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ABCDABCD第十九章四边形19.1平行四边形一、平行四边形的定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。（2）几何语言表述∵AB∥CDAD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形（3）定义的双重性：具备“两组对边分别平行”的四边形，才是“平行四边形”，反过来，“平行四边形”就一定具有“两组对边分别平行”性质。（4）平行四边形的表示：用符号表示，如ABCD二、平行四边形的性质（1）共性：具有一般四边形的性质（2）性质：定义性质平行四边形的两组对边分别平行角平行四边形的对角相等边平行四边形的对边相等对角线平行四边形的对角线互相平分边：对边平行（定义）；对边相等（定理2）；对角线互相平分（定理3）夹在平行线间的平行线段相等。角：对角相等（定理1）；邻角互补。（3）应用格式：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC。（平行四边形的两组对边分别平行）∴AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等）∴∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD（平行四边形的对角相等）∴AO=OC,BO=OD（平行四边形的对角线互相平分）（4）平行四边形是中心对称图形，平行四边形绕其对角线交点旋转180º后与自身重合，我们说平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线交点。三、两条平行线之间的距离1、定义：在两条平行线中，其中一条上的任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线的距离。2、平行线的性质：夹在两条平行线间的平行线段相等注意：（1）两相交直线无距离可言；（2）与两点的距离、点到直线的距离的区别与联系四、平行四边形的面积在平行四边形中，从一条边上的任意一点，向对边画垂线，这点与垂足间的距离(或从这点到对边垂线段的长，或者说这条边和对边的距离)，叫做以这条边为底的平行四边形的高．这里所说的“底”是相对高而言的．在平行四边形中，有时高是指垂线段本身，如作平行四边形的高，就是指作垂线段．所以平行四边形的高，在作图时一般是指垂线段本身．在进行计算时，它的意义是距离，即长度．平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积。ahS高底边长（其中a是平行四边形的任意一条边长，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高），如图（1）．要避免学生发生如图（2）的错误．为了区别，有时也可以把高记成ah、ABh，表明它们所对应的底是a或AB．同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。五、平行四边形的判定方法一、定义法：两组对边分别平行的四边形的平边形。几何语言表达定义法：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形方法二、定理判定法：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。应用格式：∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。应用格式：∵∠A=∠C,∠B=∠D,∴四边形ABCD是平行四边形.（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形。应用格式：∵OA=OC，OB=OD∴四边形ABCD是平行四边形（4）有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。应用格式：∵AB=CD且AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形平行四边形的判定：边：两组对边平行（定义）；两组对边相等（定理2）；对角线互相平分（定理3）；一组对边平行且相等（定理4）；两组对角分别相等（定理1）六、三角形的中位线定理1、三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。应用格式：∵AD=CDAE=BE，∴BCDE21，DE∥BC。3、三角形中位线定理的作用：①位置关系：可以证明两条直线平行；②数量关系：可以证明线段相等或倍分。4、三角形的中位线与中线的区别：一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线．19．2特殊的平行四边形一、矩形1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．即一个图形若是矩形，首先它必须是一个平行四边形，同时它必须有一个角是直角。矩形具备平行四边形的所有性质。2、矩形的性质：（1）矩形具备平行四边形的所有性质。（2）矩形性质1：矩形的四个角都是直角．（3）矩形性质2：矩形的对角线相等．（4）矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。3、直角三角形的性质：（1）直角三角形的两锐角互余；（2）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；（3）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．4、矩形的判定方法：（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形．而由矩形和平行四边形及四边形的从属关系将矩形的判定方法又可分为两类：①从四边形出发必须增加三个特定的独立条件；②从平行四边形出发只需再增加一个特定的独立条件．特别地：①如果所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；②所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论．矩形的特殊性质．①边：对边与平行四边形性质相同，邻边互相垂直（与性质定理1等价）．②角：四个角是直角（性质定理1）．③对角钱：相等且互相平分（性质定理2）．二、菱形1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．菱形是特殊的平行四边形，即菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．EDCBA2、菱形的性质：（1）菱形具有平行四边形的一切性质；（2）菱形的四条边都相等；（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为对角线所在的直线。