，得到C，则C中线性无关的列向量个数)(12tnrr。将（*）式代入上式得nmtsrtnsmrr)()(2，因而秩nmtsrC.6分五、证对任意),Im(显然存在V中,使.)(故)),(()()()(而,)(V故上式中).Im())((所以)Im(在之下不变。同理，对任意),ker(有,0)(从而,0))(())((故)ker()(所以)ker(在之下不变。8分六、证因为,,nnnnnnnnnnnnIoAABIIBoIIBAIBAIoAIIBAIIBoI上面式两端取行列式，立得).det()det(BAIABInn于是)det()1det())1(det())1(det()1det()det(BAIBAIABIBAIABIABInnnnnnnnnn所以，AB与BA的特征多项式完全相同，进而特征根及特征根的重数也相同。8分七、证（i）因为s,,,21是)ker(得基，故如果),Im(则存在,V使得5.)(不妨令,1iniik则nsjjjnsjjjsiiinsjjjsiiikkkkk11111)(0)()()()(所以对于),(mI总能表达为形式nsjjjk1)(所以下面只需证)(,),(),(21nss线性无关。令)(0)()()(2211nsnssbbb即,0)(1snjjsjb所以),(1erkbsnjjsj因而存在saaa,,,21使nsnssssbbbaaa22112211得)(01111nsnsssbbaa因为{nss,,,,,,121}是一组基，所以线性无关。故（**）中snsbbbaaa,,,,,,,2121均为零。于是得)(中)(,),(),(21nss线性无关。6分(ii)由(i)的证明可知，,)(,)(snmimIdserimkd所以有.)()(nmimIderimkd8分八、证（i）因为IUU，所以,1detdetdetIUU而,detdetUU所以.11det,1)(det2或UU4分（ii）设是正交矩阵U的特征值，的属于为U的特征向量，则U(*)两边取共轭，得,U有U(**)，对（*）式两端取转置，得6U（***），用（***）式乘以（**）式，得//即UU令有,21nxxxnnnnxxxxxxxxxxxx2_121__2121),,,(，即iniiiinixxxx11，但,0所以存在,0biaxi此时分，即有故8.11,0,0))((122iniiiixxbabiabiaxx（iii）因为U是的特征值，而U的特征值的模为1，故可设(*)sincossincos11,sincosiii而若是的特征向量，则,UUU,（**）故也是U的特征值。由（*）和（**）可得U也是1的特征值。12分（iv）U是正交矩阵，故可逆。并且分为正交矩阵故则若（则若16..)()()()(,,)()()(),det1*1*1//1/*1/**1/1*1//1/**1/**1/UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU九、证设关于某个标准正交基的矩阵为A，那么：是正交变换A是正交矩阵；是对称变换A是对称矩阵；.22IA（1）若)(),(iii成立，则.,2/2因而IAAA4分7.)()()(,)(),()2(11211/1//2AAAAAAAIAAAAAAAAIAiiii且可逆，成立，则若所以是对称变换。8分（3）若(ii),(iii)成立，则,2/IAAA因而是正交变换。12分十、解所给二次型的矩阵为1000011011011A2分其顺序主子式依次为,23111111,111,33221分时此二次型是正定的。〉故〉解得，〉，〉由分61.10230104.23100001101101132334十一、解二次型矩阵为，为的特征值故，7,2)7)(2(982112324262423324262423321223AAIA所以经过正交变换后，二次型可化为8.772232221yyyf6分以下计算所需正交变换。（1）对于当2，求方程组OXAI)2(的基础解系，对其系数矩阵做初等变换等价于OXAIAIrrrrr)2(00002112000014112091801419180524141425524282425)2(2321212)4(5232122xxxx令,12x得到2121,单位化得1323132，（2）对7，求齐次线性方程组OXAI)7(的基础解系，对系数矩阵做初等变换.22)7(000000212424212424)7(312xxxOXAIAI等价于.1201002101331231得令；得令xxxx正交化：9,5245102154120),(),(,021222233322标准化，得单位向量535532534,0525132，最后，所求正交矩阵为53503253252315345132),,(321Q令,QYX则二次型f化为标准形.772232221yyyf故该二次型不是正定的。14分