3、菱形的判定：4、菱形面积的计算：（1）按平行四边形的面积计算：即底×高；（2）菱形的面积公式：对角线对角线菱形21S（即四个小直角三角形面积之和）。三、正方形1、正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（1）正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．（2）既是矩形又是菱形的四边形是正方形；正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形。定义巧记：四条边都相等，四个角都是直角。2、正方形的性质：（1）正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质；（2）正方形的四个角都是直角；（3）正方形的四条边都相等；（4）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；（5）正方形是轴对称图形，有四条对称轴；又是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。3、正方形的判定：（1）直接用正方形的定义判定，即先判定一个四边形是平行四边形，如果这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个四边形是正方形。（2）可以判定一个四边形是矩形同时又是菱形，或判定一个四边形是菱形同时又是矩形，这时就可以判定这个四边形是正方形。先证明它是矩形，再证明有一组邻边相等；先证明它是菱形，再证明有一个角是直角。4、正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；也有四个全等的大等腰直角三角形。平行四边形两组对边平行的四边形叫平行四边形。①对边平行②对边相等③对角相等④对角线互相平分⑤邻角互补⑥是中心对称图形①定义；②两组对边分别相等的四边形；③一组对边平行且相等的四边形；④两组对角分别相等的四边形；⑤对角线互相平分的四边形。S＝ah（a是一边的长，h是这边上的高）矩形有一个角是直角的平行四边形叫矩形。除具有平行四边形的性质外，还有①四个角都是直角②对角线相等③既是中心对称图形又是轴对称图形。①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③定义。S＝ab（a是一边的长，b是这边上的高）菱形有一组邻边相等的平行四边形是菱形。除具有平行四边形的性质外，还有①四条边都相等②对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角③既是中心对称图形又是轴对称图形。①四条边相等的四边形是菱形；②对角线垂直的平行四边形是菱形；③定义①S＝ah（a是一边的长，h是这边上的高）②S＝21bc（b、c为两条对角线的长）正方形有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。除具有平行四边形、矩形、菱形的性质外，还有①四个角都是直角，四条边都相等②对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角③既是中心对称图形又是轴对称图形。①有一组邻边相等的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形；③定义①S＝a2（a是边长）②S＝21b2（b为对角线的长）ADBC19．3梯形一、梯形的定义1、一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。2、相关定义：（1）梯形的底：梯形中平行的一组对边叫做梯形的底。较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，也就是说梯形的上、下底是以长短来区分的，而不是以底的位置来区分的。（2）腰：梯形中不平行的一组对边叫做梯形的腰。（3）高：梯形两底间的距离叫做梯形的高。3、特殊梯形的定义：（1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。（2）直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。二、等腰梯形的性质：（1）等腰梯形具有一般梯形的性质：AD∥BC。（2）等腰梯形两腰相等：AB=CD。（3）等腰梯形同一底上的两个角相等：∠B=∠C，∠A=∠D。（不能说成等腰梯形两底上的角相等，或等腰梯形同一底上的两底角相等）（4）等腰梯形的两条对角线相等：AC=BD。（5）等腰梯形是轴对称图形，对称轴是通过上、下底中点的直线。两条对角线的交点在对称轴上。两腰延长线的交点在对称轴上。三、等腰梯形的判定（1）由定义判定：即先判定梯形，再说明两腰相等。（梯形的判定：平行的两边不相等）（2）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。四、梯形的中位线定理（1）定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．梯形中位线是连结两腰中点的线段，而不是连结两底中点的线段．（2）梯形中位线定理梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．五、在梯形中常用的辅助线（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中，特别适用于对角线互相垂直的梯形。（图3）；（4）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形（图4）；（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．（6）连接对角线。图1图2图3图4图5六、梯形面积S=(a＋b)h÷2，而l=(a＋b)÷2，推出S=lh(l为梯形中位线长，h为梯形高)．七、中点四边形：任意四边形各边中点顺次连结的四边形是平行四边形；对角线相等的四边形各边中点顺次连结的四边形是菱形；对角线互相垂直的四边形各边中点顺次连结的四边形是矩形；对角线互相垂直且相等的四边形各边中点顺次连结的四边形是正方形；因此顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形；顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形；顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形；顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形。八、1．线段的重心点在这条线段的中点上；2．平行四边形、矩形、菱形、正方形的重心是在它们对角线交点上；3．三角形的重心是在这个三角形三条中线的交点上．